heure_9 - Base et dimension D efinition et exemples D...

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Unformatted text preview: Base et dimension D efinition et exemples D efinition Un espace vectoriel V est de dimension finie sil poss` ede un syst` eme g en erateur fini I V 3 est un espace vectoriel de dimension finie car V 3 = i , j , k , o`u i , j , k est un syst` eme g en erateur libre de V 3 . I U = h i est un espace vectoriel de dimension finie car n o est son syst` eme g en erateur. Mais il est li e. Base et dimension Base I Soit U = h v 1 , v 2 , v 3 i , o`u v 1 = i + j , v 2 = j + k et v 3 = 2 i + j- k . U est un espace de dimension finie avec n v 1 , v 2 , v 3 o est un syst` eme g en erateur li e de ce dernier car v 3 = 2 v 1- v 2 . On peut extraire un syst` eme g en erateur libre pour U . Par exemple, n v 1 , v 2 o et U devient h v 1 , v 2 i D efinition dune base Lensemble fini S = n v 1 , ..., v n o de vecteurs de V est une base de V si : I S est libre I S est un syst` eme g en erateur de V Base et dimension Exemples du d ebut I i , j , k est une base de V 3 I U = h i...
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