TD_3 - TRAVAIL DIRIGE 3 Mohammed Saddoune AUTOMNE 2009...

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´ E 3 Mohammed Saddoune AUTOMNE 2009 Question 1 : epondez par VRAI ou FAUX 1. La s´ erie X i =1 2 i 100 i est convergente. 2. Si X n =1 a n converge et si a n > 0 pour tout n , alors X n =1 1 a n est divergente. 3. On sait que X n =1 ( - 1) n +1 x n n est le d´ eveloppement de Taylor de f ( x ) = ln (1 + x ) centr´ e en 0. On peut conclure que 5 - 5 2 2 + 5 3 3 - 5 4 4 + 5 5 5 est une bonne approximation de ln (6). 4. Il est possible que l’intervalle de convergence d’une s´ erie enti` ere soit l’ensemble vide. Question 2 : Soit f une fonction telle que f (0) = 3 et f k (0) = 2 k ( k - 1)! pour k 1. Les d´ eriv´ ees de f satisfont ´ egalement | f ( n +1) ( x ) | ≤ 4 n n ! pour tout x . 1. Donnez la s´ erie de Taylor, d´ enot´ ee T ( x ), de f autour de x = 0. 2. Calculer le rayon et l’intervalle de convergence de la s´ erie trouv´ ee en a). 1
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This note was uploaded on 11/07/2010 for the course CIV 3930 taught by Professor Montes during the Spring '10 term at École Polytechnique de Montréal.

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