Optimisation - MTH1101: Introduction ` loptimisation a...

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MTH1101: Introduction ` a l’optimisation D ´ EFINITIONS OPTIMISATION SANS CONTRAINTES METHODE DU GRADIENT PROBL ` EME D’OPTIMISATION AVEC CONTRAINTES ef´ erences MTH1101: Introduction ` a l’optimisation MOHAMMED SADDOUNE ´ Ecole Polytechnique de Montr´ eal, epartement de Math´ ematiques et G´ enie Industriel AUTOMNE 2009 MOHAMMED SADDOUNE MTH1101: Introduction ` a l’optimisation
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MTH1101: Introduction ` a l’optimisation D ´ EFINITIONS OPTIMISATION SANS CONTRAINTES METHODE DU GRADIENT PROBL ` EME D’OPTIMISATION AVEC CONTRAINTES ef´ erences 1 D ´ EFINITIONS 2 OPTIMISATION SANS CONTRAINTES Conditions d’optimalit´ e en´ eralisation de la condition n´ ec´ essaire du second ordre Condition suffisante d’optimalit´ e du second d’ordre Conditions d’optimalit´ e pour les probl` emes de maximisation 3 METHODE DU GRADIENT 4 PROBL ` EME D’OPTIMISATION AVEC CONTRAINTES efinition du probl` eme Optimisation sous une contrainte d’´ egalit´ e Optimisation avec une contrainte d’in´ egalit´ e Optimisation avec plusieurs contraintes d’´ egalit´ e 5 ef´ erences MOHAMMED SADDOUNE MTH1101: Introduction ` a l’optimisation
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MTH1101: Introduction ` a l’optimisation D ´ EFINITIONS OPTIMISATION SANS CONTRAINTES METHODE DU GRADIENT PROBL ` EME D’OPTIMISATION AVEC CONTRAINTES ef´ erences minimun global(absolu) Une solution x * est un minimun global(absolu) de la fonction f sur le domaine S si f ( x * ) f ( x ) x S la valeur optimale est f ( x * ) Soit ± > 0 B ± ( x * ) = { x R n : k x - x * k < ± } Cet ensemble est commun´ ement appel´ e boule de rayon ± centr´ ee en x * . minimun local Une solution x * est un minimun local de la fonction f sur le domaine S si f ( x * ) f ( x ) x S B ± ( x * ) MOHAMMED SADDOUNE MTH1101: Introduction ` a l’optimisation
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MTH1101: Introduction ` a l’optimisation D ´ EFINITIONS OPTIMISATION SANS CONTRAINTES METHODE DU GRADIENT PROBL ` EME D’OPTIMISATION AVEC CONTRAINTES ef´ erences Conditions d’optimalit´ e en´ eralisation de la condition n´ ec´ essaire du second ordre Condition suffisante d’optimalit´ e du second d’ordre Conditions d’optimalit´ e pour les probl` emes de maximisation Dans cette section, nous consid´ erons le probl` eme suivant min x R n f ( x ). La fonction f est appel´ ee fonction objectif. Th´ eor` eme (Condition n´ ec´ essaire du 1er ordre) Si x * est un minimun local de la fonction f sur R n alors f ( x * ) = 0 Point critique Le point x est appel´ e point critique si f ( x ) = 0 Exemple eterminer les points critiques de la fonction f ( x , y ) = 1 3 x 3 + 4 3 y 3 - x 2 - 3 x - 4 y - 3 Hessien d’une fonction Le hessien d’une fonction f au point x 0 , not´ e 2 f ( x 0 )
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This note was uploaded on 11/07/2010 for the course CIV 3930 taught by Professor Montes during the Spring '10 term at École Polytechnique de Montréal.

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