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Final_A08_sol - Dpartement de mathmatiques et de gnie...

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Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Calcul I Mth -1101 Final Automne 2008 Solutionnaire 1. a) Vrai. Par contraposition, nous avons que si f ( x, y ) = cte alors ses dérivées sont non nulles donc sa différentielle est non nulle. b) Vrai. Puisque u est perpendiculaire à f ( P ) alors cos( θ ) = 0 . Ainsi nous avons f ( P ) u = ||∇ f ( P ) || || u || cos( θ ) = 0 . c) Faux. Soit f ( x ) = e x , cette fonction est bornée inférieurement pas 0 mais il n’existe aucune valeur de x finie de sorte que la fonction possède un minimum global. d) Faux. Car V nouveau V ancien + λ ( k nouveau - k ancien ) V ancien + 3( k ancien + 0 , 2 - k ancien ) V ancien + 0 , 6 donc V nouveau augmente de 0 , 6 . 2. a) Posons y = mx , alors lim ( x,y ) (0 , 0) 8 x 2 y x 3 + 2 y 3 = lim x 0 8 mx 3 x 3 (1 + 2 m 3 ) = 8 m 1 + 2 m 3 . Et comme le résultat de la limite est fonction de m , alors celle-ci n’existe pas. b) Posons x = r cos( θ ) et y = r sin( θ ) , alors lim ( x,y ) (0 , 0) x 3 y + 4 y 4 4 x 2 + y 2 = lim r 0 r 4 (cos 3 ( θ ) sin( θ ) + 4 sin 4 ( θ )) r 2 (4 cos 2 ( θ ) + sin 2 ( θ )) = (cos 3 ( θ ) sin( θ ) + 4 sin 4 ( θ )) (4 cos 2 ( θ ) + sin 2 ( θ )) lim r 0 r 2
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