13 - CHAPTER 13 Functions of Several Variables Section 13.1...

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C H A P T E R 1 3 Functions of Several Variables Section 13.1 Introduction to Functions of Several Variables . . . . . . . 160 Section 13.2 Limits and Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Section 13.3 Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Section 13.4 Differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Section 13.5 Chain Rules for Functions of Several Variables . . . . . . 194 Section 13.6 Directional Derivatives and Gradients . . . . . . . . . . . 205 Section 13.7 Tangent Planes and Normal Lines . . . . . . . . . . . . . 214 Section 13.8 Extrema of Functions of Two Variables . . . . . . . . . . 227 Section 13.9 Applications of Extrema of Functions of Two Variables . . 236 Section 13.10 Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Review Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Problem Solving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
C H A P T E R 1 3 Functions of Several Variables Section 13.1 Introduction to Functions of Several Variables 160 1. Yes, z is a function of x and y . z 10 xy x 2 y z x 2 y 10 xy x 2 z yz xy 10 3. No, z is not a function of x and y . For example, corresponds to both z ± 1. x , y 0, 0 x 2 4 y 2 9 z 2 1 2. No, z is not a function of x and y . For example, corresponds to both z ± 2. x , y 1, 0 xz 2 2 xy y 2 4 4. Yes, z is a function of x and y . z 8 x ln y z x ln y 8 0 6. (a) (b) (c) (d) (e) (f) f t , 1 4 t 2 4 t 2 f x , 0 4 x 2 0 4 x 2 f 1, y 4 1 4 y 2 3 4 y 2 f 2, 3 4 4 36 36 f 0, 1 4 0 4 0 f 0, 0 4 f x , y 4 x 2 4 y 2 7. (a) (b) (c) (d) (e) (f) f t , t te t f x , 2 xe 2 f 5, y 5 e y f 2, 1 2 e 1 2 e f 3, 2 3 e 2 f 5, 0 5 e 0 5 f x , y xe y 8. (a) (b) (c) (d) (e) (f) ln 2 ln e ln 2 1 g e , e ln e e ln 2 e g 2, 3 ln 2 3 ln 1 0 g 0, 1 ln 0 1 0 g e , 0 ln e 0 1 g 5, 6 ln 5 6 ln 11 g 2, 3 ln 2 3 ln 5 g x , y ln x y 9. (a) (b) (c) (d) h 5, 4, 6 5 4 6 10 3 h 2, 3, 4 2 3 4 3 2 h 1, 0, 1 1 0 1 0 h 2, 3, 9 2 3 9 2 3 h x , y , z xy z 5. (a) (b) f 1, 4 1 4 f 3, 2 3 2 f x , y x y (c) (d) f 5, y 5 y f 30, 5 30 5 6 (e) (f) f 5, t 5 t f x , 2 x 2
Section 13.1 Introduction to Functions of Several Variables 161 10. (a) (b) (c) (d) f 10, 4, 3 10 4 3 3 f 4, 6, 2 4 6 2 12 2 3 f 6, 8, 3 6 8 3 11 f 0, 5, 4 0 5 4 3 f x , y , z x y z 12. (a) (b) (c) (d) V 6, 4 6 2 4 144 V 4, 8 4 2 8 128 V 5, 2 5 2 2 50 V 3, 10 3 2 10 90 V r , h r 2 h 11. (a) (b) (c) (d) f 4, 2 4 sin 2 4 f 3, 3 3 sin 3 3 3 2 3 3 2 f 3, 1 3 sin 1 f 2, 4 2 sin 4 2 f x , y x sin y 13. (a) (b) (c) (d) g 0, 3 2 9 4 3 3 2 9 4 g 3 2 , 4 16 12 9 4 9 2 25 4 g 1, 4 16 12 1 3 6 g 0, 4 16 12 4 g x , y y x 2 t 3 dt t 2 3 t y x y 2 3 y x 2 3 x 14. (a) (b) g 6, 3 ln 3 6 ln 2 g 4, 1 ln 1 4 ln 4 g x , y y x 1 t dt ln t y x ln y ln x ln y x (c) (d) g 1 2 , 7 ln 7 1 2 ln 14 g 2, 5 ln 5 2 15. (a) (b) x 2 2 y 2 y x 2 2 y y 2 y y 2, y 0 f x , y y f x , y y x 2 2 y y x 2 2 y y x 2 2 x x x 2 2 y x 2 2 y x x 2 x x x 2 x x , x 0 f x x , y f x , y x x x 2 2 y x 2 2 y x f x , y x 2 2 y 16. (a) (b) y 3 x 2 y y y 3 x 2 y y , y 0 3 xy 3 x y y 2 2 y y y 2 3 xy y 2 y f x , y y f x , y y 3 x y y y y 2 3 xy y 2 y 3 xy 3 x y y 2 3 xy y 2 x 3 x y x 3 y , x 0 f x x , y f x , y x 3 x x y y 2 3 xy y 2 x f x , y 3 xy y 2
162 Chapter 13 Functions of Several Variables 20. Domain: Range: 0 z x , y : 1 y x 1 f x , y arccos y x 21. Domain: Range: all real numbers x , y : y < x 4 x y < 4 4 x y > 0 f x , y ln 4 x y 22. Domain: Range: all real numbers x , y : xy > 6 xy > 6 xy 6 > 0 f x , y ln xy 6 17.

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