125093489-122756649-Fisica-Solucionario-Libro-de-Profesor-2\u00ba-Bachillerato-Edtorial-Anaya.pdf - 1 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS 1.1 \u00bfA QU\u00c9

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Unformatted text preview: 1 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS 1.1. ¿A QUÉ LLAMAMOS TRABAJO? 1. Un hombre arrastra un objeto durante un recorrido de 25 m, tirando de él con una fuerza de 450 N mediante una cuerda que forma un ángulo de 30º con la horizontal. Realiza un gráfico del problema y calcula el trabajo realizado por el hombre. La representación gráfica de la situación física que describe el enunciado es la que se muestra en la figura de la derecha. El trabajo realizado por el hombre lo calculamos como se indica: r r WF = F · ∆r = F · ∆r · cos θ F 30° 25 m WF = 450 · 25 · cos 30° = 9 742,8 J 2. Al tirar horizontalmente, con una fuerza de 10 N, de un cuerpo apoyado en un plano horizontal, este se desplaza 10 m. Calcula el trabajo realizado, sabiendo que su masa es 2 kg y el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el suelo es 0,1. En la figura hemos representado las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Los datos que tenemos son: N F = 10 N Desplazamiento: s = 10 m F Masa del cuerpo: m = 2 kg Froz Coef. de rozamiento: µ = 0,1 m El trabajo que realiza cada fuerza es: r r WP = m · g · s = m · g · s · cos 90° = 0 r r P WN = N · s = N · s · cos 90° = 0 r r WF = F · s = F · s · cos 0° = F · s = 10 · 10 = 100 J r r Wroz = F r · s = Fr · s · cos 180° = −µ · N · s = −µ · m · g · s = −0,1 · 2 · 9,8 · 10 = −19,6 J El trabajo total es la suma de todos ellos: W = 100 − 19,6 = 80,4 J 3. Cuando sujetamos una maleta de 20 kg, sin movernos, ¿qué trabajo realizamos? ¿Y si nos movemos con la maleta en la mano, desplazándonos 20 m sobre un plano horizontal? De acuerdo con la definición, para realizar trabajo, es necesario que se produzca desplazamiento: r r W=F ·r Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 1 Por tanto, al sostener una maleta, estando parados, no realizamos trabajo; es una situación estática en la que el trabajo que se realiza es nulo. La segunda pregunta, que en principio puede parecer trivial, no lo es tanto. Dependiendo de la complejidad que queramos introducir al estudiar el sistema, la respuesta puede variar. Veamos: 1. Al no especificarse nada acerca del rozamiento, podemos considerar que su efecto es nulo o, al menos, despreciable. En ese caso, el razonamiento que exponemos es el siguiente: La persona que lleva la maleta ejerce una fuerza vertical, en sentido ascendente, de sentido opuesto al peso de la maleta. Sin embargo, como su movimiento es en sentido horizontal, las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son perpendiculares, lo que da como resultado un trabajo nulo: r r W = F · r = F · r · cos 90° = 0 J 2. Si tenemos ahora en cuenta el efecto del rozamiento, el resultado es diferente. El trabajo lo realiza la fuerza horizontal que aplicamos para vencer la fuerza de rozamiento: r r r r F = −F roz → W = −F roz · r = −Froz · r · cos 180° = Froz · r Para obtener el valor de la fuerza de rozamiento, debemos tener en cuenta el peso de la maleta que soporta la persona. De este modo, resulta: Froz = µ · N = µ · m · g = µ · (mhombre + mmaleta ) · g Por tanto, al desplazarnos con la maleta, debemos realizar un trabajo superior al que realizaríamos de hacerlo sin ella. La diferencia entre ambos trabajos es: W = µ · (mhombre + mmaleta ) · g · r − µ · mhombre · g · r = µ · mmaleta · g · r 4. Calcula el trabajo que realizamos al levantar un saco de 50 kg desde el suelo hasta una altura de 2 m. Si lo hacemos utilizando un plano de 30º de inclinación sin rozamiento, calcula la fuerza que hay que realizar, la distancia recorrida y el trabajo realizado, y compara los resultados con los anteriores. Para elevar un saco 2 m, es necesario realizar un rtrabajo en contra de las fuerzas del campo gravitatorio; debemos aplicar una fuerza, F 1, de la misma magnitud que el peso y de sentido opuesto a este. Por tanto: r r W1 = F1 · ∆h = F · ∆h · cos 0° = m · g · ∆h W1 = 50 · 9,8 · 2 = 980 N Si utilizamos un plano inclinado para elevar el r saco, debemos ejercer una fuerza, F 2, en sentido ascendente, que compense la componente en el eje X de su peso, como se muestra en la ilustración de la derecha. En primer lugar, debemos calcular la distancia recorrida por el saco a lo largo del plano inclinado hasta alcanzar 2 m de altura. Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas F2 d Px θ 30° h=2m P 2 De acuerdo con la ilustración anterior: h h 2 sen 30° =  → d =  =  = 4 m d sen 30° 0,5 El trabajo que hay que realizar es, por tanto: r r W2 = F 2 · d = m · g · sen θ · d · cos 0° = 50 · 9,8 · sen 30° · 4 · 1 = 980 N siendo el valor de la fuerza: F2 = m · g · sen θ = 50 · 9,8 · sen 30° = 245 N En el caso anterior, el valor de la fuerza, F1, era: F1 = m · g = 50 · 9,8 = 490 N Observa que el trabajo realizado en ambos casos es el mismo, y que la fuerza que hay que aplicar en el segundo caso es menor, siendo el camino que se ha de recorrer mayor. Por eso se dice que las máquinas simples (como un plano inclinado) “multiplican” fuerzas, y no energías (trabajo). 1.2. TIPOS DE ENERGÍA: ENERGÍA CINÉTICA 1. Escribe la ecuación de dimensiones de la energía cinética. Demuestra que coincide con la del trabajo. La ecuación de dimensiones del trabajo es: [W] = [F] · [∆r] · [cos θ] = [m · a] · [∆r] · cos θ [W ] = M · L · T −2 · L = M · L2 · T −2 Y la que corresponde a la energía cinética:  1 [Ec ] =  · [m] · [v 2] = M · (L · T −1)2 = M · L2 · T −2 2 Como se observa, sus dimensiones son equivalentes a las del trabajo. Por tanto, su unidad es la que corresponde al trabajo: el joule. 2. Un bloque de 2 kg de masa se desliza sobre una superficie horizontal. El rozamiento es nulo. Calcula el trabajo que realiza al desplazarse 10 m sobre la superficie. En el supuesto más general, la única fuerza que realizaría trabajo al moverse el bloque sería la de rozamiento, ya que esta es la única fuerza que tiene componente en la dirección del desplazamiento (el peso y la reacción normal que ejerce el plano sobre el que se apoya el bloque son perpendiculares a dicho desplazamiento). v N F m Froz = 0 Por tanto, la expresión del trabajo sería: W = Froz · r · cos 180° = −µ · mbloque · g · r Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas P 3 En este caso, al considerarse el rozamiento nulo (µ = 0), el trabajo que ha de vencer el bloque para desplazarse también es nulo. 3. Un objeto, de masa m, describe un movimiento circular uniforme, de radio R. Calcula el trabajo que realiza la fuerza centrípeta mientras el cuerpo describe una vuelta. El período es el intervalo de tiempo que transcurre hasta que un cuerpo, que realiza un movimiento regular, ocupa de nuevo una posición determinada, moviéndose con la misma velocidad y aceleración. El trabajo que realiza la fuerza centrípeta sobre un cuerpo que se mueve con m.r.u., transcurrido un período, responde a la expresión: W1→2 =  2 1 r r F · dr Al resolver la integral, obtenemos el siguiente resultado: 2 W1→ 2 v x2 v y2 v z2 1 = m⋅ + + = ⋅m ⋅ v2 2 2 2 2 1 [ ] v2 v1 = 1 2 ⋅ m ⋅ v 22 − 1 2 ⋅m ⋅v Como el movimiento es de velocidad constante, v1 = v2, el trabajo realizado al cabo de un período es nulo. A esta conclusión podríamos haber llegado también teniendo en cuenta que el cuerpo describe un m.r.u., y que, por tanto, la fuerza que hace que se mueva es centrípeta, estando dirigida en todo momento hacia el centro de la trayectoria y perpendicularmente al desplazamiento. Por tanto, el trabajo es nulo, ya que la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares. 4. ¿Puede ser negativa la energía cinética de un cuerpo? Razona la respuesta. La energía cinética de un cuerpo no puede ser negativa. Puede ocurrir que, debido a la situación del sistema de referencia, la velocidad del cuerpo sea negativa, pero al intervenir su cuadrado en la expresión de la energía cinética, el signo negativo desaparece. 5. ¿Pueden dos observadores medir distintos valores para la energía cinética de un cuerpo y tener razón los dos? Explica cómo puede hacerse, si es posible, o cuál es el motivo de que no sea posible. La energía cinética de un cuerpo depende de su velocidad: 1 Ec =  · m · v2 2 El valor de la velocidad y, por ende, el de la energía cinética pueden variar. Basta con cambiar el sistema de referencia. Para un observador que viaja en un tren a velocidad constante, el tren está quieto y, con respecto a él, su energía cinética es nula. Sin embargo, para un observador en reposo que vea pasar el tren, este se moverá con cierta velocidad, y el observador situado en su interior posee cierta energía cinética. Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 4 Del mismo modo, para un observador que viaje en automóvil a cierta velocidad, distinta a la del tren, circulando por una carretera paralela a la vía, la velocidad no será la misma que la que percibe el observador en reposo, y la energía que asociará con el observador situado en el interior del tren será distinta. A modo de conclusión, podemos decir que hay tantas medidas de la energía cinética como sistemas de referencia inerciales consideremos. 6. Dibuja todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo que se desliza por un plano horizontal, con el que existe rozamiento. Calcula el trabajo por unidad de longitud que realiza cada una de estas fuerzas. Las fuerzas que intervienen son las que se indican en la figura de la derecha. El trabajo que realizan el peso y la normal es nulo, ya que ambas fuerzas son perpendiculares a la dirección del desplazamiento: r r Wpeso = F · r = P · 1 · cos 90° = 0 J r r Wnormal = F · r = N · 1 · cos 90° = 0 J N F m Froz Para vencer la fuerza de rozamiento, sí debemos P realizar trabajo, ya que esta fuerza tiene la dirección del desplazamiento: r r Wroz = F roz · r = µ · m · g · r · cos 180° = −µ · m · g · r Por tanto, para una longitud r = 1, resulta: Wroz = −µ · m · g Este resultado se expresará en joule si la masa y la aceleración de la gravedad se expresan en unidades del S.I. 7. Un objeto desciende por un plano inclinado con el que existe rozamiento. Dibuja las fuerzas que actúan sobre él y calcula el trabajo que realiza cada una de ellas durante el descenso. Estima los valores que necesites para resolver la actividad. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son las que se indican en la figura. El trabajo que realiza cada una de ellas durante todo el descenso es: • Fuerza reacción normal: Su dirección es perpendicular al desplazamiento. Por tanto, el trabajo que realiza es nulo, ya que: r r Wnormal = N · d = N · d · cos 90° = 0 J • Fuerza peso: Y N Froz m Px α Px a F = Px β Py P X α r r WP = P · d = P · d · cos β = m · g · d · sen α Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 5 • Fuerza de rozamiento: La fuerza de rozamiento actúa en la dirección del desplazamiento y en sentido opuesto a este. Por tanto, al desplazarse el cuerpo cierta distancia d sobre el plano, el trabajo que realiza vale: r r Wroz = F roz · d = µ · N · d · cos 180° = −µ · m · g · cos α · d 1.3. FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGÍA POTENCIAL 1. Enumera cinco situaciones cotidianas en las que intervengan fuerzas conservativas, y cinco situaciones en las que intervengan fuerzas no conservativas. Intervienen fuerzas conservativas en las siguientes situaciones: • El movimiento de la Luna alrededor de la Tierra. • La aceleración de un electrón entre las placas de un condensador entre las que se ha hecho el vacío. • La “caída libre” de un cuerpo que se deja caer desde lo alto de un edificio. • El movimiento de oscilación de un objeto colgado de un resorte vertical. • El movimiento de un electrón alrededor del núcleo, de acuerdo con el modelo atómico de Bohr. Intervienen fuerzas no conservativas, con independencia de la acción de las fuerzas conservativas que puedan actuar, en los siguientes ejemplos: • El movimiento de un automóvil. • El descenso de un cuerpo que se desliza por una superficie inclinada. • El movimiento de un objeto que es lanzado por un resorte sobre una superficie horizontal rugosa. • Cuando empujamos un mueble por el suelo y lo desplazamos de posición. • Las fuerzas que intervienen en un choque inelástico. 2. De las situaciones que has señalado, indica aquellas en las que las fuerzas realizan trabajo y explica por qué se conserva la energía en unos casos y no en los otros. • Movimiento de la Luna alrededor de la Tierra: como la Luna describe una trayectoria cerrada y la fuerza gravitatoria es conservativa, no se realiza trabajo. • Aceleración de un electrón entre las placas de un condensador entre las que se ha hecho el vacío: en este caso, se realiza un trabajo sobre el electrón que se invierte en aumentar su energía cinética. • La “caída libre” de un cuerpo que se deja caer desde lo alto de un edificio: si prescindimos del rozamiento, la fuerza gravitatoria realiza un trabajo sobre el cuerpo que incrementa la energía cinética de este. Si suponemos el ciclo completo de subida y bajada del cuerpo, el trabajo es nulo: la fuerza gravitatoria devuelve íntegramente, en la caída del cuerpo, el trabajo realizado para vencerla (el necesario para subir el cuerpo). En caso de tener en cuenta el rozamiento, debemos contar también con el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, que disipa parte de la energía del cuerpo en su descenso. Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 6 • El movimiento de oscilación de un objeto colgado de un resorte vertical: la fuerza elástica es conservativa; por tanto, puede devolver el trabajo que se ha de realizar para vencerla. En consecuencia, el trabajo realizado en una oscilación es nulo. • El movimiento del electrón alrededor del núcleo, según el modelo atómico de Bohr, es debido a la atracción electrostática entre este y los protones del núcleo. El electrón gira en órbitas circulares, por lo que no se realiza trabajo. • El movimiento de un automóvil: la fuerza del motor y la fuerza del rozamiento realizan trabajo. • El descenso de un cuerpo que se desliza por una superficie inclinada: en este caso, la fuerza gravitatoria realiza trabajo para que descienda el cuerpo, y la fuerza de rozamiento, que se opone al movimiento, también lo realiza. • El movimiento de un objeto que es lanzado por un resorte sobre una superficie horizontal rugosa: la fuerza elástica del muelle realiza trabajo sobre el objeto, que terminará deteniéndose debido a la energía disipada por la fuerza de rozamiento. • Cuando empujamos un mueble y lo desplazamos de posición, la fuerza con que empujamos y la fuerza de rozamiento realizan trabajo. • Las fuerzas que intervienen en un choque inelástico: en un choque inelástico se conserva la cantidad de movimiento, pero no la energía cinética, que se transforma en energía elástica (deformación) o se disipa en forma de calor. Las fuerzas, en este caso, sí realizan trabajo. La energía se conserva en todos los casos; no se deben confundir las posibles transformaciones energéticas (disipación de calor, deformaciones, etc.) que ocurren en las situaciones físicas descritas con la conservación de la energía. 1.4. ENERGÍAS POTENCIALES GRAVITATORIA Y ELÁSTICA 1. Una lámpara de 5 kg de masa está colgada a 2,2 m del suelo de una habitación, situado a 20 m sobre el suelo de la calle. Calcula su energía potencial respecto a ambos suelos. Si situamos el origen de la energía potencial en el suelo de la habitación, la energía potencial de la lámpara es: Ep = m · g · h1 → Ep = 5 · 9,8 · 2,2 = 107,8 J 1 1 Y respecto al suelo de la calle: Ep = m · g · h2 = m · g · (h1 + h) 2 donde h es la distancia del suelo de la habitación al suelo de la calle, y h1, la que separa la lámpara del suelo de la habitación; por tanto: Ep = m · g · (h1 + h) = 5 · 9,8 · (2,2 + 20) = 1 087,8 J 2 2. Si la lámpara se suelta y cae hasta el suelo de la habitación, calcula su energía potencial final respecto de ambos sistemas de referencia, así como la variación de su energía potencial en ambos casos. Respecto al suelo de la habitación, la energía potencial final es nula, siendo su variación: ∆Ep = Ep − Ep = 0 − 107,8 J = −107,8 J 1 f1 Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas i1 7 Respecto al suelo de la calle, la energía potencial final es: Ep = m · g · h = 5 · 9,8 · 20 = 980 J f2 Por tanto, la variación de energía es, en este caso: ∆Ep = Ep − Ep = m · g · h − m · g · h2 = m · g · (h − h2) = 2 f2 i2 = m · g · (h − h1 − h) = −m · g · h1 = = −5 · 9,8 · 2,2 = −107,8 J La variación de energía potencial es, lógicamente, la misma en ambos casos. 3. Calcula la energía potencial elástica que posee un muelle que alargamos 5 cm si para alargarlo 10 cm debemos tirar de él con una fuerza de 20 N. Sabemos que para alargar el muelle 10 cm hemos de realizar una fuerza de 20 N. A partir de este dato es posible calcular la constante elástica, k, que nos servirá para resolver el problema: F 20 F = k · x → k =  =  = 200 N · m−1 x 0,1 Ahora ya estamos en condiciones de calcular la energía almacenada cuando el muelle está estirado 5 cm. Para ello, basta con sustituir en la expresión: 1 1 Ep (x) =  · k · x 2 =  · 200 · 0,052 = 0,25 J 2 2 4. En la actividad anterior, calcula el valor de la constante elástica, k. La constante elástica la hemos calculado ya para resolver la primera actividad de esta página: k = 200 N · m−1. 5. Si cortamos el muelle por la mitad, ¿cuánto vale ahora la constante elástica de cada trozo? Al cortar el muelle por la mitad, la constante elástica sigue siendo la misma para cada trozo, ya que dicha constante depende únicamente de las características del material. 1.5. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA 1. Dejamos caer un objeto de 2 kg desde una altura de 10 m. En ausencia de rozamiento: a) Calcula la energía mecánica del objeto a 10, 8, 6, 4, 2 y 0 m del suelo. b) Representa en una gráfica las energías cinética, potencial gravitatoria y mecánica del objeto. A la vista del resultado, ¿qué puedes decir de las fuerzas que actúan? a) El movimiento de caída libre es un m.r.u.a. Calcularemos, por tanto, cada uno de los instantes en los que la altura es la indicada por el enunciado y, a partir de ellos, la velocidad, dada por las ecuaciones del movimiento de caída libre. Por último, calcularemos las energías cinética, potencial y mecánica. Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 8 Cuando h = 8 m, resulta: y= 2⋅ y = g 1 ⋅ g ⋅t2 → t = 2 2 ⋅ (10 − 8) = 0, 632 s 10 Como partimos de velocidad nula, la velocidad en este instante es: v = v0 + g · t = 0 + 10 · 0,632 = 6,32 m · s−1 Por tanto, la energía cinética tiene un valor: 1 Ec =  · 2 · (6,32)2 = 40 J 2 La energía potencial del objeto a esta altura es: Ep = m · g · h = 2 · 10 · 8 = 160 J Y, por tanto, su energía mecánica vale: Em = Ec + Ep = 40 + 160 = 200 J Realizando estas operaciones para cada una de las alturas pedidas, obtenemos: Altura (m) Instante (s) Energía cinética (J) Energía potencial (J) Energía mecánica (J) 10 0 0 200 200 8 0,632 40 160 200 6 0,894 80 120 200 4 1,095 120 80 200 2 1,265 160 40 200 0 1,41 200 0 200 b) Al representar gráficamente los datos anteriores, resulta: E ( J) Em 200 160 Ec Ep 120 80 40 2 4 6 8 10 h (m) Sobre el objeto actúa una fuerza conservativa, que es la fuerza gravitatoria. Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 9 2. Un cuerpo de 50 kg de masa se deja libre sobre un plano inclinado 30º. Calcula el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano, sabiendo que el cuerpo no se desliza. Si el cuerpo no se desliza, la resultante de las fuerzas que actúan en la dirección del plano inclinado en que se encuentra apoyado debe ser nula. Estas fuerzas son la componente horizontal del peso y la fuerza de rozamiento. Por tanto: r r Px + F r = 0 → Px − Fr = 0 → Px = Fr → m · g · sen θ = µ · m · g · cos θ m · g · sen θ sen θ µ =  =  = tg θ → µ = tg 30° = 0,58 m · g · cos θ cos θ 3. Lanzamos verticalmente hacia arriba un objeto de 3 kg de masa, con v = 15 m/s. Calcula la energía disipada por rozamiento con el aire si, cuando el objeto vuelve al suelo, su velocidad es 12,5 m/s. La energía cinética que comunicamos al objeto en el momento del lanzamiento y la que posee un instante antes de tocar el suelo son, respectivamente: 1 1 Ec =  · m · v12 → Ec =  · 3 ...
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