uitwerkingen

uitwerkingen - Uitwerking van opgaven in Sipser Opgave 4.10...

Info iconThis preview shows pages 1–3. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Uitwerking van opgaven in Sipser Opgave 4.10 Laat zien dat INFINITE PDA = {h M i | M is een PDA en L ( M ) is oneindig } beslisbaar is. De volgende TM beslist INFINITE PDA : Op input h M i waarbij M een PDA is, 1. Converteer M naar een equivalente CFG, en noem die G (dit is duidelijk een berekenbare functie/transformatie). 2. Laat n het maximum aantal symbolen aan de rechter kant van een regel in G zijn en stel dat b het aantal variabelen in G is, en laat m = b n + 1. 3. Zij L de reguliere taal bestaande uit alle woorden van lengte ≥ m . 4. Construeer een CFG H voor de taal L ∩ L ( M ) (dit kan omdat de doorsnede van een reguliere en een context vrije taal weer context vrij is, opgave 2.18). 5. Test of H in E CFG zit (dit een beslisbare taal). Zo ja, reject, zo nee, accept. We bewijzen dat dit algoritme INFINITE PDA beslist: als h M i ∈ INFINITE PDA , dan is er een woord s van lengte ≥ m in L ( M ). Omdat m de pomplengte is kunnen we s pompen volgens het pomplemma voor CFG’s. Dus bevat L ( M ) oneindig veel woorden. Omgekeerd, als L ( M ) oneindig veel woorden bevat, moet het oneindig veel woorden van lengte ≥ m bevatten (het bevat natuurlijk oneindig veel woorden van lengte ≥ k voor elke k ). Dus is L ( H ) niet leeg, en dus is H niet in E CFG , en dus accepteert het algoritme h M i . Opgave 4.12 Laat zien dat INC REG = {h R,S i | R en S zijn reguliere expressies en L ( R ) ⊆ L ( S ) } beslisbaar is. De volgende TM beslist INC REG : Op input h R,S i waarbij R en S reguliere expressies zijn: 1. Converteer R naar de DFA M . 2. Construeer een DFA N voor het complement van L ( S ) (dit kan omdat het complement van een reguliere taal weer regulier is). 1 3. Construeer een DFA K voor L ( M ) ∩ L ( N ). 4. Test of K in E DFA zit (dit een beslisbare taal). Zo ja, accept, zo nee, reject. Het is duidelijk dat dit algoritme INC REG beslist. Exercise 5.1 Show that EQ CFG is undecidable. Observe that indeed we cannot copy the proof that EQ DFA is decidable as the the CFL’s are not closed under comple- ment, while the regular languages are. We show that EQ CFG is undecidable by showing that if it would be decidable, then so would ALL CFG , which is not true (Theorem 5.13). And thus we have derived a contradiction. So suppose EQ CFG is decidable and let M be the decider. First we observe that there is a CFG which language is Σ * , For example (in the case that Σ = { , 1 } ), the CFG consisting of the rules S → | S | 1 S does the trick. Let us call this CFG H , thus L ( H ) = Σ * . The following N is a decider for ALL CFG : On input h G i , where G is a CFG: Run M on h G,H...
View Full Document

This document was uploaded on 11/29/2010.

Page1 / 6

uitwerkingen - Uitwerking van opgaven in Sipser Opgave 4.10...

This preview shows document pages 1 - 3. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online