uitwerkingen - Uitwerking van opgaven in Sipser Opgave 4.10...

Info icon This preview shows pages 1–3. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
Uitwerking van opgaven in Sipser Opgave 4.10 Laat zien dat INFINITE P DA = { M | M is een PDA en L ( M ) is oneindig } beslisbaar is. De volgende TM beslist INFINITE P DA : Op input M waarbij M een PDA is, 1. Converteer M naar een equivalente CFG, en noem die G (dit is duidelijk een berekenbare functie/transformatie). 2. Laat n het maximum aantal symbolen aan de rechter kant van een regel in G zijn en stel dat b het aantal variabelen in G is, en laat m = b n + 1. 3. Zij L de reguliere taal bestaande uit alle woorden van lengte m . 4. Construeer een CFG H voor de taal L L ( M ) (dit kan omdat de doorsnede van een reguliere en een context vrije taal weer context vrij is, opgave 2.18). 5. Test of H in E CF G zit (dit een beslisbare taal). Zo ja, reject, zo nee, accept. We bewijzen dat dit algoritme INFINITE P DA beslist: als M INFINITE P DA , dan is er een woord s van lengte m in L ( M ). Omdat m de pomplengte is kunnen we s pompen volgens het pomplemma voor CFG’s. Dus bevat L ( M ) oneindig veel woorden. Omgekeerd, als L ( M ) oneindig veel woorden bevat, moet het oneindig veel woorden van lengte m bevatten (het bevat natuurlijk oneindig veel woorden van lengte k voor elke k ). Dus is L ( H ) niet leeg, en dus is H niet in E CF G , en dus accepteert het algoritme M . Opgave 4.12 Laat zien dat INC REG = { R, S | R en S zijn reguliere expressies en L ( R ) L ( S ) } beslisbaar is. De volgende TM beslist INC REG : Op input R, S waarbij R en S reguliere expressies zijn: 1. Converteer R naar de DFA M . 2. Construeer een DFA N voor het complement van L ( S ) (dit kan omdat het complement van een reguliere taal weer regulier is). 1
Image of page 1

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full Document Right Arrow Icon
3. Construeer een DFA K voor L ( M ) L ( N ). 4. Test of K in E DF A zit (dit een beslisbare taal). Zo ja, accept, zo nee, reject. Het is duidelijk dat dit algoritme INC REG beslist. Exercise 5.1 Show that EQ CF G is undecidable. Observe that indeed we cannot copy the proof that EQ DF A is decidable as the the CFL’s are not closed under comple- ment, while the regular languages are. We show that EQ CF G is undecidable by showing that if it would be decidable, then so would ALL CF G , which is not true (Theorem 5.13). And thus we have derived a contradiction. So suppose EQ CF G is decidable and let M be the decider. First we observe that there is a CFG which language is Σ * , For example (in the case that Σ = { 0 , 1 } ), the CFG consisting of the rules S | 0 S | 1 S does the trick. Let us call this CFG H , thus L ( H ) = Σ * . The following N is a decider for ALL CF G : On input G , where G is a CFG: Run M on G, H , if it accepts, accept, otherwise, reject.
Image of page 2
Image of page 3
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern