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Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 100 1 Topologie par André WARUSFEL Professeur de Mathématiques Spéciales au Lycée Louis-le-Grand usqu’au dix-septième siècle les mathématiques, centrées sur les concepts de point et de nombre , objets de constructions géométriques et de calculs algébriques, n’avaient qu’incidemment efFeuré le domaine de l’ analyse . Ce der- nier a très vite pris le pas sur le reste des mathématiques, car il a notamment constitué le cOur et le moteur principal de la révolution technologique qui a carac- térisé les trois siècles suivants, permettant à l’homme de parachever sa domi- nation sur la nature, notamment par le biais des applications physico-chimiques et industrielles du calcul différentiel et intégral. 1. Topologie de la droite réelle ................................................................. A 100 - 3 1.1 Limites de suites réelles. ............................................................................. 3 1.2 Ensembles fermés de nombres réels. ........................................................ 3 1.3 Ensembles ouverts de nombres réels. ....................................................... 3 1.4 Quelques propriétés d’ouverts et fermés de la droite réelle . .................. 4 1.5 Extension aux ensembles de nombres. ..................................................... 4 1.6 Axiomes de la topologie générale . ............................................................ 4 2. Espaces métriques ................................................................................... 5 2.1 La distance, concept universel . .................................................................. 5 2.2 Espaces métriques et droite réelle. ............................................................ 5 2.3 Boules ouvertes d’un espace métrique . .................................................... 6 2.4 Topologie d’un espace métrique. ............................................................... 6 2.5 Convergence d’une suite dans un espace métrique. ................................ 6 2.6 Clôture et adhérence d’une partie. ............................................................. 7 3. Continuité dans les espaces métriques ............................................. 7 3.1 Continuité d’une fonction en un point. ...................................................... 7 3.2 Continuité globale et topologie. ................................................................. 8 4. Espaces connexes et parties connexes ............................................. 9 4.1 Continuité, connexité et compacité. ........................................................... 9 4.2 Introduction élémentaire de la connexité. ................................................. 9 4.3 DéFnitions topologiques de la connexité. ................................................. 9 4.4 Propriétés fondamentales des parties connexes. ..................................... 9 4.5 Exemples et contre-exemples de connexité. ............................................. 10 5. Espaces compacts et parties compactes .......................................... 10 5.1 Compacité et parties bornées de réels . ..................................................... 10 5.2 Propriétés fondamentales des parties compactes. ................................... 10 5.3 Continuité et compacité . ............................................................................. 11 5.4 Compacité et topologie. .............................................................................. 11 5.5 Compacité et théorèmes de Lebesgue . ..................................................... 11 6. Espaces complets et parties complètes ............................................ 12 6.1 Suites de Cauchy . ........................................................................................ 12 6.2 Suites de Cauchy et topologie réelle . ........................................................ 12 6.3 DéFnition séquentielle de la complétude. ................................................. 12 6.4 Théorème du point Fxe et espaces complets . .......................................... 13 6.5 Notion d’espace vectoriel normé complet . ............................................... 13 Références bibliographiques ......................................................................... 14 J
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TOPOLOGIE ___________________________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. A 100 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales L’introduction des infniment petits , explicitée et (au moins pour l’essentiel) légitimée à la fn des années 1600 par Newton et Leibniz , a ouvert la porte à tous nos outils modernes : dérivation, intégration, équations diFFérentielles et
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This note was uploaded on 11/25/2010 for the course PHYSICS 13269875 taught by Professor Beya during the Winter '10 term at Nevada State College.

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