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Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 33 - 1 Langage des ensembles et des structures par Bernard RANDÉ Ancien élève de l’école normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis ’article qui suit a pour seul objet de fournir un dictionnaire élémentaire des notions et des outils les plus communément employés. On n’y cherchera ni théorie élaborée, ni même approche formaliste. Seules les définitions sont don- nées. Les résultats qu’appelleraient les théories correspondantes (théorie des ensembles ordonnés, des groupes, des anneaux et des corps) ne sont en aucun cas fournis. Ils feront l’objet, pour certains d’entre eux, d’articles spécifiques. 1. Présentation ............................................................................................... AF 33 - 2 2. Le langage des ensembles ...................................................................... 2 2.1 Le vocabulaire de base . ............................................................................... 2 2.11 Introduction. ......................................................................................... 2 2.12 Appartenance à un ensemble. ............................................................ 3 2.13 Inclusion. .............................................................................................. 3 2.14 Complémentaire. ................................................................................. 4 2.15 Intersection. Réunion . ......................................................................... 4 2.16 Fonction caractéristique d’un sous-ensemble . ................................. 5 2.17 Partition d’un ensemble. ..................................................................... 5 2.18 Produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles. ............................. 5 2.2 Applications, relations . ................................................................................ 5 2.21 Fonction. ............................................................................................... 5 2.22 Application. .......................................................................................... 6 2.23 Relation binaire. ................................................................................... 6 2.24 Relation d’équivalence. ....................................................................... 6 2.25 Relation d’ordre. .................................................................................. 7 2.26 Composition des applications. ........................................................... 9 2.27 Action d’une application sur un sous-ensemble de la source ou du but. ............................................................................................. 9 2.28 Surjection, injection, bijection. ........................................................... 9 2.29 Factorisation d’une application. ......................................................... 10 2.210 Application monotone . ...................................................................... 11 3. Les structures algébriques fondamentales ....................................... 11 3.1 Introduction. .................................................................................................. 11 3.2 Loi de composition interne. ......................................................................... 11 3.3 Élément neutre. Élément symétrisable. ...................................................... 12 3.4 Structure de groupe . .................................................................................... 13 3.5 Groupe abélien . ............................................................................................ 14 3.6 Structure d’anneau. ...................................................................................... 14 3.7 Structure de corps. ....................................................................................... 16 L
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LANGAGE DES ENSEMBLES ET DES STRUCTURES ____________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. AF 33 - 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales 1. Présentation C’est certainement à Bourbaki que l’on doit, en France et dans le monde, l’utilisation universelle du langage moderne des mathéma- tiques élémentaires que constitue la théorie des ensembles et des structures. Bien entendu, il ne s’agit là que d’une diffusion à large échelle, par le biais de l’enseignement dont les élèves de Bourbaki ont été le vecteur dans les universités et jusque dans les lycées, d’idées que les mathématiciens professionnels reconnaissaient comme leurs depuis de nombreuses décennies. Cette diffusion n’a été rendue possible que par l’ergonomie de ce langage, qui permet de manipuler clairement et sans effort des objets variés des mathé- matiques.
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This note was uploaded on 11/25/2010 for the course PHYSICS 13269875 taught by Professor Beya during the Winter '10 term at Nevada State College.

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