Af55 - Calcul diffrentiel par Danile LINO Ancienne lve de lcole normale suprieure de Svres Agrge de mathmatiques Professeur de mathmatiques

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Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 55 1 Calcul différentiel par Danièle LINO Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres Agrégée de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Henri-IV et Bernard RANDÉ Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis es fondements du calcul différentiel, l’introduction de la notion de dérivée, les règles opératoires sur les dérivées et le lien entre intégration et dériva- tion conçues comme opérations inverses l’une de l’autre remontent au dix-septième siècle et principalement à Newton (1642-1727) et à Leibniz (1647-1716). C’est ce dernier mathématicien qui introduit la notation dy/dx déF- nissant la dérivée d’une fonction y. Le théorème de Rolle (1652-1719) date de 1691 et la règle de l’Hospital de 1696. Taylor (1685-1731) énonce en 1715 la formule qui porte son nom. Les for- mules de Taylor avec reste de Lagrange et reste intégral apparaissent chez Lagrange (1736-1813) démontrées de manière rigoureuse. Le calcul différentiel à plusieurs variables apparaît au cours de la première moitié du XVIII e siècle. En liaison avec des problèmes physiques (mécanique, hydrodynamique) apparaissent les premières équations aux dérivées partielles. En 1743, d’Alembert (1717-1783) étudie l’équation des oscillations d’une chaîne pesante. En 1746, il écrit l’équation des cordes vibrantes ( 2 y/ t 2 = 2 y/ x 2 ) qu’il résout quelques années plus tard. 1. Calcul différentiel sur les fonctions d’une seule variable ........... AF 55 - 2 1.1 Le cadre et les notations . ............................................................................ 2 1.2 Dérivée. ......................................................................................................... 2 1.3 Les théorèmes de Rolle et des accroissements ±nis. ............................... 4 1.4 Dérivées successives et applications de classe C n ................................... 6 2. Calcul différentiel sur les applications de plusieurs variables 8 2.1 Introduction. ................................................................................................. 8 2.2 Dérivées partielles . ...................................................................................... 9 2.3 Différentiabilité . ........................................................................................... 11 2.4 Applications continuement différentiables . .............................................. 14 2.5 Inégalité des accroissements ±nis . ............................................................ 15 2.6 Difféomorphismes. ...................................................................................... 17 2.7 Application de classe C k Dérivée partielles d’ordre quelconque . ........... 19 2.8 Formule de Taylor. ....................................................................................... 21 3. Applications du calcul différentiel ..................................................... 23 3.1 Fonctions convexes. .................................................................................... 23 3.2 Développement en série entière . ............................................................... 25 3.3 Extrémum d’une fonction de plusieurs variables. .................................... 26 3.4 Théorème des fonctions implicites. ........................................................... 27 3.5 Exemples de résolution d’équations aux dérivées partielles . ................. 29 3.6 Utilisation des notations de Leibniz. .......................................................... 31 L
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CALCUL DIFFÉRENTIEL __________________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
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This note was uploaded on 11/25/2010 for the course PHYSICS 13269875 taught by Professor Beya during the Winter '10 term at Nevada State College.

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