a560 - Calcul des probabilits Concepts et rsultats de base...

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Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 560 1 Calcul des probabilités Concepts et résultats de base par Jean-Pierre FOUQUE Docteur ès Sciences Chargé de Recherche au Centre National de la Recherche Scientifque Maître de ConFérences à l’École Polytechnique et article est une introduction aux notions Fondamentales des Probabilités. Celles-ci se sont dégagées progressivement à partir du XVII e siècle, mais elles n’ont vraiment trouvé que depuis une soixantaine d’années la Formulation mathématique susceptible de leur donner toute la clarté et toute leur puis- sance. Depuis sa Fondation vers 1650 par Pascal et ±ermat, cette théorie s’est déve- loppée d’abord pendant plus d’un siècle comme un calcul combinatoire : le calcul des Probabilités. Vint ensuite la période d’application aux Probabilités de l’Analyse mathématique qui venait d’être créée : cette période s’ouvre approxi- mativement avec la parution en 1812 du très important « Traité analytique des Probabilités » de Laplace. Enfn la période moderne, caractérisée par l’étude des Fonctions aléatoires, débute vers 1930 : dans les « Fondements de la Théorie des Probabilités » Kolmogorov publie en 1933 une nouvelle axiomatique basée sur la théorie de l’intégration et universellement adoptée ensuite. Non seulement cette axiomatique s’est avérée indispensable dans l’étude de tous les modèles 1. Espaces de probabilités ......................................................................... A 560 - 2 1.1 DéFnitions . ................................................................................................... 2 1.2 Calcul combinatoire des probabilités . ....................................................... 4 1.3 Conditionnement et indépendance. ........................................................... 5 2. Variables aléatoires réelles ................................................................... 8 2.1 Généralités. Loi d’une var. .......................................................................... 8 2.2 Espérance mathématique . .......................................................................... 10 2.3 Var indépendantes. ...................................................................................... 11 2.4 ±onction caractéristique. ............................................................................. 12 2.5 Exemples de lois de probabilités . .............................................................. 13 2.6 Simulation. ................................................................................................... 16 3. Vecteurs aléatoires .................................................................................. 17 3.1 Généralités . .................................................................................................. 17 3.2 Indépendance. Covariance. ±onction caractéristique. .............................. 19 3.3 Vecteurs gaussiens. ..................................................................................... 20 4. Théorèmes limites fondamentaux ....................................................... 22 4.1 Loi des grands nombres . ............................................................................ 22 4.2 Théorème de la limite centrale. .................................................................. 23 4.3 Comparaison des différents modes de convergence. .............................. 24 5. Espérances et lois conditionnelles ..................................................... 25 5.1 Approximation au sens des moindres carrés . .......................................... 25 5.2 Espérance conditionnelle. ........................................................................... 26 5.3 Lois conditionnelles. .................................................................................... 27 5.4 Conditionnement dans le cas gaussien. .................................................... 28 Références bibliographiques ......................................................................... 29 C
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CALCUL DES PROBABILITÉS ______________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. A 560 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales dynamiques ou chronologiques des Probabilités (fonctions aléatoires ou « processus stochastiques »), mais il est bien reconnu que l’expression mathé- matique qui a été ainsi donnée aux concepts fondamentaux confère à ceux-ci une clarté et une maniabilité beaucoup plus grandes.
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