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Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 1 210 1 Les tenseurs et leurs applications par Hélène LANCHON-DUCAUQUIS Docteur ès Sciences Mathématiques Professeur à l’Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL) ne loi qui a pour objet de traduire un phénomène physique doit être intrinsèque , c’est-à-dire indépendante des outils mathématiques qui vont être choisis par les scientifiques pour l’exprimer en une relation. On sait déjà qu’ elle ne doit pas dépendre du choix des unités de mesure (longueur L, masse M, angle A, intensité du courant électrique I ou lumineuse J, température Θ ). Cela implique que chaque membre d’une relation qui, exprime la loi étudiée, ait la même dimension. L’écriture adimension- nelle de la loi permet, de ce point de vue, une certaine universalité de son expression ; elle a de plus le mérite de faire apparaître des propriétés intéres- santes de cette loi par le biais de paramètres caractéristiques, eux-mêmes adimensionnels ; par exemple, les nombres de Reynolds, Mach, Froude, Biot, Bond, etc. Une loi doit aussi pouvoir être exprimée de façon intrinsèque par rapport à tout choix de système de coordonnées (orthonormal diect ou indirect, local ou absolu, curviligne standard ou quelconque). Pour que cette indépendance soit assurée, il faut que chaque membre d’une relation, qui exprime la loi, ait la même nature tensorielle ; c’est-à-dire le même comportement lors d’un changement de base. Par exemple, l’égalité entre la longueur d’un vecteur et celle de l’une de ses composantes v i sur la base en pourra être que fortuite ; en effet, lors d’un changement de base est invariant, alors que la i ième composante de peut prendre n’importe quelle valeur entre . On dit que est une quantité scalaire et nous verrons que c’est un tenseur d’ordre 0, alors que est un tenseur d’ordre 1. De ce point de vue, l’écriture universelle de la loi sera l’ écriture tensorielle qui aura de plus les mérites d’être moins encombrante et de faire apparaître directement certaines propriétés fondamentales de la loi (symétries, directions privilégiées, invariants, etc.). 1. Définitions pratiques des tenseurs ..................................................... A 1 210 - 3 2. Techniques de calcul tensoriel dans R 3 . Cadre cartésien ............ 8 3. Directions principales et valeurs propres d’un tenseur d’ordre 2 ............................................................................ 11 4. Décompositions standards d’un tenseur du second ordre .......... 12 5. Applications sur l’espace des tenseurs cartésiens du second ordre ........................................................................................ 13 6. Notions d’analyse tensorielle. Application au cadre cartésien ............................................................ 15 7. Notions pratiques sur les tenseurs non cartésiens ........................ 19 8. Les tenseurs dans les applications ..................................................... 23 Références bibliographiques ......................................................................... 32 U V V e 1 , e 2 , e 3 V V V et + V V V
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LES TENSEURS ET LEURS APPLICATIONS ___________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
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This note was uploaded on 11/25/2010 for the course PHYSICS 13269875 taught by Professor Beya during the Winter '10 term at Nevada State College.

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