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Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 1 212 1 Problèmes en élasticité semi-classique. Modélisation et résolution par Hélène LANCHON-DUCAUQUIS Docteur ès Sciences Mathématiques Professeur à l’Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL) ous nous proposons dans cet article de rassembler un certain nombre d’indications pratiques pour un ingénieur qui a un problème d’élasticité à résoudre. Nos investigations seront limitées à l’élasticité semi-classique , c’est-à-dire aux situations où l’hypothèse des petites perturbations (HPP) peut être admise et où la linéarité de la loi contraintes-déformations pourra être considérée comme réaliste. Le préFxe semi indique par convention que l’on ne fait pas nécessairement les hypothèses d’isotropie et d’homogénéité, ce qui permet une ouverture sur les matériaux composites ou le bois par exemple. 1. Problème de départ : défnitions, équations générales ................ A 1 212 - 2 1.1 L’inconnue principale de l’ingénieur : le champ de contraintes . ............. 2 1.2 Remarques sur les données, les variables et les inconnues du problème . ................................................................... 3 1.3 Analyse du comportement du milieu solide : cadre de l’élasticité semi-classique. ........................................................... 3 1.4 Analyse des conditions aux limites. ........................................................... 4 1.5 Conditions éventuelles de transmission. ................................................... 5 1.6 Remarques sur l’intervention de la variable temps. ................................. 5 1.7 Remarques sur le cas particulier des milieux homogènes et isotropes. .................................................................................................. 5 2. Recherche d’un modèle mathématique optimal ............................. 5 2.1 Modélisation naturelle en déplacements . ................................................. 5 2.2 Modélisation basée sur des propriétés a priori de la solution . ............... 6 2.3 Conclusion sur la recherche d’un modèle optimal. .................................. 8 3. Exemples des problèmes classiques .................................................. 9 3.1 Problèmes de Saint Venant. ........................................................................ 9 3.2 Problèmes à symétrie de révolution. ......................................................... 11 3.3 Problèmes de déformations et de contraintes planes. ............................. 12 4. Théorèmes de l’énergie .......................................................................... 13 4.1 Motivations . ................................................................................................. 13 4.2 Premier théorème de l’énergie et forme variationnelle associée. ........... 13 4.3 Deuxième théorème de l’énergie et forme variationnelle associée. ....... 14 4.4 Bilan d’un point de vue mécanique . .......................................................... 15 4.5 Résultats mathématiques permettant de résoudre les problèmes variationnels de l’élasticité. .......................... 15 5. Ouverture sur d’autres comportements ............................................ 16 5.1 Milieux curvilignes ou surfaciques . ........................................................... 16 5.2 Thermoélasticité semi-classique. ............................................................... 17 5.3 Élastoplasticité. ............................................................................................ 17 5.4 Viscoélasticité . ............................................................................................. 17 RéFérences bibliographiques ......................................................................... 18 N
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PROBLÈMES EN ÉLASTICITÉ SEMI-CLASSIQUE. MODÉLISATION ET RÉSOLUTION ___________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
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