af162 - Introduction aux quations aux drives partielles...

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Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 162 - 1 Introduction aux équations aux dérivées partielles linéaires par Gérard DEBEAUMARCHÉ Ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims n se propose dans cet article de décrire quelques propriétés élémentaires des équations aux dérivées partielles (e.d.p.) linéaires du second ordre à coefficients constants, autrement dit, dans le cas de deux variables, des équa- tions de la forme : (E) où a, b, c, α , β γ désignent six nombres réels donnés (a, b, c étant non tous nuls), F une fonction continue de deux variables réelles définie sur un ouvert U du plan et u une fonction inconnue, supposée de classe C 2 . On distingue a priori deux types de problèmes : 1. Classification des e.d.p. linéaires du second ordre ....................... AF 162 - 3 2. Une équation hyperbolique : l’équation des ondes ........................ 4 2.1 Équation des cordes vibrantes . .................................................................. 4 2.1.1 Cas d’une corde infinie. ...................................................................... 4 2.1.2 Cas d’une corde finie. ......................................................................... 5 2.2 Généralisation : l’équation des ondes en dimension n ............................ 7 3. Une équation parabolique : l’équation de la chaleur ..................... 7 3.1 Équation de la chaleur en dimension 1 . .................................................... 7 3.1.1 Cas d’une barre infinie . ...................................................................... 7 3.1.2 Cas d’une barre finie . ......................................................................... 9 3.2 Généralisation : équation de la chaleur en dimension .......................... 11 4. Une équation elliptique : l’équation de Laplace ............................. 12 4.1 Présentation . ................................................................................................ 12 4.2 L’équation de Laplace et les fonctions harmoniques dans un ouvert U . 12 4.3 L’équation de Laplace et le problème de Dirichlet dans un cercle . ......... 14 4.3.1 Unicité d’une éventuelle solution par le principe du maximum . ............................................................ 14 4.3.2 Existence d’une solution par la méthode de séparation des variables. .............................................................. 15 4.4 L’équation de Laplace et le problème de Neumann dans un cercle. ....... 16 4.4.1 Généralités . ......................................................................................... 16 4.4.2 Unicité à une constante additive près d’une éventuelle solution. .. 17 4.4.3 Existence d’une solution par la méthode de séparation des variables. .............................................................. 17 4.5 Le potentiel newtonien et l’équation de Poisson. ..................................... 18 5. Théorie spectrale et séparation des variables ................................. 18 Références bibliographiques ........................................................................ 21 O a 2 u x 2 ---------- b 2 y ------------- c 2 2 ------ ++ + + + F xy , (29 =
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INTRODUCTION AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES LINÉAIRES _________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. AF 162 - 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales — ceux dans lesquels n’intervient pas la variable temps t, et qui ne dépendent donc que des variables spatiales x, y, z ; ils sont appelés problèmes stationnaires ; — ceux dans lesquels intervient, en plus des variables spatiales x, y, z, la varia- ble temps t ; ils sont appelés problèmes d’évolution .
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