af181 - Comportements asymptotiques dans les systmes...

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Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 181 - 1 Comportements asymptotiques dans les systèmes dynamiques par Bernard RANDÉ Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis l est en général impossible d’exprimer le flot d’un système dynamique à l’aide de fonctions qui permettraient d’en étudier le comportement asymp- totique. Il revient à « Liouville » d’avoir donné des exemples d’équations diffé- rentielles, d’ailleurs très simples, dont les solutions ne peuvent pas être représentées à l’aide des seules « fonctions élémentaires », et ce au moyen d’expressions finies utilisant les opérateurs de base (somme, produit, composi- tion, intégration). La première conséquence de cela est qu’une étude quantita- tive devra s’appuyer sur des moyens de résolution approchée qui, longtemps, ont fait défaut. D’un autre côté, l’expérience prouve que, même muni de puis- sants moyens de calcul, on peut parfaitement passer à côté de phénomènes fon- damentaux. Il y a plusieurs raisons à cela. En premier lieu, certains phénomènes limites ne se produisent que pour un ensemble de valeurs initiales de mesure nulle : toutes les chances d’éviter ces valeurs sont donc réunies, lors d’une simu- lation numérique. C’est le cas d’un pendule sans frottement, pour lequel il est difficile de prédire que l’équilibre vertical (instable) est limite de deux trajectoires 1. Stabilité des équilibres ........................................................................... AF 181 2 1.1 Position du problème. .................................................................................. 2 1.1.1 Notations. ............................................................................................. 2 1.1.2 Limite d’une trajectoire et stabilité asymptotique. ........................... 3 1.1.3 Ensembles-limites . .............................................................................. 3 1.1.4 Cas des systèmes dynamiques discrets. ........................................... 4 1.2 Linéarisation . ................................................................................................ 6 1.2.1 Cas des équations autonomes linéaires d’ordre 2 . .......................... 6 1.2.2 Cas des équations autonomes linéaires d’ordre quelconque . ........ 9 1.2.3 Linéarisation des équations autonomes quelconques. .................... 10 1.3 Stabilité et fonctions de Liapounov . ........................................................... 14 1.3.1 Position du problème. ......................................................................... 14 1.3.2 Fonctions de Liapounov. ..................................................................... 15 2. Géométrie du flot ...................................................................................... 17 2.1 Section locale et voisinage de retour . ........................................................ 17 2.2 Le théorème de Poincaré et Bendixson. ..................................................... 18 2.2.1 Préliminaires géométriques . .............................................................. 18 2.2.2 Suites monotones sur une droite. ...................................................... 19 2.2.3 Le théorème de monotonie . ............................................................... 19 2.2.4 Le théorème fondamental de Poincaré et Bendixson . ..................... 20 2.3 Orbites compactes et positions d’équilibre. ............................................... 22 2.3.1 Existence d’orbites compactes dans le cas d’un espace de dimension finie quelconque . ................................... 22 2.3.2 Cas des systèmes plans. ..................................................................... 23 I
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COMPORTEMENTS ASYMPTOTIQUES DANS LES SYSTÈMES DYNAMIQUES ________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
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This note was uploaded on 11/25/2010 for the course PHYSICS 13269875 taught by Professor Beya during the Winter '10 term at Nevada State College.

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