af210 - Les bases dondelettes par Albert COHEN Universit

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Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 210 1 Les bases d’ondelettes par Albert COHEN Université Pierre-et-Marie-Curie, Laboratoire d’analyse numérique, Paris pparues au début des années 1980, tout en prenant leur source dans des travaux plus anciens, les ondelettes s’imposent aujourd’hui comme des outils puissants en analyse mathématique et dans des domaines plus appliqués tels que le traitement du signal et de l’image, ou encore la simulation numérique. Cet article vise à introduire le lecteur à ces outils et à leur mise en Ouvre pratique dans la perspective de ces applications. 1. Représentations en fréquence ............................................................. AF 210 - 2 1.1 Représenter les fonctions . .......................................................................... 2 1.2 Défauts des représentations en fréquence. ............................................... 2 2. L’approche temps-fréquence ................................................................. 3 2.1 L’analyse temps-fréquence . ........................................................................ 3 2.2 La transformée en ondelettes. .................................................................... 3 2.3 Les frames et les bases d’ondelettes . ........................................................ 4 3. Un exemple fondamental ....................................................................... 5 3.1 Le système de Haar . .................................................................................... 5 3.2 L’algorithme de Haar . .................................................................................. 6 3.3 Intérêt des représentations en ondelettes. ................................................ 7 3.4 Décomposition des images . ....................................................................... 8 4. Le cadre multirésolution ........................................................................ 9 4.1 Les analyses multirésolutions . ................................................................... 9 4.2 Les ondelettes orthonormales. ................................................................... 10 4.3 Les ondelettes biorthogonales . .................................................................. 11 4.4 La transformée en ondelette rapide. .......................................................... 12 5. Les ondelettes généralisées .................................................................. 13 5.1 Ondelettes et éléments ±nis . ...................................................................... 13 5.2 Les analyses multirésolutions discrètes. ................................................... 14 6. Ondelettes et adaptativité ..................................................................... 15 6.1 L’approximation non-linéaire. ..................................................................... 15 6.2 Du traitement d’images à la simulation numérique. ................................ 16 Références bibliographiques ......................................................................... 18 A
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LES BASES D’ONDELETTES _______________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. AF 210 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales 1. Représentations en fréquence 1.1 Représenter les fonctions Il convient tout d’abord de préciser le sens du mot « outil ». Les mathématiques disposent aujourd’hui d’une multitude de techniques visant à effectuer l’ analyse , la synthèse et la représenta- tion de fonctions quelconques à l’aide de « briques de bases » élémentaires. Ces techniques d’analyse harmonique au sens large sont parfois associées à des algorithmes performants, ce qui leur confère un intérêt supplémentaire pour les applications numéri- ques. L’exemple le plus fondamental est certainement celui de la trans- formée de Fourier connue depuis le XIX e siècle : celle-ci consiste tout d’abord à effectuer l’ analyse en fréquence d’une fonction f ( t ), par la formule : (1) Sous des hypothèses convenables sur f , la fonction est ainsi bien déFnie et elle permet la synthèse de f par la formule d’inversion : (2) Dans cet exemple, les « briques de bases » sont données par les fonctions e ω ( t ) = e i t , . Chacune de ces fonctions est une oscillation pure à la fréquence
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This note was uploaded on 11/25/2010 for the course PHYSICS 13269875 taught by Professor Beya during the Winter '10 term at Nevada State College.

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