af485 - Mthodes numriques en algbre linaire par Robert...

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Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 485 - 1 Méthodes numériques en algèbre linéaire par Robert CABANE Ancien élève de l’École Normale Supérieure Professeur de Mathématiques Spéciales au Lycée Michel-Montaigne (Bordeaux) utant l’algèbre linéaire s’occupe de vecteurs très généraux, autant l’analyse numérique linéaire considère essentiellement des vecteurs ayant un nom- bre fini de composantes numériques, c’est-à-dire situés dans des espaces de dimension finie. Le but de cet ensemble de méthodes est de dégager des procé- dés explicites qui conduisent à des approximations aussi précises que possible des objets « idéaux » que la théorie a dégagés. 1. Traitement des erreurs en algèbre linéaire ....................................... AF 485 - 2 1.1 Position du problème. ................................................................................. 2 1.2 Normes vectorielles, normes matricielles. ................................................ 2 1.3 Normes et rayon spectral. ........................................................................... 6 1.4 Conditionnement. ........................................................................................ 8 1.5 Étude des erreurs et de leur propagation. ................................................. 9 2. Méthodes du pivot ................................................................................... 11 2.1 Principe de l’échelonnement . ..................................................................... 11 2.2 Une variante : la méthode de Crout (dite LU) . .......................................... 14 2.3 Application à la résolution des systèmes linéaires. .................................. 15 2.4 Calcul de déterminants . .............................................................................. 15 2.5 Obtention de la matrice inverse par la méthode de Gauss-Jordan . ....... 16 2.6 Recherche de relations de dépendance. .................................................... 16 2.7 Faut-il faire confiance à la méthode du pivot. ........................................... 16 3. Méthodes itératives ................................................................................. 16 3.1 Principes théoriques. ................................................................................... 16 3.2 Méthode de Gauss-Jacobin. ....................................................................... 17 3.3 Méthode de Gauss-Seidel. .......................................................................... 18 3.4 Généralisation. ............................................................................................. 18 3.5 Amélioration itérative des solutions. ......................................................... 18 4. Méthodes euclidiennes ........................................................................... 18 4.1 Un peu de théorie. ....................................................................................... 19 4.2 Procédés d’orthogonalisation. .................................................................... 20 4.3 Méthode de Cholesky. ................................................................................. 22 4.4 Décomposition en valeurs singulières. ...................................................... 23 4.5 Pseudo-inverses. .......................................................................................... 23 5. Matrices creuses ...................................................................................... 25 5.1 Problèmes de grande taille en algèbre linéaire . ....................................... 25 5.2 Modes de représentation d’une matrice creuse . ...................................... 25 5.3 Algorithmes spécifiques pour les matrices creuses. ................................ 25 Pour en savoir plus ........................................................................................... Doc. AF 485 A
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MÉTHODES NUMÉRIQUES EN ALGÈBRE LINÉAIRE ____________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. AF 485 - 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales On verra assez rapidement que la notion de précision est elle-même impré- cise, car on peut accepter, ou non, une certaine marge d’erreur sur les résultats, et mesurer cette erreur par divers procédés. Nous chercherons donc à dégager en quel(s) sens un vecteur peut être considéré comme « petit », une solution « acceptable ». L’étude rigoureuse des erreurs et de leur propagation au cours des calculs est cependant difficile et amène généralement des résultats exagéré- ment pessimistes. Des points de vue différents, fondés sur la théorie des proba- bilités, conduisent souvent à des conclusions plus engageantes.
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