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Unformatted text preview: EXERCICES DU COURS D’OPTIMISATION Exercices du chapitre 1 Exercice 1: Soit f : R → R d´ efinie par f ( x ) = e x- 1 x si x 6 = 0 , 1 si x = 0 . f est-elle de classe C 1 sur R ? Exercice 2: Calculer la jacobienne de la fonction f : R 2-→ R 3 ( x, y ) 7-→ ( e x + y 3 , y, 3ch x + sh y ) T . Exercice 3: Soit f : R 2 → R la fonction d´ efinie par f ( x, y ) = xy x 2 + y 2 si ( x, y ) 6 = (0 , 0) , si ( x, y ) = (0 , 0) . f est-elle de classe C 1 ( R 2 , R ) ? Exercice 4: Soient f : R → R 2 et g : R 2 → R 3 d´ efinies par f ( t ) = ( t 2- 1 , 2 t ) T et g ( x 1 , x 2 ) = ( x 2 , x 1 ) T . 1. Calculer g ◦ f et en d´ eduire sa diff´ erentielle. 2. Retrouver le r´ esultat de la premi` ere question ` a l’aide de la formule de d´ erivation compos´ ee. Exercice 5: Pour ( x, y, z ) 6 = (0 , , 0), on pose f ( x, y, z ) = 1 p x 2 + y 2 + z 2 . D´ eterminer le gradient et la hessienne de f . Cette derni` ere est-elle semi-d´ efinie positive, d´ efinie positive ? Exercice 6: Soient A ∈ M pn ( R ) et b ∈ R p . Calculer le gradient et la hessienne de la fonction : f : R n-→ R x 7-→ k Ax- b k 2 . Exercice 7: Soit la fonction x 7→ y = f ( x ) donn´ ee implicitement par la relation x 3 + y 3 = xy + 1 au voisinage de (1 , 1). Calculer f (1) , f 00 (1) , f 000 (1)....
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