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Exercices corrigés de la leçon "optimisation sans contrainte" Partie 3 - chapitres I et II Exercice 1 Rechercher les points critiques et déterminer leur nature ( maximum local, minimum local, col) pour les fonctions f f nies ci-dessous a) f ( x, y )=( x 5) 2 +( y 2) 2 b) f ( x, y )=2 x 2 +6 y 2 5 x +4 y c) f ( x, y )=4 x 2 12 xy + y 2 Exercice 2 On considère la fonction f suivante : f ( x, y )= x 3 +3 xy 2 +3 x 2 y +3 y a) calculez les dérivées partielles de f et les dérivées secondes de f b) évaluez les dérivées partielles et les dérivées secondes de f aux points A μ x =1 y = 1 et B μ x = 1 y =1 . A et B sont ils des points critiques de f ? c) déterminer la nature de ces points critiques ( maximum local, minimum local, col,. ..) Exercice 3 Rechercher les points critiques et déterminer leur nature ( maximum local, minimum local, col) pour les fonctions f f nies ci-dessous a) f ( x, y )= x 2 +2 x + y + y 2 b) f ( x, y )=10 x 2 5 y 2 +3 xy x +2 y c) f ( x, y )= x 2 12 x + y 2 27 y d) f ( x, y )= xy x 2 e) f ( x, y )= x 3 + y 2 3 x 12 y +10 Exercice 4 Un industriel produit simultanément 2 biens A et B dont il a le monopole de la production et de la vente dans un pays. Soit x la quantité produit du premier bien et y la quantité produite du second. Les prix p A et p B auxquels il vend les bien A et B sont fonction des quantités écoulées selon les relations : ½ p A = f ( x ) p B = g ( y ) Le coût de production total des quantités x et y est une fonction c ( x, y ) . Le Béné f ce de l’entreprise si elle vend les quantités x et y est donc la fonction π ( x, y )= xf ( x )+ yg ( y ) c ( x, y ) Dans chacun des cas suivants, trouvez les quantités qui maximisent le béné f ce de l’entreprise, la valeur maximale du béné f ce ainsi que les prix de vente de chacun des biens a) p A =1 x p B =1 y c ( x, y )= xy b) p A =28 3 x p B =22 2 y c ( x, y )= x 2 +3 y 2 +4 xy c) p A =33 4 x p B =27 y c ( x, y )= x 2 +3 y 2 + xy 1
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Solutions Rappelons que (1) Un point critique de la fonction f est un point ( x 0 ,y 0 ) pour lequel ½ f 0 x =0 f 0 y =0 (2) pour étudier la nature du point critique ( x 0 ,y 0 ) on doit calculer les dérivées secondes et D = f 00 xx f 00 yy ( f 00 xy ) 2 . On a alors les 4 cas suivants : (a) D =0 on ne peut rien dire (b) D< 0 le point critique est un col (c) D> 0 et f 00 xx > 0 le point critique est un minimum local (d) D> 0 et f 00 xx < 0 le point critique est un maximum local Exercice 1 a) f ( x, y )=( x 5) 2 +( y 2) 2 On a ½ f 0 x =2( x 5) f 0 y =2( y 2) Les coordonnées ( x, y ) d’un point critique sont solution de ½ f 0 x =0 f 0 y =0 soit de ½ f 0 x =2( x 5) = 0 f 0 y =2( y 2) = 0 . On trouve donc
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