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Exercices corrigés de la leçon "optimisation sans contrainte" Partie 3 - chapitres I et II Exercice 1 Rechercher les points critiques et déterminer leur nature ( maximum local, minimum local, col) pour les fonctions f fi nies ci-dessous a) f ( x, y ) = ( x 5) 2 + ( y 2) 2 b) f ( x, y ) = 2 x 2 + 6 y 2 5 x + 4 y c) f ( x, y ) = 4 x 2 12 xy + y 2 Exercice 2 On considère la fonction f suivante : f ( x, y ) = x 3 + 3 xy 2 + 3 x 2 y + 3 y a) calculez les dérivées partielles de f et les dérivées secondes de f b) évaluez les dérivées partielles et les dérivées secondes de f aux points A μ x = 1 y = 1 et B μ x = 1 y = 1 . A et B sont ils des points critiques de f ? c) déterminer la nature de ces points critiques ( maximum local, minimum local, col,...) Exercice 3 Rechercher les points critiques et déterminer leur nature ( maximum local, minimum local, col) pour les fonctions f fi nies ci-dessous a) f ( x, y ) = x 2 + 2 x + y + y 2 b) f ( x, y ) = 10 x 2 5 y 2 + 3 xy x + 2 y c) f ( x, y ) = x 2 12 x + y 2 27 y d) f ( x, y ) = xy x 2 e) f ( x, y ) = x 3 + y 2 3 x 12 y + 10 Exercice 4 Un industriel produit simultanément 2 biens A et B dont il a le monopole de la production et de la vente dans un pays. Soit x la quantité produit du premier bien et y la quantité produite du second. Les prix p A et p B auxquels il vend les bien A et B sont fonction des quantités écoulées selon les relations : ½ p A = f ( x ) p B = g ( y ) Le coût de production total des quantités x et y est une fonction c ( x, y ) . Le Béné fi ce de l’entreprise si elle vend les quantités x et y est donc la fonction π ( x, y ) = xf ( x ) + yg ( y ) c ( x, y ) Dans chacun des cas suivants, trouvez les quantités qui maximisent le béné fi ce de l’entreprise, la valeur maximale du béné fi ce ainsi que les prix de vente de chacun des biens a) p A = 1 x p B = 1 y c ( x, y ) = xy b) p A = 28 3 x p B = 22 2 y c ( x, y ) = x 2 + 3 y 2 + 4 xy c) p A = 33 4 x p B = 27 y c ( x, y ) = x 2 + 3 y 2 + xy 1
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Solutions Rappelons que (1) Un point critique de la fonction f est un point ( x 0 , y 0 ) pour lequel ½ f 0 x = 0 f 0 y = 0 (2) pour étudier la nature du point critique ( x 0 , y 0 ) on doit calculer les dérivées secondes et D = f 00 xx f 00 yy ( f 00 xy ) 2 . On a alors les 4 cas suivants : (a) D = 0 on ne peut rien dire (b) D < 0 le point critique est un col (c) D > 0 et f 00 xx > 0 le point critique est un minimum local (d) D > 0 et f 00 xx < 0 le point critique est un maximum local Exercice 1 a) f ( x, y ) = ( x 5) 2 + ( y 2) 2 On a ½ f 0 x = 2( x 5) f 0 y = 2( y 2) Les coordonnées ( x, y ) d’un point critique sont solution de ½ f 0 x = 0 f 0 y = 0 soit de ½ f 0 x = 2( x 5) = 0 f 0 y = 2( y 2) = 0 . On trouve donc ½ x = 5 y = 2 Pour étudier la nature des points critiques, on calcule les dérivées secondes : f 00 xx = 2 f 00 yy = 2 f 00 xy = 0 . et on a D = 2 2 0 2 = 4 D > 0 et f 00 xx > 0 : le point critique est un minimum local.
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