M06_4ec - Mathmatiques 2 1 Sance 4 Exercices corrigs...

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Mathématiques 2 1 Séance 4 : Exercices corrigés OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES Objectifs Exemples d’application du théorème de Lagrange. Question 1 Application élémentaire L’ensemble défini par les contraintes est un fermé borné de R 3 donc compact, le minimum existe donc bien (mais il y a aussi un maximum). Remarquer que, si on remplace la sphère de rayon 1 par la boule de même rayon, on a un problème d’optimisation d’une fonction linéaire sur un convexe, son minimum est donc atteint sur le bord, qui est la sphère. Le problème obtenu en remplaçant la première contrainte par une inégalité a donc la même solution (de même pour le maximum) que le problème avec égalité. Quel est le Lagrangien de ce problème ? Corr. L ( x, λ 1 , λ 2 ) = J ( x ) + λ 1 ( x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 - 1) + λ 2 ( x 1 + x 2 + x 3 - 1) Écrire les conditions nécessaires d’optimalité de Lagrange. Corr. On écrit que les dérivées en x i du Lagrangien sont nulles 2 + 2 λ 1 x 1 + λ 2 = 0 - 1 + 2 λ 1 x 2 + λ 2 = 0 - 1 + 2 λ 1 x 3 + λ 2 = 0 (1) Déterminer la solution de ( ?? ). Corr. On détermine λ 1 et λ 2 en écrivant que les contraintes sont vérifiées : En sommant les équations on trouve 0 + 2 λ 1 + 3 λ 2 = 0 et la première équation implique 4 λ 2 1 = (2 + λ 2 ) 2 + ( - 1 + λ 2 ) 2 + ( - 1 + λ 2 ) 2 d’où 4 λ 2 1 = 6 + 3
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