cours3-4 - Code optimal Nicolas Sendrier Programme...

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Codage et d´ ecodage ` a l’aide d’un code pr´ efixe Codage : Acc` es ` a une table index´ ee par les lettres. ecodage : Parcours dans l’arbre du code. – On part de la racine de l’arbre. ` A chaque bit lu de la s´ equence ` a d´ ecoder on descend ` a droite ou ` a gauche suivant sa valeur. – Lorsque l’on atteint une feuille, on obtient une lettre du message et on retourne ` a la racine. cours n 3: Algorithmes de codage de source 1 Nicolas Sendrier Programme Informatique – Th´ ematique S´ ecurit´ e Introduction la th´ eorie de l’information Cours n 3 Algorithmes de codage de source Code de Huffman Soit la source discr` ete X d’alphabet X = { a 1 , . . . , a K - 2 , a K - 1 , a K } munie de la loi P . Sans perdre de g´ en´ eralit´ e, nous pouvons supposer que P ( a 1 ) . . . P ( a K - 1 ) P ( a K ) > 0. Nous d´ efinissons la source Y d’alphabet Y = { a 1 , . . . , a K - 2 , b K - 1 } mu- nie de la loi Q ( a k ) = P ( a k ) , k = 1 . . . , K - 2 Q ( b K - 1 ) = P ( a K - 1 ) + P ( a K ) Algorithme (Huffman) Nous voulons construire ϕ un code pr´ efixe de X . Si K = 2, les mots de code sont ϕ ( a 1 ) = 0 et ϕ ( a 2 ) = 1. Si K > 2, soit ψ un code de Huffman de Y , ϕ ( a k ) = ψ ( a k ) pour k = 1 . . . , K - 2, ϕ ( a K - 1 ) = ψ ( b K - 1 ) k 0, ϕ ( a K ) = ψ ( b K - 1 ) k 1, cours n 3: Algorithmes de codage de source 3 Code optimal Les th´ eor` emes de Kraft et Mac Millan ont un corollaire imm´ ediat : Corollaire S’il existe un code ` a d´ ecodage unique dont les K mots ont pour longueur n 1 , n 2 , . . . , n K alors il existe un code pr´ efixe avec les mˆ emes longueurs. efinition Un code ` a d´ ecodage unique d’une source X est optimal s’il n’existe pas de code ` a d´ ecodage unique de X ayant une longueur moyenne strictement inf´ erieure. Proposition Pour toute source il existe un code pr´ efixe optimal. cours n 3: Algorithmes de codage de source 2
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Code de Huffman : exemple f 0 . 05 e 0 . 09 d 0 . 11 c 0 . 15 b 0 . 17 a 0 . 43 x 0 . 14 x 0 . 25 x 0 . 57 x x 0 . 32 A A A A A A A A A A A A @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ A A A A A A x P ( x ) - log 2 ( P ( x )) ϕ ( x ) n x a 0 . 43 1 . 22 0 1 b 0 . 17 2 . 56 100 3 c 0 . 15 2 . 74 101 3 d 0 . 11 3 . 18
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What students are saying

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    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

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    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

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    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern