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ENSI2.TS.S3 - T raitement du Signal James L Crowley Deuxime...

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Traitement du Signal James L. Crowley Deuxième Année ENSIMAG premiere Bimestre 2000 Séance 3 : 6 octobre 2000 Convolution et la Transformée de Fourier Formule du Jour ................................................ 2 Le Convolution ................................................. 3 Intercorrélation (Anglais : “Cross-Correlation”) ........................ 4 Convolution Numérique ........................................................... 5 La Transformée de Fourier .................................... 6 Sortes de Transformées de Fourier ............................................ 7 La Transformée de Fourier d'un signal continu .......................... 8 Transformée de Fourier en 2-D : .............................................. 9 La Fonction de Transfert .......................................................... 10 Transformée de Fourier d'un signal numérique : La TFTD ........ 11 Excercices ...................................................... 13 Propriétés de la Transformation de Fourier : .............. 15 Transformée de Fourier d'un signal réel : .................................. 15
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Analyse de Fourier des Signaux Séance 4 Formule du Jour e j ϖ t = Cos( ϖ t) + j Sin( ϖ t) e = Lim n { ( 1 + 1 n ) n } = 1 + x + 1 2! + 1 3! + ... = 2.7182818284... e x = Lim n { ( 1 + x n ) n } = 1 + x + (x) 2 2! + (x) 3 3! + ... = (2.7182818284...) x j = –1 e jx = 1 + jx + (jx) 2 2! + (jx) 3 3! + (jx) 4 4! + (jx) 5 5! + (jx) 6 6! + ... = 1 + (jx) 2 2! + (jx) 4 4! + (jx) 6 6! + ... + jx + (jx) 3 3! + (jx) 5 5! + ... = 1 – (x) 2 2! + (x) 4 4! (x) 6 6! + ... + j( x – (x) 3 3! + (jx) 5 5! – ... = Cos(x) + j Sin (x) On note que : e j ϖ t + e -j ϖ t = Cos( ϖ t) + j Sin ( ϖ t) + Cos( ϖ t) – j Sin ( ϖ t) = 2 Cos( ϖ t) e j ϖ t – e -j ϖ t = Cos( ϖ t) + j Sin ( ϖ t) – Cos( ϖ t) + j Sin ( ϖ t) = 2j Sin( ϖ t) 4-2
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Analyse de Fourier des Signaux Séance 4 Le Convolution t δ (t) Transmission g(t) t Un système linéaire est modèlisé par sa réponse à une impulse, δ (t). δ (t) f(t) * f(t) Reponse Impulsionnelle : f(t) = f[ δ (t)]. La réponse d'un système linéaire a une entrée x(t) est une superpostion (une somme) de reponses impulsionnelle amplifiées par les valeurs instantanés de x(t). Cette opération est appellé le "Convolution" de x par f. x(t) f(t) * y(t) =x * f(t) L’équation générale du convolution est une somme de reponse impulsionnelle pour les reponses. La convolution est commutative. y(t) = x * f(t) = x(t– τ ) f( τ ) d τ = f * x(t) x( τ ) f(t– τ )d τ La convolution est l’opération de traitement de signale la plus fondamentale . Elle indique que la valeur du signal de sortie à l’instant t est obtenue par la sommation (intégrale) pondérée des valeurs passées du signale d'excitation x(t). La fonction de pondération est précisément la réponse impulsionnelle f(t). 4-3
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Analyse de Fourier des Signaux Séance 4 Intercorrélation (Anglais : “Cross-Correlation”) Soit deux signaux réel x(t) et y(t). L’Intercorrélation, ϕ ( τ ), est une produit scalaire avec une décalage τ , pour tous les valeurs de τ possible : ϕ ( τ ) = x(t) y(t) = <x(t), y(t– τ )> = <x(t+ τ ), y(t)> = x(t) y(t– τ ) dt = x(t+ τ ) y(t) dt Nota : Le Convolution est une intercorrelation dans lesquel un des signaux et renversée dans le temps. (t+ τ ) -> ( –t + τ ) = ( τ –t) x(t) * y(t) = <x(t), y( τ –t) > = x( τ –t) y(t) dt = x(t) y( τ –t)dt 4-4
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Analyse de Fourier des Signaux Séance 4 Convolution Numérique Les séquences apériodique sont supposé d'exister avec valeurs nuls hors de leur intervalle de définition.
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