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Page 1/10 [email protected] OPTIMISATION EXERCICES CORRIGES Exercice n° 1. Dans la figure ci-contre, ABCD est un carré de côté 8 cm tel que AM=BN=CP=DQ= x (cm) On admet que MNPQ est un carré. 1) A quel intervalle doit appartenir x ? 2) Exprimer l'aire du triangle BNM en fonction de x . En déduire que l'aire du carré MNPQ est : 2 ( ) 2 16 64 f x x x = - + . 3) Pour quelles valeurs de x l'aire de MNPQ est-elle a) égale à 40 cm 2 ? b) supérieure ou égale à 50 cm 2 ? c) inférieure ou égale à 34 cm 2 ? 4) Déterminer les variations de f 5) Représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthogonal d'unité graphique 1 cm sur l'axe des abscisses et 0,25 cm sur l'axe des ordonnées. 6) Déterminer la valeur de l'aire minimale du carré MNPQ et la valeur de x correspondante Exercice n° 2. Pour réduire la circulation des véhicules dans le centre d’une petite ville, la municipalité envisage de construire une déviation. Les propriétaires des terrains situés dans la zone où passera la déviation sont prévenus de ce projet. On propose au propriétaire d’un terrain rectangulaire ABCD d’une longueur de 20 mètres et d’une largeur de 10 mètres, de modifier son terrain en retirant x mètres à la longueur et en ajoutant x mètres à la largeur comme l’indiquent les figures ci-dessous. Il deviendrait alors propriétaire d’un nouveau terrain rectangulaire. Le but de l’exercice est de connaître pour quelles valeurs de x le propriétaire obtient un nouveau terrain d’aire supérieure à l’aire de l’ancien terrain. 1. a. Préciser dans quel intervalle I peut varier x , afin que la modification soit réalisable. b. Exprimer, en m 2 , l’aire du nouveau terrain en fonction de x . On notera f ( x ) le résultat. c. Vérifier que, pour tout nombre réel x de I , ( 2 10 200 f x x x = - + + . 2. Etudier le sens de variation de f sur l’intervalle [0 ; 20] et dresser le tableau de variation de f . 3. Le plan est rapporté à un repère orthogonal (unités : 0,5 cm pour 1 m en abscisse ; 0,5 cm pour 10 m 2 en ordonnée). On note ( C ) la représentation graphique de f . Tracer ( C ). 4. A l’aide de la représentation graphique, représenter sur l’axe des abscisses l’intervalle des valeurs de x telles que le nouveau terrain ait une aire plus grande que celle de l’ancien. 5. Vérifier par le calcul Exercice n° 3. Dans un morceau de carton carré de 12 centimètres de côté, on découpe dans chaque coin des carrés de x centimètres de côté. En relevant les bords, on construit une boîte sans couvercle avec la feuille ainsi découpée. 1) Quel est l’ensemble des valeurs possibles pour x ? 2) Déterminer le volume V( x ) de la boîte ainsi obtenue en fonction de x . 3) Étudier les variations de V sur l’intervalle [0;6]. 4) En déduire la valeur de x qui rend le volume maximal.
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