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INSA Signaux al´ eatoires Notes de cours Version 2.0 D. Arzelier Avertissement : Ce document est constitu´ e de notes de cours et ne pr´ etend donc ni ` a l’exhaustivit´ en i`a l’originalit´ e. Ces notes doivent en efet beaucoup aux emprunts Faits aux ouvrages r´ eF´ erenc´ es en bibliographie.
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3 Notations - R : corps des nombres r´ eels. - A 0 : matrice transpos´ ee de la matrice A . - A> 0 : A matrice d´ efnie positive. - A 0 : A matrice semi-d´ efnie positive. - k•k : norme Euclidienne pour un vecteur et induite par la norme Eu- clidienne pour une matrice. - P [ ] : probabilit´ es imp le . - P [ / ] : probabilit´ e conditionnelle. - v.a. : variable al´ eatoire. - V.A. : vecteur al´ eatoire. - E [ ]: esp´ erance math´ ematique. - E [ x/y erance conditionnelle de x sachant y . - p x ( α ) : densit´ e de probabilit´ edelav .a . x . - p x 1 , ··· ,x n ( α 1 , ··· n ) : densit´ e de probabilit´ e conjointe. - p x/y ( α/β ) : densit´ e de probabilit´ e conditionnelle. - Z ∼N ( m Z ,Q Z ) : vecteur gaussien de moyenne m Z et de matrice de covariance Q Z . - R ( t, τ ) : matrice d’autocorr´ elation. - P ( t, τ ) : matrice d’autocovariance.
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4 - δ kl : symbole de Kronecker. - δ ( t ) : impulsion de Dirac. - 1 n : matrice identit´ eded imens ion n . - 0 n × m : matrice nulle de dimensions n × m .
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TABLE DES MATI ` ERES 5 Table des mati` eres 1 Introduction ` al ’´ etude des processus stochastiques 11 1.1 Introduction et d´ efn i t i on. .................... 1 1 1.2 Caract´ erisations probabilistes des processus stochastiques . . . 13 1 . 2 . 1 L o id ed i s t r ibu t i on . ................... 1 3 1 . 2 . 2 P r o c e s su sdus e c ondo rd r e ................ 1 4 1.2.3 Caract´ e r i s t iqu e ss t a t i s t e s ............... 1 4 1.3 Caract´ e r i s t e simpo r t an t e s................... 1 6 1.3.1 Stationnarit´ eaus en t r i c t................ 1 6 1.3.2 Stationnarit´ sl a r g e................ 1 6 1.3.3 Ergodicit´ e......................... 1 7 1.3.4 La densit´ esp e c t r a l epu i s s c e ............ 1 8 1.3.5 Ind´ ependance et d´ ecorr´ e l a t i ............. 2 2 1.3.6 Densit´ e spectrale crois´ e e ................. 2 3 2 Processus stochastiques remarquables 25 2 . 1 P r o c e s sg au s s i en . ....................... 2 5 2 . r o c e s sm a rk o v i ...................... 2 6 2.3 La marche al´ e a t o i r e........................ 2 8 2 . 4 B ru i tb l c ............................ 2 9 2.5 Bruit blanc ` a bande limit´ e e ................... 3 1 2.6 Processus al´ eatoire ` a bande ´ e t r o i t e ............... 3 1 2 . 7 P r o c e s sd eW i e r ....................... 3 3 2 . 8 P r o c e s eP o i s s 3 5 3S y s t ` emes lin´ eaires et processus stochastiques : th´ eorie fr´ equentielle 37 3.1 Filtrage lin´ eaire des signaux al´ e a t o i r e s ............. 3 7 3.1.1 Moyenne et corr´ e l a t i ondus i gn a ld es o r t i e ....... 3 8 3.1.2 Densit´ e spectrale de puissance du signal de sortie . . . 38 3.2 Repr´ esentation spectrale des signaux al´ e a t o i r e s......... 4 0
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6 TABLE DES MATI ` ERES 4S y s t ` emes lin´ eaires et processus gaussiens-markoviens 43 4.1 Syst` em e sd i s c r e t s ......................... 4 3 4.1.1 La moyenne ou esp´ erance math´ a t iqu e ........ 4 4 4 . 1 . 2 L am a t r i c ed ec o v a r i an c e................. 4 4 4.1.3 Nature du processus stochastique x k ..........
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