sigal03 - INSA Signaux alatoires e Notes de cours Version...

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INSA Signaux al´ eatoires Notes de cours Version 2.0 D. Arzelier Avertissement : Ce document est constitu´ e de notes de cours et ne pr´ etend donc ni ` a l’exhaustivit´ e ni `a l’originalit´ e. Ces notes doivent en effet beaucoup aux emprunts faits aux ouvrages r´ ef´ erenc´ es en bibliographie.
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3 Notations - R : corps des nombres r´ eels. - A : matrice transpos´ ee de la matrice A . - A > 0 : A matrice d´ efinie positive. - A 0 : A matrice semi-d´ efinie positive. - : norme Euclidienne pour un vecteur et induite par la norme Eu- clidienne pour une matrice. - P [ ] : probabilit´ e simple. - P [ / ] : probabilit´ e conditionnelle. - v.a. : variable al´ eatoire. - V.A. : vecteur al´ eatoire. - E [ ] : esp´ erance math´ ematique. - E [ x/y ] : esp´ erance conditionnelle de x sachant y . - p x ( α ) : densit´ e de probabilit´ e de la v.a. x . - p x 1 , ··· ,x n ( α 1 , · · · , α n ) : densit´ e de probabilit´ e conjointe. - p x/y ( α/β ) : densit´ e de probabilit´ e conditionnelle. - Z ∼ N ( m Z , Q Z ) : vecteur gaussien de moyenne m Z et de matrice de covariance Q Z . - R ( t, τ ) : matrice d’autocorr´ elation. - P ( t, τ ) : matrice d’autocovariance.
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4 - δ kl : symbole de Kronecker. - δ ( t ) : impulsion de Dirac. - 1 n : matrice identit´ e de dimension n . - 0 n × m : matrice nulle de dimensions n × m .
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TABLE DES MATI ` ERES 5 Table des mati` eres 1 Introduction ` a l’´ etude des processus stochastiques 11 1.1 Introduction et d´ efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Caract´ erisations probabilistes des processus stochastiques . . . 13 1.2.1 Loi de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Processus du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3 Caract´ eristiques statistiques . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Caract´ eristiques importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Stationnarit´ e au sens strict . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Stationnarit´ e au sens large . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3 Ergodicit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.4 La densit´ e spectrale de puissance . . . . . . . . . . . . 18 1.3.5 Ind´ ependance et d´ ecorr´ elation . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.6 Densit´ e spectrale crois´ ee . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Processus stochastiques remarquables 25 2.1 Processus gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Processus markovien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 La marche al´ eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Bruit blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5 Bruit blanc ` a bande limit´ ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6 Processus al´ eatoire ` a bande ´ etroite . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.7 Processus de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.8 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Syst` emes lin´ eaires et processus stochastiques : th´ eorie fr´ equentielle 37 3.1 Filtrage lin´ eaire des signaux al´ eatoires . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.1 Moyenne et corr´ elation du signal de sortie . . . . . . . 38 3.1.2 Densit´ e spectrale de puissance du signal de sortie . . . 38 3.2 Repr´ esentation spectrale des signaux al´ eatoires . . . . . . . . . 40
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6 TABLE DES MATI ` ERES 4 Syst` emes lin´ eaires et processus gaussiens-markoviens 43 4.1 Syst` emes discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.1.1 La moyenne ou esp´ erance math´ ematique . . . . . . . . 44 4.1.2 La matrice de covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.1.3 Nature du processus stochastique x k . . . . . . . . . . 46 4.1.4 Processus stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.5 Fonction densit´ e de probabilit´ e de transition . . . . . . 48 4.2 Syst` emes continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.2.1 Esp´ erance math´ ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2.2 Matrice de covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2.3 Nature du processus stochastique x ( t ) . . . . . . . . . . 51 4.2.4 Processus stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.3 Processus g´ en´ erateur - repr´ esentation de markov . . . . . . . . 53 4.3.1 efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.3 Constante al´ eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.4 La marche al´ eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.5 Variable al´
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