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Filtrage Optimal Frédéric Rotella Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tarbes [email protected] Table des matières 1I n t r o d u c t i o n 3 2L e f ltre de Kalman discret 3 2.0.1 Equations du f l t r e .............................. 4 2.0.2 Formes particulières du f l t r e......................... 5 2 .0 .3 R é su l ta t ssupp l ém en i r e s .......................... 6 2 .4 M od è l eàb ru i t sco r r é l é s ........................... 7 2.0.5 Le f ltre Information . ............................ 10 2.1 Le f ltre de Kalman continu . 11 2 .1 .1 R e la t ion sfo rm e l l e sen t r el e sca scon t inue td i s c r e t............. 12 2 .2 D é t e in a t iondug a inop t im a l ....................... 13 2 .3 F i l t r ed eK a lm an -Bu cy. ........................... 14 2.2 Commentaires sur le f l t r a an. ....................... 15 2 .2 .1 C a soùc e r e sso r t i e sson tn onb i t é e s.................. 2 .2 M è l i t lo r é s............................ 17 2.2.3 Filtre stationnai r e............................... 18 3 Mise en Ouvre d’un f ltre de Kalman 19 3.1 La forme de Joseph. ................................. 19 3 .2 T r a i t em ts équ t i e ld e sob s e rv a t s ....................... 20 3 .3 Am é l io r a t iond e sp e r fo c e 22 3 .3 .1 A lg o r i thm e sàfa c t o r i sa t s......................... 3.3.2 Algorithmes de f l t r a g er ap id e........................ 24 4 Applications du f ltrage 24 4 omm and eop t a l es to ch a s t iqu e.......................... 25 4 .2 L i s sag e......................................... 26 4.2.1 Principe du lissa g 4.2.2 Equations du f l t r i s s eu r .......................... 27 1
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F. Rotella Filtrage optimal 4.3 Identi f ca t ion . .................................... 28 4 .3 .1 E s t im a t iond ep a r am è t r e s .......................... 29 4.3.2 Forme f l t r e .................................. 30 5 Annexe A : Estimation optimale 31 5 s t a t eu rdum ax imumd ev r a i s emb lan c e..................... 31 5 .2 E s t a t ionaus en sd e sm o ind r e sca r r é s....................... 32 5.3 Estimation linéair 33 5 .4 E s t a t rop t a ld a r iab l e sgau s s i enn e s .................... 35 5.5 Estimation récursiv e ................................. 36 6 Annexe B : Démonstration des équations du f ltre de Kalman 37 6.1 Forme prédicteur-à-un -p a s.............................. 38 6.2 Décomposition du f l t r e................................ 39 7 AnnexeC:Rac inecarrée 7 .1 L emm ed efa c to r i sa t ionm a t r i c i e l l e ......................... 40 7.2 Décomposition de Cholew sky . ........................... Références 42 2
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F. Rotella Filtrage optimal 1 Introduction Le problème du f ltrage consiste à déterminer des estimateurs de variables du système lorsque l’environnement présente des perturbations aléatoires. Nous allons donc étudier dans cette partie l’aspect stochastique de la notion d’observateurs. Deux points de vue peuvent être utilisés pour aborder cette question : celui de Wiener qui utilise une approche fréquentielle et celui de Kalman qui utilise l’approche temporelle. Dans tous les cas, le but est de déterminer un système ( le f ltre ), optimal au sens de la minimisation de la variance d’erreur entre la variable réelle et son estimation. Nous ne regarderons ici que la deuxième approche. En e f et, un f ltre de Wiener est un cas particulier de f ltre de Kalman et cette dernière approche permet d’appréhender directement le cas d’un système non stationnaire multivariable. Dans ce cadre on peut également classer les problèmes d’estimation suivant la quantité d’information disponible. En e f et, considérons un système dont on possède un ensemble de mesures m ( t 0 ,t f ) , entre les instants t 0 (instant initial) et t f (instant f nal), sur les entrées et les sorties. On peut chercher à estimer la valeur de l’état x à un instant donné
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