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Filtrage Optimal Frédéric Rotella Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tarbes [email protected] Table des matières 1 Introduction 3 2 Le fi ltre de Kalman discret 3 2.0.1 Equations du fi ltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.0.2 Formes particulières du fi ltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.0.3 Résultats supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.0.4 Modèle à bruits corrélés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.0.5 Le fi ltre Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1 Le fi ltre de Kalman continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 Relations formelles entre les cas continu et discret . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2 Détermination du gain optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3 Filtre de Kalman-Bucy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Commentaires sur le fi ltre de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1 Cas où certaines sorties sont non bruitées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2 Modèle à bruits colorés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.3 Filtre stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Mise en oeuvre d’un fi ltre de Kalman 19 3.1 La forme de Joseph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Traitement séquentiel des observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Amélioration des performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3.1 Algorithmes à factorisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3.2 Algorithmes de fi ltrage rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 Applications du fi ltrage 24 4.1 Commande optimale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2 Lissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2.1 Principe du lissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2.2 Equations du fi ltre lisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1
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F. Rotella Filtrage optimal 4.3 Identi fi cation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.3.1 Estimation de paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.3.2 Forme fi ltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5 Annexe A : Estimation optimale 31 5.1 Estimateur du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.2 Estimation au sens des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.3 Estimation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.4 Estimateur optimal de variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.5 Estimation récursive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6 Annexe B : Démonstration des équations du fi ltre de Kalman 37 6.1 Forme prédicteur-à-un-pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.2 Décomposition du fi ltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 7 Annexe C : Racine carrée 39 7.1 Lemme de factorisation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 7.2 Décomposition de Cholewsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Références 42 2
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F. Rotella Filtrage optimal 1 Introduction Le problème du fi ltrage consiste à déterminer des estimateurs de variables du système lorsque l’environnement présente des perturbations aléatoires. Nous allons donc étudier dans cette partie l’aspect stochastique de la notion d’observateurs. Deux points de vue peuvent être utilisés pour aborder cette question : celui de Wiener qui utilise une approche fréquentielle et celui de Kalman qui utilise l’approche temporelle. Dans tous les cas, le but est de déterminer un système ( le fi ltre ), optimal au sens de la minimisation de la variance d’erreur entre la variable réelle et son estimation. Nous ne regarderons ici que la deuxième approche. En e ff et, un fi ltre de Wiener est un cas particulier de fi ltre de Kalman et cette dernière approche permet d’appréhender directement le cas d’un système non stationnaire multivariable. Dans ce cadre on peut également classer les problèmes d’estimation suivant la quantité d’information disponible. En e ff et, considérons un système dont on possède un ensemble de mesures m ( t 0 , t f ) , entre les instants t 0 (instant initial) et t f (instant fi nal), sur les entrées et les sorties. On peut chercher à estimer la valeur de l’état x à un instant donné τ (que l’on notera par ˆ x ( τ/m ( t 0 , t f )) ). Suivant la valeur de τ , on distingue : — si τ < t f il s’agit d’un problème de lissage ; — si τ = t f il s’agit d’un problème de
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