Chapter6 - ‫פרק 6: ניתוח רשתות בשיטת...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫פרק 6: ניתוח רשתות בשיטת העיניים‬ ‫הרצאות בחשמל 'מ‬ ‫ניתוח רשתות בשיטת העיניים‬ ‫שיטה זו הינה‬ ‫פרק 6 :‬ ‫בפרק זה נציג את שיטת העיניים )‪ ( Mesh Analysis‬לפתרון רשתות‬ ‫.‬ ‫דואלי ת לשיטת הצמתים, כאשר פה המשתנים הבסיסיים הינם זרמים ולא מתחים.‬ ‫"עיניים", או חוגי-עיניים, אינם אלא סוג מיוחד של חוגים )נזכיר כי חוגים הוגדרו‬ ‫בפרק 2, כמסלולים סגורים בגרף(. בהתאם לכך, שיטת העיניים הינה מקרה מיוחד‬ ‫של שיטת החוגים הכללית, המתוארת בפרק הבא. שיטת העיניים "תזכה" פה לטיפול‬ ‫נפרד עקב פשטותה וחשיבותה, ולצורך בהירות ההצגה.‬ ‫שיטת העיניים מוגבלת לרשתות בעלות גרפים מישוריים, ובפרק זה נעסוק רק‬ ‫ברשתות בעלות תכונה זו.‬ ‫מבוא ופיתוח ידני של משוואות העיניים‬ ‫1.6‬ ‫נניח כי הרשת מתוארת על ידי גרף מישורי – כלומר גרף המשורטט כך שאין בו‬ ‫ענפים מצטלבים. העיניים הינם החוגים הפנימיים בגרף – כלומר כל החוגים שאין‬ ‫בתוכם ענף נוסף מהרשת המקורית.‬ ‫נתבונן בדוגמא מראשית הפרק הקודם:‬ ‫2‪i‬‬ ‫1‪j‬‬ ‫1‪i‬‬ ‫3‪i‬‬ ‫4‪i‬‬ ‫2‪j‬‬ ‫5‪i‬‬ ‫בדוגמא זו 2 עיניים: )3-2-1(, )5,4,3(.‬ ‫נדגיש כי החוג )5-4-2-1( איננו "עין", כיוון שהוא כולל את ענף 3 בתוכו.‬ ‫6-1‬ ‫פר ק 6: ניתוח רשתות בשיטת העיניים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫בגרף, נגדיר את זרם החוג )או "זרם‬ ‫זרמי העיניים וחוק ‪ KCL‬עבור כל עין ‪k‬‬ ‫העין"( - ‪ . j k‬כיוון הזרם בכיוון השעון .‬ ‫נדגיש כי זרמי החוגים אינם בהכרח זרמים פיסיים הקיימים ברשת – כי אם אמצעי‬ ‫לביטוי זרמי הענפים. באמצעות זרמי העיניים ניתן לבטא את כל זרמי הענפים .‬ ‫בדוגמא :‬ ‫1‪i1 = − j‬‬ ‫1‪i2 = j‬‬ ‫2‪i3 = j1 − j‬‬ ‫2‪i4 = j‬‬ ‫2‪i5 = j‬‬ ‫ובאופן מטריצי:‬ ‫)1.6(‬ ‫‪i = MT j‬‬ ‫כאש ר‬ ‫1 −‪‬‬ ‫‪M =‬‬ ‫0‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1− 0‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪ j1 ‬‬ ‫‪ , j =j ‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫כפי שנראה בהמשך, משוואה )1.6( איננה אלא דרך חליפית לרישום חוק הזרמים‬ ‫של קירכהו ף )‪!(KCL‬‬ ‫בשיטה זו אנו רושמים מערכת משוואות עבור‬ ‫פתרון הרשת בשיטת העיניים‬ ‫:‬ ‫זרמי החוגי ם ‪ . j‬המשוואות מבוססת על רישו ם ‪ KVL‬לאורך כל אחד מחוגי העיניים,‬ ‫ולאחר מכן ביטוי כל המתחים המופיעים שם בעזרת הזרמים. נתאר עתה תהליך ז ה‬ ‫ונדגים עבור עין 1 בדוגמא:‬ ‫2‪i‬‬ ‫2‪R‬‬ ‫1‪j‬‬ ‫1‪R‬‬ ‫4‪i‬‬ ‫4‪R‬‬ ‫2‪j‬‬ ‫1‪is‬‬ ‫3‪R‬‬ ‫3‪i‬‬ ‫1‪i‬‬ ‫5‪i‬‬ ‫5 ‪vs‬‬ ‫5‪R‬‬ ‫6-2‬ ‫פרק 6: ניתוח רשתות בשיטת העיניים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫עבור כל עין ברשת:‬ ‫0 = 3‪− v1 + v 2 + v‬‬ ‫בעזרת זרמי הענפי ם ) ‪: ( ik‬‬ ‫רשום א ת ‪ KVL‬לאורך החוג :‬ ‫) ‪( vk‬‬ ‫השתמש במשוואות הענפים לביטוי המתחי ם‬ ‫0 = 3‪− R1 ( i1 − i s1 ) + R2 i 2 + R3i‬‬ ‫‪ M‬לביטו י ) ‪ ( ik‬בעזר ת ) ‪: ( j k‬‬ ‫3‪. i‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪) KCL‬בצורה ) ‪j = i‬‬ ‫השתמש ב-‬ ‫1‪= j1 − j 2 , i2 = j1 , i1 = − j‬‬ ‫לאחר ההצבה האחרונה מתקבל לבסוף:‬ ‫)2.6(‬ ‫1‪( R1 + R2 + R3 ) j1 − R3 j 2 = − R1is‬‬ ‫עבור העין השניה נבצע באופן דומה:‬ ‫0 = 5‪- v3 + v4 + v‬‬ ‫0 = ) 5 ‪− R3 i 3 + R 4 i 4 + ( R 5 i 5 + v s‬‬ ‫5 ‪− R3 j1 + ( R3 + R4 + R5 ) j 2 = −vs‬‬ ‫רישו ם ‪:KVL‬‬ ‫הצבת משוואות הענפים :‬ ‫ולבסוף, לאחר הצב ת ‪ j‬במקו ם ‪ i‬וסידור איברים :‬ ‫)3.6(‬ ‫את שתי המשוואות שקיבלנו, אחת לכל עין, ניתן כמובן לבטא באופן מטריצי:‬ ‫3‪ R1 + R 2 + R‬‬ ‫‪‬‬ ‫3‪− R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ j1 ‬‬ ‫3‪− R‬‬ ‫‪− R1i s1 ‬‬ ‫‪ = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R3 + R 4 + R 5 j 2 ‬‬ ‫‪ − vs5 ‬‬ ‫קבלנ ו 2 משוואות, אותן ניתן לפתור עבור . ) 2 ‪j = ( j1 , j‬‬ ‫לאחר שמצאנו א ת ‪ j‬ניתן לחשב מתוכו את זרמי הענפי ם ‪ , i‬ואת המתחים השונים .‬ ‫נעבור עתה לתיאור מפורט ומסודר יותר של שיטת העיניים.‬ ‫6-3‬ ‫פרק 6: ניתוח רשתות בשיטת העיניים‬ ‫הרצאות בחשמל 'מ‬ ‫גרפים מישוריים וחוגי-עיניים‬ ‫2.6‬ ‫נבהיר ראשית את המושגים הנדרשים מתורת הגרפים.‬ ‫גרף מישורי הוא גרף שניתן לצייר אותו במישור בלי שענפיו יחתכו זה את זה.‬ ‫,‬ ‫דוגמאות:‬ ‫גרף מישורי‬ ‫גרף לא מישורי‬ ‫האם‬ ‫ניתן‬ ‫לצייר‬ ‫כן !‬ ‫במישור?‬ ‫תרגיל : וודא כי כל גרף בן 4 צמתים או פחות הוא בהכרח גרף מישורי.‬ ‫עין )‪ (MESH‬הוא חוג בגרף מישורי שאין בתוכו ענפים פנימיים.‬ ‫חשוב להדגיש כי התשובה לשאלה האם חוג בגרף הוא עין או לא תלויה בצורת ציור‬ ‫,‬ ‫הגר ף .‬ ‫לדוגמה:‬ ‫‪ a-d-e-g‬הוא‬ ‫‪b‬‬ ‫בציור ‪c‬הימני החוג‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ d-e-f‬איננו עין.‬ ‫עין ואילו החוג‬ ‫,‬ ‫‪a‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫בציור השמאלי המצב הפוך !‬ ‫‪a‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪e‬‬ ‫נובע מזה כי הטיפול ברשתות‬ ‫נצטרך לוודא שהגרף מישורי,‬ ‫‪e‬‬ ‫בשיטה זו פחות שיטתי מאשר בשיטת הצמתים‬ ‫.‬ ‫לצייר אותו כגרף מישורי ורק אז יהיו העיניים מוגדרות באופן חד משמעי.‬ ‫,‬ ‫6-4‬ ‫פרק 6: ניתוח רשתות בשיטת העיניים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫גרף תלוי )‪ (HINGED‬הינו גרף המורכב משני תת- גרפים )או יותר( המחוברים יחד‬ ‫על ידי צומת בודד )כלומר שיש ביניהם צומת משותפת אחת בלבד(.‬ ‫דוגמאות:‬ ‫2‪G‬‬ ‫1‪G‬‬ ‫2‪G‬‬ ‫1‪G‬‬ ‫שאינו‬ ‫גרף‬ ‫תלוי‬ ‫2‪G‬‬ ‫1‪G‬‬ ‫ברור כי בגרף תלוי אין זרימה בין שני חלקיו )נובע מ- ‪ .(KCL‬לכן ניתן להפרידו לשתי‬ ‫רשתות נפרדות, ולפתור עבור כל רשת בנפרד. נניח מעתה שהגרף של הרשת ב ה‬ ‫אנו עוסקי ם אינו תלוי.‬ ‫משפט: מספר העיניים בגרף מישורי קשור שאינו תלוי הו א 1 + ‪ = B − N‬‬ ‫)תזכורת: זהו מספר הזרמים הבלתי תלויים, וכן מספר הקישורים בעץ.(‬ ‫הוכחה: באינדוקציה על מס' העיניים.‬ ‫1 = ‪ - ‬גרף בעל עין אחת חייב להיראות לפי הציור‬ ‫)מס' הצמתים כמספר הענפים(.‬ ‫א‬ ‫.‬ ‫לכן, מספר העיניים מקיי ם 1 + ‪ = B − N‬‬ ‫נניח כי גרף בע ל ‪ ‬עיניים מקיי ם 1 + ‪ = B − N‬ונראה כי זה מתקיים‬ ‫עבור גרף בע ל 1 + ‪ ‬עיניים.‬ ‫ב.‬ ‫6-5‬ ‫פר ק 6: ניתוח רשתות בשיטת העיניים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫יש שתי דרכים להגדיל ב- 1 את מס' העיניים:‬ ‫1. הוספת ענף בין שני צמתים קיימים )בלי לשנו ת ‪(N‬‬ ‫2. הוספ ת 1-‪ m‬צמתים חדשים ו- ‪ m‬ענפים חדשים‬ ‫1‬ ‫הגרף‬ ‫הישן‬ ‫11-‪m‬‬ ‫כנדרש.‬ ‫1,‬ ‫ב-‬ ‫גדל‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫‪N‬‬ ‫ל-‬ ‫‪B‬‬ ‫בין‬ ‫ההפרש‬ ‫המקרים‬ ‫בשני‬ ‫□‬ ‫בנוסף לעיניים הרגילות, ניתן להגדיר ג ם "עין חיצונית" )‪ .(Outer Mesh‬העין החיצונית‬ ‫היא לא עין לפי ההגדרה הקודמת, כי היא מכילה ענפים פנימיים. אפשר להתייח ס‬ ‫אליה כעין אם חושבים על כל המישור מחוץ לחוג כ"פנים" )או אם "נלביש" א ת‬ ‫הרשת על כדור(.‬ ‫נדגיש כי החו ק 1 + ‪ = B − N‬הוא ללא ספירת העין החיצונית.‬ ‫תכונה בסיסית של גרף קשור בלתי תלוי היא שכל ענף שייך בדיוק לשתי עיניים ,‬ ‫בתנאי שסופרים גם את העין החיצונית .‬ ‫נגדי ר כיוון ייחו ס לכל עין, כלהלן:‬ ‫עין פנימית : בכוון השעון.‬ ‫עין חיצונית : נגד כוון השעון.‬ ‫בנוסף אנו שומרים את כיווני הייחוס הרגילים של הענפים .‬ ‫6-6‬ ‫פר ק 6: ניתוח רשתות בשיטת העיניים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫ניסוח חוקי קירכהוף בעזרת מטריצת העיניים‬ ‫גרף מכוון מישורי, קשור ובלתי תלוי, ניתן לתיאור על ידי‬ ‫)1 + ‪ ( ‬מס' העיניים‬ ‫כא ן ‪ B‬מספר הענפי ם ,‬ ‫‪. ( + 1) × B‬‬ ‫3.6‬ ‫מטריצת העיניים:‬ ‫‪ Ma‬במימ ד‬ ‫מטריצ ה‬ ‫)כולל החיצונית(.‬ ‫האיבר ה- ‪ kl‬ש ל ‪ , Ma‬מוגדר כך:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪mkl = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫וכיווני הייחו ס‬ ‫נמצא בעי ן ‪k‬‬ ‫1‬ ‫הענף ה- ‪l‬‬ ‫מתלכדי ם‬ ‫הענף ה- ‪ l‬נמצא בעי ן ‪ k‬וכיווני הייחוס הפוכי ם‬ ‫1‬‫0‬ ‫הענף ה- ‪ l‬לא שייך לעי ן ‪k‬‬ ‫‪ Ma‬נקרא ת מטריצת העיניים המורחבת ))‪.Augmented mesh matrix‬‬ ‫בהשמטת השורה המתאימה לעין החיצונית מקבלים מטריצ ה ‪ M‬במימ ד ‪. × B‬‬ ‫‪ M‬נקרא ת מטריצת העיניים המצומצמת.‬ ‫)נשים לב לדואליות עם שיטת הצמתים: עין חיצונית – צומת ייחוס(.‬ ‫כמו בשיטת הצמתים, אנו נעבוד בעיקר עם המטריצה המצומצמ ת ‪ .M‬העין החיצונית‬ ‫הוגדרו כדי להדגיש את הדואליות עם שיטת הצמתים, וכן את‬ ‫והמטריצ ה Ma‬‬ ‫החוקיות במבנה המטריצות .‬ ‫בגרף קשור שאינו תלוי, דרגת השורות של המטריצ ה ‪ M‬הינה מלאה,‬ ‫טענה:‬ ‫כלומ ר ‪. ‬‬ ‫הוכחה: תרגיל.‬ ‫משמעות טענה זו כי זרמי החוגים הינם בלתי תלויים ליניארית, כפי שנראה בהמשך .‬ ‫ניסוח ‪:KVL‬‬ ‫‪ KVL‬ניתן להיכתב בצורה מטריצית כדלקמן:‬ ‫6-7‬ ‫פרק 6: ניתוח רשתות בשיטת העיניים‬ ‫) 1 + ‪ ‬משוואות(‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫0 = ‪Mav‬‬ ‫משוואות אלו אינן אלא סיכום מתחי הענפים לאורך העיניים, בסימן המתאים .‬ ‫דוגמה :‬ ‫1‪i‬‬ ‫4‪j‬‬ ‫1‪j‬‬ ‫2‪i‬‬ ‫2‪j‬‬ ‫3‪i‬‬ ‫3‪j‬‬ ‫4‪i‬‬ ‫5‪i‬‬ ‫בכיוון השעון מלבד‬ ‫כולם‬ ‫--‬ ‫‪j‬‬ ‫יש לשים לב לכווני הייחוס של זרמי העיניי ם‬ ‫החיצונית .‬ ‫מטריצת העיניים המורחבת נתונה לפי:‬ ‫1‪j‬‬ ‫‪j‬‬ ‫2 =‪Mav‬‬ ‫3‪j‬‬ ‫4‪j‬‬ ‫‪ v1 ‬‬ ‫‪ 1 1 0 0 0 ‬‬ ‫‪ 0 − 1 1 1 0 v2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫0 = ‪ v ‬‬ ‫‪ 0 0 0 −1 1 3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ v4 ‬‬ ‫‪− 1 0 − 1 0 − 1 v ‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫בהשמטת השורה האחרונה נקבל א ת ‪.M‬‬ ‫התכונה הבאה:‬ ‫ניתן לראות כי למטריצ ה ‪M a‬‬ ‫בכל עמודה י ש +1, -1, והיתר אפסי ם .‬ ‫הסבר: כל ענף מופיע בדיוק בשני עיניים )עין חיצונית כלולה(. כזכור, ראינו מבנה‬ ‫דומה במטריצ ה ‪. Aa‬‬ ‫ניתן גם לראות כי השורה האחרונה )המתאימה לעין החיצונית( תלויה ליניארית‬ ‫בשאר. ניתן לפיכך להורידה ולבטא א ת ‪ KVL‬כך:‬ ‫)4.6(‬ ‫0 =‪Mv‬‬ ‫נסכים מעתה כי אנו מתעלמים מהעין החיצונית, כלומר, הזר ם ‪ j‬של עין זו נקבע‬ ‫זהותית לאפס .‬ ‫6-8‬ ‫פר ק 6: ניתוח רשתות בשיטת העיניים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫ניסוח ‪:KCL‬‬ ‫ידוע לנו כי מספר הזרמים הבלתי תלויים בגרף קשור הוא 1+‪ , B-N‬שהוא בדיוק‬ ‫לכן ניתן לבחור זרמי עיניים באופן שרירותי מבלי לעבור על חוקי‬ ‫מספר העיניים‬ ‫!‬ ‫הרשת.‬ ‫הזרם האמיתי‬ ‫נייחס לכל עין ) בלי החיצונית זרם עצמאי דמיוני ‪ j k‬במעגל סגור‬ ‫.‬ ‫(‬ ‫בענף ‪ , ik‬הוא סכום אלגברי של זרמי העיניים אליהן משתייך ענף זה.‬ ‫,‬ ‫בדוגמ ה : נקבל‬ ‫1‪i1 = j‬‬ ‫2 ‪i 2 = j1 − j‬‬ ‫וכו‘. רישום מלא בצורה מטריצת ייתן:‬ ‫‪0‬‬ ‫0 1‪ i1 ‬‬ ‫‪i 1 − 1 0 ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1 0‪i3 = ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i 4 0 1 − 1‬‬ ‫‪i5 0 0 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ j1 ‬‬ ‫‪j ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ j3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫קל לראות כי באופן כללי מתקבל:‬ ‫)5.6(‬ ‫‪i‬‬ ‫=‬ ‫‪MT j‬‬ ‫אנו טוענים כי משוואה זו מבטאת באופן מלא את ‪ .KCL‬כלומר, קבוצת וקטורי‬ ‫הזרמים הנפרשת על ידי )5.6( )עבור בחירה כלשהי של ‪ ( j‬זהה לבוצת וקטורי‬ ‫הזרמים המקיימת את ‪ .KCL‬כדי לראות זאת נשים לב כי:‬ ‫,‬ ‫מקיימים את ‪KCL‬‬ ‫עבור כל ‪ , j‬זרמי הענפים המוגדרים לפי ‪i = M T j‬‬ ‫מדוע (.‬ ‫)?‬ ‫1.‬ ‫הקבוצה הנפרשת על ידי )5.6 ( הינה תת- מרחב ליניארי בעל מימד זהה‬ ‫לדרגת המטריצה ‪ , M‬כלומר שווה ל ‪ . ‬אולם כבר ראינו כי קבוצת הזרמים‬ ‫‬‫המקיימים את ‪ KCL‬הינה תת- מרחב ליניארי במימד זהה ) מימד זה אינו אלא‬ ‫2.‬ ‫6-9‬ ‫פרק 6: ניתוח רשתות בשיטת העיניים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫מספר "הזרמים הבלתי תלויים"(. אולם מ-א נובע כי תת- המרחב הראשון מוכל‬ ‫בשני, ומכאן שהם זהים .‬ ‫6-01‬ ‫פר ק 6: ניתוח רשתות בשיטת העיניים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫פיתוח משוואות העיניים‬ ‫4.6‬ ‫שיטת העיניים מאפשרת רישום משוואות עבור זרמי העיניי ם ‪ , j‬בהסתמך על חוקי‬ ‫קירכהוף כפי שנוסחו בסעיף הקודם, ועל משוואות הענפים .‬ ‫נזכור כי "ענף קנוני" כולל מקור מתח, מקור זרם, ונגד, עם כיווני מתח וזרם כמוגדר‬ ‫+‬ ‫‪ik‬‬ ‫‪Rk‬‬ ‫‪vk‬‬ ‫‪vsk‬‬ ‫‪isk‬‬ ‫−‬ ‫בציור:.‬ ‫נרשום את משוואת הענף הכללי הזה בצורה הבאה:‬ ‫‪v k = R k ( i k − i sk ) + v sk‬‬ ‫) ‪= R k i k + (v sk − R k i sk‬‬ ‫ובצורה מטריצית‬ ‫)6.6(‬ ‫, ‪ i s‬הם‬ ‫) ‪v = Ri + ( v s − R i s‬‬ ‫‪vs‬‬ ‫כאש ר ‪ R‬מטריצה אלכסוני ת שאיבריה הם ההתנגדויות של הענפים .‬ ‫וקטורי המקורות, כמו בשיטת הצמתים. נכפול את שני אגפים במשוואה הנ"ל ב- ‪M‬‬ ‫0 = ‪:Mv‬‬ ‫ונשתמש ב- ‪KVL‬‬ ‫0 = ) ‪M v = MR i + M (v s − R i s‬‬ ‫ונעביר אגפים :‬ ‫)‪(KCL‬‬ ‫‪i = MT j‬‬ ‫נצי ב‬ ‫) ‪MRM T j = M ( R i s − v s‬‬ ‫בכך קיבלנו א ת משוואת העיניים :‬ ‫6-11‬ ‫פרק 6: ניתוח רשתות בשיטת העיניים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫‪Z m j = vsm‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪Z m = MRM T‬‬ ‫) ‪v sm = M ( R i s − v s‬‬ ‫‪ Z m‬היא מטריצת אימפדנס העיניי ם )‪ ,(m=mesh‬ואילו ‪ vsm‬הוא וקטור המקורות‬ ‫המתאים.‬ ‫−‬ ‫פתרון המשוואה נותן את זרמי החוגים: ‪. j = Z m1 vsm‬‬ ‫לאחר מציאת ‪ j‬ניתן כמובן למצוא את ‪: v - i‬‬ ‫ו‬ ‫‪i = MT j‬‬ ‫‪v = R i + vs − R i s‬‬ ‫הערה: האמור לעיל נכון כל עוד אין ברשת ענפים שהם מקורות זרם אידיאליי ם .‬ ‫עבור מקור כזה ∞ = ‪ , Rs‬ולא ניתן לרשום את משוואת המתח בענף בצורה הדרושה.‬ ‫בהמשך נראה כיצד ניתן לטפל גם במקרה זה.‬ ‫נתבונן שוב בדוגמא הקבועה שלנו, ונפתור הפעם בשיטת העיניים‬ ‫דוגמה :‬ ‫המטריצית:‬ ‫2‪i‬‬ ‫2‪R‬‬ ‫1‪j‬‬ ‫4‪i‬‬ ‫2‪j‬‬ ‫3‪R‬‬ ‫3‪i‬‬ ‫1‪i‬‬ ‫5‪i‬‬ ‫4‪R‬‬ ‫‪vs5 = 1 Volt‬‬ ‫5‪R‬‬ ‫1‪R‬‬ ‫‪is1 = 2 A‬‬ ‫6-21‬ ‫פרק 6: ניתוח רשתות בשיטת העיניים‬ ‫הרצאות בחשמל 'מ‬ 1 R1 = Ω 2 R2 = 1Ω 1 R3 = Ω 3 R4 = 1Ω R5 = 1Ω − 1 1 1 0 0 M = 0 0 − 1 1 1 1 2 0 R= 0 0 0 00 10 0 1/ 3 00 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 [ Ω] vsm − 1 1 1 0 0 = MR i s − M vs = 0 0 − 1 1 1 1 0 0 0 − 1 { 0 − 0 } = − 1 [V ] 0 0 0 1 Z m = MRM T − 1 1 = 2 0 0 1 3 1 − 3 0 − 1 1 0 1 5 − 1 0 0 3 1 −1 = 6 − 1 2 1 11 1 0 3 [ Ω] 3 0 1 :‫ הינה‬Z m j = vsm ‫משוואת העיניים‬ 1 5 6 − 1 3 1 − j1 − 1 3 = 1 j 2 2 − 1 [V ] 3 :‫ופתרונה‬ j1 − 0.64 j = − 0.52 [ A] 2 v ‫ והמתח‬i ‫מכאן נקבל את וקטורי הזרם‬ − 0.68 − 0.64 − 0.04 , v = R i + vs − R i s = − 0.52 0.48 i = MT (!‫קיבלנו את אותן התוצאות המספריות כמו בשיטת הצמתים )כמובן‬ 0.64 − 0.64 − 0.12 j= − 0.52 − 0.52 13-6 ‫פר ק 6: ניתוח רשתות בשיטת העיניים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫בעוד שבשיטת הצמתים היינו צריכים‬ ‫2 ×2‬ ‫שימו לב שכעת עבדנו עם מטריצ ה‬ ‫להפוך מטריצה ש ל 3 × 3 . זה נותן רמז לגבי השיקולים בבחירת השיטה עבור רשת‬ ‫נתונה .‬ ‫6-41‬ ‫פרק 6: ניתוח רשתות בשיטת העיניים‬ ‫הרצאות בחשמל 'מ‬ ‫רישום משוואות העיניים על ידי התבוננות‬ ‫5.6‬ ‫גם את משוואות העיניים ניתן לרשום ישירות מהתבוננות כפי שנעשה לגבי שיטת‬ ‫,‬ ‫הצמתים.‬ ‫צעד מקדים שלעיתים נוח לבצע הוא התמרת מקורות הזרם ) הלא אידיאליים(‬ ‫למקורות מתח באמצעות שקול–תבנין שלהם:‬ ‫,‬ ‫‪R‬נבצע צעד זה כך שלא‬ ‫אם‬ ‫יישארו עוד מקורות זרם נקבל‬ ‫,‬ ‫וקטור מקורות המפושט:‬ ‫‪is‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪vs = R is‬‬ ‫‪vsm = − M vs‬‬ ‫הכללים לרישום משוואות הצמתים מפורטים להלן. ההוכחה דומה לזו של שיטת‬ ‫הצמתים )תרגיל!(.‬ ‫טענה: מערכת משוואות העיניים נתונה על-ידי‬ ‫‪ Z11 Z12 Z1m j1 ‬‬ ‫‪ vs1 ‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫, ‪ 21 j 2 = vs 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Z m1 Z mn j m ‬‬ ‫‪vsm ‬‬ ‫1+ ‪m = B − N‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪ Z kk‬הוא סכום כל ההתנגדויות לאורך עין. . ‪k‬‬ ‫‪ Z kl‬הוא מינוס ההתנגדות בענף המשותף לעיניים ‪ k‬ו- ‪) l‬או אפס אם אין‬ ‫ענף משותף(.‬ ‫‪ vsk‬הוא הסכום האלגברי של מקורות המתח לאורך העין, וכן מקורות זרם‬ ‫מותמרים. סימן כל מקור בהתאם לכיוונו יחסית לזרם החוג:‬ ‫1.‬ ‫2.‬ ‫3.‬ ‫6-51‬ ‫פרק 6: ניתוח רשתות בשיטת העיניים‬ ‫הרצאות בחשמל 'מ‬ ‫‪jk‬‬ ‫‪jk‬‬ ‫חיובי‬ ‫‪Rs‬‬ ‫‪is‬‬ ‫‪jk‬‬ ‫‪Rs‬‬ ‫‪is‬‬ ‫‪jk‬‬ ‫חיובי‬ ‫ביטול מקורות זרם אידיאליים‬ ‫6.6‬ ‫שיטת העיניים מטפלת ללא קושי במקורות מתח אידיאליים )חסרי התנגדות טורית ,‬ ‫(‬ ‫אך אין היא יכולה לטפל במקורות זרם אידיאליים )חסרי התנגדות מקבילית .‬ ‫(‬ ‫אי אפשר לבטא את המתח על ענף כזה כפונקציה של הזרם דרכו כפי‬ ‫,‬ ‫הסיבה‬ ‫:‬ ‫שנדרש לכתיבת משוואות החוגים .‬ ‫.‬ ‫הפתרון ראה בשרטוט הבא:‬ ‫:‬ ‫‪is‬‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫6-61‬ ‫‪is‬‬ ‫‪is‬‬ ‫3‬ ‫פר ק 6: ניתוח רשתות בשיטת העיניים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫סיכום הפרק‬ ‫שיטת העיניים ישימה לרשתות בעלת גרף מישורי.‬ ‫7.6‬ ‫‪‬‬ ‫העיניים הינם "החוגים הפנימיים" ברשת. בגרף מישורי שאינו תלוי, מספר‬ ‫העיניים הינו 1 − ‪) = B − N‬כמספר הזרמים הבלתי תלויים(.‬ ‫‪‬‬ ‫בשיטת העיניים מתקבלת מערכת משוואות עבור זרמי העיניים, ובעזרתם‬ ‫ניתן לחשב את שאר הזרמים והמתחים ברשת .‬ ‫‪‬‬ ‫שתי השיטות והדואליות‬ ‫שיטת העיניים הינו דואלית לשיטת הצמתים.‬ ‫ביניהן מסוכמות בטבלה הבאה .‬ ‫‪‬‬ ‫שיטת העיניים‬ ‫שיטת הצמתים‬ ‫‪Ma , M‬‬ ‫מטריצת העיניי ם‬ ‫מתחי הענפי ם ‪v‬‬ ‫זרמי עיניי ם ‪j‬‬ ‫) עין חיצוני ת 0 = ‪( j e‬‬ ‫‪Aa , A‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪e‬‬ ‫מטריצת הפגיע ה‬ ‫זרמי הענפי ם‬ ‫פוטנציאל צמתי ם‬ ‫)צומת ייחו ס‬ ‫0 = ‪( ek‬‬ ‫‪i = MT j‬‬ ‫0 = ‪Ai‬‬ ‫:‪KCL‬‬ ‫0 =‪Mv‬‬ ‫מקורות מתח‬ ‫מטריצת התנגדויו ת ‪R‬‬ ‫‪AT e = v :KVL‬‬ ‫מקורות זרם‬ ‫מטריצת מוליכויו ת ‪G‬‬ ‫‪Z m j = vsm‬‬ ‫‪Yn e = i sn‬‬ ‫‪Yn = A G AT‬‬ ‫) ‪i sn = A(i s + G v s‬‬ ‫ענף משותף בין שני צמתים‬ ‫ביטול מקורות מתח עצמאיים‬ ‫‪Zm = M R M T‬‬ ‫) ‪v sm = − M ( v s + R i s‬‬ ‫ענף משותף לשתי עיניים‬ ‫ביטול מקורות זרם עצמאיים‬ ‫6-71‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 12/16/2010 for the course BIO 6785 taught by Professor Shuit during the Spring '10 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online