CH13 - ‫פרק 31: יסודות הנדסת חשמל...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫פרק 31: יסודות הנדסת חשמל בזרם‬ ‫חילופין‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫יסודות הנדסת חשמל בזרם חילופין‬ ‫פרק זה והבאים אחריו עוסקים ברשתות חשמליות שהמקורות הבלתי תלויים שלהם‬ ‫)מקורות מתח או זרם( מספקים אות מהצור ה‬ ‫) ‪x (t‬‬ ‫=‬ ‫) ‪x (t‬‬ ‫‪A‬‬ ‫) ‪A cos ( ωt + ϕ‬‬ ‫מתח או זר ם‬ ‫אמפליטוד ה‬ ‫תדירות זויתי ת ‪ω = 2πf‬‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫)‪ (SS‬כלומר, נניח שהמעגל‬ ‫פאז ה‬ ‫בינתיים, נגביל עצמנו לניתוח הרשתו ת במצב מתמיד‬ ‫התחיל לפעול ב-‬ ‫∞‬ ‫− = ‪ t‬וכל תופעות המעבר דעכו. במצב זה, ברשת לינארית, כל‬ ‫המתחים והזרמים ברשת אף הם גלים סינוסואידליים, בתדר הערור .‬ ‫במקרה הכללי ביותר, יכולים להיות ברשת מקורות סינוסואידליים בתדרי ם שונים .‬ ‫אם הרשת היא לינארית, התגובה הכללית תהיה סופרפוזיציה של התגובות למקורו ת‬ ‫הנפרדים. לכן נבצע את רוב הניתוח בהנחה של תדר בודד, אבל נרשה לתדר ז ה‬ ‫להיות פרמטר .‬ ‫תיאור אות סינוסואידלי באמצעות פאזור‬ ‫1.31‬ ‫ניתן לפתור רשתות עם מקורות סינוסואידליים באמצעות חישוב ישיר בתחום הזמן ,‬ ‫אולם ניתן לפשט את הניתוח במידה ניכרת על ידי ייצוג האותות באמצעות פאזורים .‬ ‫‪jy‬‬ ‫נתבונן בחץ בגוד ל ‪ A‬המסתובב‬ ‫במישור‬ ‫בשניה‬ ‫רדיאנים‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪x‬‬ ‫בקצ ב‬ ‫‪x‬‬ ‫המרוכ ב‬ ‫) ‪ . ( x, jy‬הזוית ברג ע 0 = ‪ t‬ביח ס‬ ‫לצי ר ‪ x‬הי א ‪. ϕ‬‬ ‫1‬ ‫פר ק 31: יסודות הנדסת חשמל בזרם‬ ‫חילופי ן‬ ‫)בזמ ן ‪ t‬היא תהי ה ‪(. ωt + ϕ‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫החץ, במישו ר ) ‪ (x,jy‬יתואר על ידי‬ ‫‪z (t ) = A e j ( ωt +ϕ) = jϕ ⋅ e jωt‬‬ ‫‪Ae‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ההיטל של החץ על צי ר ‪ x‬בכל רגע ורגע הוא‬ ‫)‪x(t ) = A ⋅ cos( ωt + ϕ‬‬ ‫‪ X = A e‬מכיל מידע מלא על האמפליטודה והפאזה ההתחלתית‬ ‫הסינוסואידלי‬ ‫הגל‬ ‫את‬ ‫מתאר‬ ‫והוא‬ ‫פאזור‬ ‫נקר א‬ ‫זה‬ ‫‪jϕ‬‬ ‫המספר המרוכ ב‬ ‫האות.‬ ‫של‬ ‫מספר‬ ‫‪ ω‬קבועה וידועה. האות עצמו ניתן לשחזור‬ ‫)‪, x(t ) = A cos( ωt + ϕ‬כאשר התדירו ת‬ ‫מהפאזור ע"י‬ ‫‪x (t ) = Re{ X e jωt } = Re { A e‬‬ ‫) ‪j ( ωt +ϕ‬‬ ‫) ‪} = A cos (ωt + ϕ‬‬ ‫תכונות הפאזור‬ ‫1 ‪ α 2 , α‬מספרים ממשיי ם , יהי ו 2 ‪ X 1 , X‬הפאזורים של‬ ‫תכונה 1: לינאריות יהיו‬ ‫) ‪ , x1 (t ), x 2 (t‬אזי הפאזור ש ל ) ‪ α 1 ⋅ x1 (t ) + α 2 ⋅ x 2 (t‬הו א‬ ‫2 ‪α1 ⋅ X 1 + α 2 ⋅ X‬‬ ‫הוכחה:‬ ‫) ‪Re α 1 ⋅ X 1 + α 2 ⋅ X 2 e jωt = α 1 ⋅ Re X 1e jωt + α 2 ⋅ Re{ X 2 e jωt } = α 1 ⋅ x1 (t ) + α 2 ⋅ x 2 (t‬‬ ‫‪ , X‬אזי‬ ‫תכונה 2: פאזור של נגזרת א ם ) ‪ x( t‬מיוצג על ידי הפאזו ר‬ ‫({‬ ‫})‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫= ) ‪x( t‬‬ ‫‪Re X e jωt = Re X‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪ dt‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪jωt‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j t‬‬ ‫‪ = Re jωXe‬‬ ‫‪‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫ובאופן כללי‬ ‫‪dn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Re Xe jωt = Re ( jω ) X e jωt‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫2‬ ‫פרק 31: יסודות הנדסת חשמל בזרם‬ ‫חילופין‬ ‫הרצאות בחשמל 'מ‬ ‫לכן אם ) ‪ x( t‬מיוצג על ידי הפאזור ‪ X‬אז הנגזרת ה- ‪ n‬של ) ‪ x( t‬מיוצגת על ידי הפאזור‬ ‫,‬ ‫‪. ( jω) n X‬‬ ‫תכונה 3: יחידות היצוג הפאזורי‬ ‫‪Re X 1 e jωt = Re X 2 e jωt ; V t‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫⇔‬ ‫2 ‪X1 = X‬‬ ‫ולכן לכל גל סינוסואידלי יש פאזור יחיד המייצג אותו.‬ ‫,‬ ‫המשפט הבסיסי‬ ‫הסכום האלגברי של מספר כלשהו של גלים סינוסואידליים באותו תדר ‪ , ω‬ושל‬ ‫מספר כלשהו‬ ‫של נגזרותיהם מסדר כלשהו גם הוא גל סינוסואידלי עם אותו תדר ‪ω‬‬ ‫.‬ ‫,‬ ‫הוכחה‬ ‫ניתן להוכיח ישירות אבל לצורך הדגמה נבצע זאת פה בעזרת היצוג הפאזורי.‬ ‫,‬ ‫,‬ ‫נוכיח לגבי סכום שני גלים סינוסואידליים וההכללה לגבי מספר כלשהו תהיה‬ ‫,‬ ‫באינדוקציה‬ ‫‪x1 (t ) = A1 cos (ωt + ϕ 1 ) = Re X 1 e jωt‬‬ ‫‪x 2 (t ) = A2 cos (ωt + ϕ 2 ) = Re X 2 e‬‬ ‫1‪X 1 = A1 e jϕ‬‬ ‫‪.I‬‬ ‫{‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪j ωt‬‬ ‫}‬ ‫) ‪⇒ x1 (t ) + x 2 (t ) = Re ( X 1 + X 2 ) e jωt = A cos( ωt + ϕ‬‬ ‫2 ‪A = X1 + X‬‬ ‫;‬ ‫{‬ ‫;‬ ‫2 ‪X 2 = A2 e jϕ‬‬ ‫}‬ ‫) 2 ‪ϕ = / ( X1 + X‬‬ ‫נוכיח לגבי נגזרת ראשונה וההכללה לגבי נגזרת כלשהי תהיה באינדוקציה.‬ ‫,‬ ‫‪x1 (t ) = A1 cos(ωt + ϕ1 ) = Re X 1 e‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‪dx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= Re jωX 1 e‬‬ ‫333‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪ A e iϕ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.II‬‬ ‫{‬ ‫‪jωt‬‬ ‫}‬ ‫‪jωt‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ = A ⋅ cos( ωt + ϕ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫3‬ ‫פרק 31: יסודות הנדסת חשמל בזרם‬ ‫חילופין‬ ‫‪( j=e‬‬ ‫‪jπ‬‬ ‫2‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫1 ‪) ϕ = / jωX‬יש לזכור כי ‪ j‬ניתן לכתו ב‬ ‫1 ‪A = jωX‬‬ ‫כאש ר‬ ‫מא' ו- ב' נובע, על ידי אינדוקציה, שהמשפט נכון לסכום כלשהו של גלים‬ ‫סינוסואידליים ונגזרותיהם .‬ ‫אנחנו רוצים להשתמש בשיטות הפזורים למצוא פתרונות‬ ‫‪.III‬‬ ‫למה המשפט חשוב?‬ ‫למשוואות לינאריות לא- הומוגניות מהצורה :‬ ‫‪αo‬‬ ‫‪dnx‬‬ ‫‪d n −1 x‬‬ ‫) ‪+ α 1 n −1 + ... + α n x = A cos(ωt + ϕ‬‬ ‫‪dt n‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫משוואות כאלו מתארות מעגלים עם סלילים וקבלים .‬ ‫) ‪ x( t‬הוא גל סינוסואידלי כך גם נגזרותיו. פתרון המעגל‬ ‫מהמשפט נובע שא ם‬ ‫יצטמצם לכן למציאת אמפליטודה ופאזה, כלומר מציאת הפאזור. נראה זאת בפירו ט‬ ‫בסעיף הבא .‬ ‫2.31. השימוש בפאזורים לפתרון משוואה דיפרנציאלית‬ ‫נתונה משוואה דיפרנציאלית עם מקדמים ממשיים.‬ ‫‪αo‬‬ ‫‪dnx‬‬ ‫‪d n −1 x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫1− ‪+ α 1 n −1 + ... + α n‬‬ ‫) ‪+ α n x = Am cos(ωt + ϕ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫משוואה זאת מתארת למשל רת המוזנת ממקור ) ‪. Am cos(ωt + ϕ‬‬ ‫נתבונן בפתרון הפרטי המתאים למצב המתמיד. "ננחש" פתרון פרטי שאף הוא אות‬ ‫סינוסואידלי בתדר ‪: ω‬‬ ‫) ‪x p (t ) = X m cos( ωt + ψ‬‬ ‫למציא ת ‪ X m‬ו- ‪ ψ‬עבו ר ) ‪ , x p ( t‬נשים לב כי‬ ‫, ‪x p (t ) = Re X m e jψ e jωt = Re X e jωt‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪X = X m e jψ‬‬ ‫נציב את הביטוי הזה במשוואה המקורית ונקבל‬ ‫4‬ ‫פרק 31: יסודות הנדסת חשמל בזרם‬ ‫חילופין‬ ‫) ‪Re . α o ( jω ) + α 1 ( jω‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫({‬ ‫1− ‪n‬‬ ‫‪+ ... + α n X e jωt = Re A e jωt‬‬ ‫)‬ ‫}‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪jϕ‬‬ ‫‪ . A = Am e‬אב ל תכונ ה 3 אמרה ש"ייצוג פאזורי הוא יחיד" לכ ן‬ ‫כאש ר‬ ‫‪(α‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪( jω ) n + α 1 ( jω ) n−1 + ... + α n ) X‬‬ ‫‪=A‬‬ ‫ומכא ן‬ ‫) ‪α o ( jω ) + α 1 ( jω‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪A‬‬ ‫1− ‪n‬‬ ‫‪+ +αn‬‬ ‫≡‬ ‫‪A‬‬ ‫) ‪Pn ( jω‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪ X‬הינו מספר קומפלקסי‬ ‫‪ Pn‬הוא פולינום מתאים. עבור תדר ‪ ω‬נתון‬ ‫)פאזור( וניתן לחשב: ‪X m = X , ψ = A X‬‬ ‫/‬ ‫) ‪ Pn ( jω‬ניתן לפירוק מפורש לחלק ממשי ומדומה:‬ ‫‪Pn ( jω) = α n − α n −2 ω 2 + + j α n −1ω − α n −3 ω3 + ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪PnRe‬‬ ‫נציין כי‬ ‫(‬ ‫()‬ ‫)‬ ‫אפשר גם לכתוב‬ ‫‪Pn ( jω ) = Pn e jθ‬‬ ‫= ‪Pn‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫) ‪(P ) + (P‬‬ ‫) ‪(P‬‬ ‫‪= arctan‬‬ ‫2 ‪Re‬‬ ‫‪n‬‬ ‫2 ‪Im‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Im‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Re‬‬ ‫‪n‬‬ ‫לכן, אם נכתוב את הפתרון בתור‬ ‫‪X = X m e iψ‬‬ ‫ולכן ניתן גם לכתוב במפורש‬ ‫= ‪Xm‬‬ ‫) ‪Pn ( jω‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪[(α‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪− α n − 2ω 2 + + α n −1ω − α n −3ω 3 + ‬‬ ‫()‬ ‫2‬ ‫‪Am‬‬ ‫)‬ ‫2 /1 2‬ ‫]‬ ‫‪ α ω − α n −3ω 3 + ‬‬ ‫1− ‪ψ = arg( X ) = A− Pn ( jω ) = ϕ − arctan n‬‬ ‫/‬ ‫/‬ ‫‪ α −α ω 2 + ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2−‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫5‬ ‫פר ק 31: יסודות הנדסת חשמל בזרם‬ ‫חילופי ן‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫תגובת רשת למקור שהוא סכום שני גלים בתדירויות שונות‬ ‫)תזכורת(‬ ‫נניח שהמקור הוא מהצורה‬ ‫) 2 ‪y (t ) = A1m cos( ω1t + ϕ 1 ) + A2 m cos( ω 2 t + ϕ‬‬ ‫לפי עקרון הסופרפוזיציה ניתן לחשב את פתרון המצב המתמיד לכל אחד‬ ‫מהמרכיבים בנפרד, ולסכם את התוצאה. התגובה תהיה לכן מהצורה:‬ ‫) 2 ‪x p (t ) = B1m cos( ω 1t + ψ 1 ) + B2 m cos( ω 2 t + ψ‬‬ ‫כאשר כל מרכיב ניתן לחישוב באמצעות פאזורים.‬ ‫)נשים לב לכך ש- ) ‪ x p (t‬אינו סינוסואידלי מאחר וסכום שני אותות סינוסואידליים‬ ‫בתדרים שונים איננו אות סינוסואידלי!(‬ ‫חוקי קירכהוף לפאזורים‬ ‫חוקי קירכהוף נכונים בכל זמן. בפרט הם תקפים גם עבור רשתות מעוררות על ידי‬ ‫מקורות סינוסואידליים הכוללות קבלים וסלילים. אם כל המתחים בלולאה כלשהי א‬ ‫ברשת הם סינוסואידליים, ניתן לרשו ם‬ ‫‪K‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪ K‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 = ∑ v k (t ) = ∑ Re Vk e jωt = Re ∑ Vk e jωt ‬‬ ‫1= ‪k‬‬ ‫1= ‪k‬‬ ‫‪ k =1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫3.31.‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫⇒‬ ‫‪∑V‬‬ ‫1= ‪k‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪k‬‬ ‫0=‬ ‫בצורה דומה, לגבי זרמים בצומת‬ ‫‪∑I‬‬ ‫1=‪‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪‬‬ ‫0=‬ ‫ה- ‪ KVL‬וה- ‪ KCL‬מתקיימים גם עבו ר הפאזורי ם של המתחים והזרמי ם‬ ‫מסקנה:‬ ‫ברשת. מסיבה זו, ניתוח רשתו ת בערור סינוסוידאלי במצב מתמיד ניתן להעשות על‬ ‫6‬ ‫פר ק 31: יסודות הנדסת חשמל בזרם‬ ‫חילופי ן‬ ‫גישה זו תאפשר פתרון רשתות זרם‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫ידי חישוב הפאזורים של הזרמים והמתחים.‬ ‫חילופין באמצעים אלגבריים )ואין צורך בפתרון משוואות דיפרנציאליות( .‬ ‫אימפדנס ואדמיטנס‬ ‫נתבונן במעגל הבא:‬ ‫4.31.‬ ‫) ‪i( t‬‬ ‫+‬ ‫רכיב לינארי‬ ‫ב"ת ) ‪v( t‬‬ ‫בזמן‬ ‫רשת חשמלית‬ ‫-‬ ‫נניח:‬ ‫‪v(t ) = Vm cos( ωt + ϕ v ) = Re V e jωt‬‬ ‫‪i (t ) = I m cos( ωt + ϕ I‬‬ ‫‪jωt‬‬ ‫}{‬ ‫} ‪) = Re{ I e‬‬ ‫עבור רכיב לינארי בלתי תלוי בזמן )או קבוע בזמן(, היחס בין פאזור המתח לפאזור‬ ‫הזרם הינו קבוע, נסמן יחס זה על ידי ‪Z‬‬ ‫=‪Z‬‬ ‫‪V V m e jϕ v V m‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪e‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪Im‬‬ ‫‪I m e jϕ I‬‬ ‫) ‪j ( ϕv − ϕ I‬‬ ‫המשמעות היא כי יחס האמפליטודות בין הזרם למתח קבוע, וג ם הפרש הפאזות‬ ‫בניהן קבוע . ‪ Z‬הינו גודל מרוכב הנקרא ה אימפדאנס )‪ (Impedance‬של הרכיב )יח' )‬ ‫‪.Ω‬‬ ‫‪(1 Ω‬‬ ‫)יח'‬ ‫ה אדמיטנס )‪ (Admittance‬של הרכיב‬ ‫‪Y=I‬‬ ‫‪V‬‬ ‫באופן דומה נגדיר א ת‬ ‫ברור כי‬ ‫1− ‪ . Y = Z‬חשוב לזכור כי האימפדאנס והאדמיטנס הם גדלים מרוכבים,‬ ‫וכפי שנראה מיד הם בדרך כלל פונקציה ש ל ‪. ω‬‬ ‫חישוב ‪ Z‬לגבי הרכיבים הבסיסיים‬ ‫7‬ ‫פר ק 31: יסודות הנדסת חשמל בזרם‬ ‫חילופי ן‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫נגד‬ ‫1.‬ ‫‪v(t ) = R i (t ) = Re RI e jωt‬‬ ‫‪V RI‬‬ ‫= = ‪⇒Z‬‬ ‫‪=R‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪. 1 R‬גדלים אל ה ממשיים ואינם תלויי ם‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫האמפדנס של נגד הו א ‪ ,R‬והאדמיטנ ס‬ ‫בתדר .‬ ‫‪jy‬‬ ‫תאור במישור המרוכב:‬ ‫‪I‬‬ ‫‪V‬‬ ‫ניתן לראות כי פאזור המתח ופאזור הזרם הם שווי פאזה.‬ ‫‪x‬‬ ‫סליל‬ ‫2.‬ ‫‪v (t ) = L‬‬ ‫) ‪di (t‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪= L Re I e jωt = Re jωL I e jωt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪⇒ Z = = jωL‬‬ ‫‪I‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫. אלה גדלים מדומים טהורים‬ ‫1‬ ‫‪jωL‬‬ ‫והאדמיטנ ס‬ ‫) ‪( jωL‬‬ ‫‪jπ‬‬ ‫2‬ ‫האימפדנס של סליל הו א‬ ‫והם תלויים ב- ‪ . ω‬מאחר ו-‬ ‫‪jy‬‬ ‫‪. Z = ωLe‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪jπ‬‬ ‫2‬ ‫‪ , j = e‬אפשר לכתו ב‬ ‫במישור המרוכב פאזור המתח בסלי ל מדים א ת‬ ‫.‬ ‫‪π‬‬ ‫פאזור הזרם ב-‬ ‫2‬ ‫‪I‬‬ ‫גודל האמפדנס של סלי ל עולה ע ם ‪ ω‬ביחס ישר.‬ ‫קבל‬ ‫3.‬ ‫8‬ ‫פר ק 31: יסודות הנדסת חשמל בזרם‬ ‫חילופי ן‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫כאן, כמו קודם‬ ‫‪i (t ) = C‬‬ ‫) ‪dv(t‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪= C Re V e jωt = Re jωC V e jωt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫1 = ‪⇒ I = ( jωC )V ⇒ Z‬‬ ‫‪jωC‬‬ ‫והאדמיטנ ס‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫) ‪ . ( jωC‬גדלים אלה מרוכבים ותלויי‬ ‫1‬ ‫האימפדנס של קבל הו א ‪jωC‬‬ ‫תדר .‬ ‫‪jy‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪x‬‬ ‫תאור במישור המרוכב‬ ‫. האימפדנס של קב ל יורד ע ם ‪ ω‬לפי‬ ‫‪π‬‬ ‫פאזור המת ח מפגר אחר פאזור הזרם ב-‬ ‫2‬ ‫‪. 1ω‬‬ ‫חיבור בטור ובמקביל‬ ‫קל לראות, מחוקי קירכהוף לגבי פאזורים, כי חיבור של אימפדנסים בטור ובמקבי ל‬ ‫מקיים את אותם החוקים של נגדים רגילים :‬ ‫חיבור בטור:‬ ‫4.31.‬ ‫1 ‪V1 = IZ‬‬ ‫‪I‬‬ ‫2 ‪V2 = IZ‬‬ ‫‪Vn = IZ n‬‬ ‫9‬ ‫פרק 31: יסודות הנדסת חשמל בזרם‬ ‫חילופין‬ ‫1‪Z‬‬ ‫2‪Z‬‬ ‫‪Zn‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫) ‪V = V1 + V2 + ...... + Vn = I ⋅ ( Z 1 + Z 2 + ....... + Z n‬‬ ‫‪Z eq = ∑ Z i‬‬ ‫1= ‪i‬‬ ‫‪n‬‬ ‫דוגמה: הנח שני רכיבים המחוברים בטור‬ ‫= 2‪Z‬‬ ‫1‬ ‫‪jωC‬‬ ‫;‬ ‫‪Z1 = R‬‬ ‫+ ‪Z eq = R‬‬ ‫1‬ ‫‪1 + jωRC‬‬ ‫=‬ ‫‪jωC‬‬ ‫‪jωC‬‬ ‫חיבור מקבילי‬ ‫‪V‬‬ ‫1‪Y‬‬ ‫2‪Y‬‬ ‫‪Yn‬‬ ‫= ‪Yk‬‬ ‫1‬ ‫‪Zk‬‬ ‫1‪I 1 = VY‬‬ ‫,‬ ‫2‪I 2 = VY‬‬ ‫;‬ ‫‪....... I n = VYn‬‬ ‫) ‪I = I 1 + I 2 + ........ + I n = V ⋅ ( Y1 + Y2 + ...... + Yn‬‬ ‫‪Yeq = ∑ Yi‬‬ ‫1= ‪i‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫∑=‬ ‫‪Z eq i =1 Z i‬‬ ‫דוגמא: הנח ששני הרכיבים מהדוגמא הקודמת מחוברים במקביל‬ ‫01‬ ‫פר ק 31: יסודות הנדסת חשמל בזרם‬ ‫חילופי ן‬ '‫הרצאות בחשמל מ‬ Yeq = 1 1 + jωCR + jωC = R R :‫דוגמה נוספת‬ i( t ) = ? L R VS (t ) C VS ( t ) = VSm cos( ωt + ϕ s ) Z L = jωL Zc = 1 jωC 1 1 1 + jωRC = + jωC = Z RC R R Z eq = R R − ω 2 RCL + jωL + jωL = 1 + jωRC 1 + jωRC R − ω 2 LRC 2 + ω 2 L2 = 2 1 + ( ω RC ) Z eq ( ) 1/ 2 ϕ z = / Z eq = arctan ( ωL ) − arctan(ωRC ) R − ω 2 LRC I= VS V = sm e j ( ϕ s −ϕ z ) Z eq Z ef i( t ) = Vsm Z eq cos ( ωt + ϕ s − ϕ z ) - 11 ‫פרק 31: יסודות הנדסת חשמל בזרם‬ ‫חילופין‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫6.31. ניתוח רשתות במצב מתמיד סינוסואידלי‬ ‫אחרי שהרשת מוגדרת באמצעות מקורות פאזורים )זרם ו/או מתח( ואימפדנסים או‬ ‫אדמיטנסים, ניתן לרשום את המשוואו ת האלגבריות עבור המתחים או הזרמים‬ ‫הפאזורי ם )‪ (KVL, KCL‬באופן ישיר כמו לגבי רשתו ת ‪.DC‬‬ ‫‪C = 2 µF‬‬ ‫שיטות הניתוח שלמדנו בחלק הראשון של הקורס – צמתים, עיניים, חוגים ומערכי‬ ‫חיתוך – ישימות גם עתה. ההבדל היחיד הוא שאנו עוסקים במספרים קומפלקסיים .‬ ‫) ‪is ( t‬‬ ‫1‬ ‫‪R2 = 1Ω‬‬ ‫‪R3 = 1Ω‬‬ ‫‪R1 = 1Ω‬‬ ‫2‬ ‫‪L = 2 µH‬‬ ‫‪R4 = 2Ω‬‬ ‫3‬ ‫21‬ ‫‪is ( t ) = 10 cos 2 ⋅ 10 6 t + π‬‬ ‫(‬ ‫6‬ ‫)‬ ‫פרק 31: יסודות הנדסת חשמל בזרם‬ ‫חילופין‬ '‫הרצאות בחשמל מ‬ : ‫דוגמא‬ ‫ננסה לפתור בשיטת הצמתים בהתבוננות‬ Yn e = i sn Yn E = I Sn → E = Yn−1 I Sn :KCL : ‫בכתיב פאזורי‬ 1 1 R + R + jωC 2 1 1 − R2 − jωC − 1 R2 − jωC − 1 R3 1 1 1 + + R2 R3 jωL − 1 R3 1 1 + + jωC R3 R4 E I 1 s = E2 0 E3 0 2 + 4 j −1 −4j −1 1 2− j 4 −1 −4j −1 3 + 4 j 2 10 ⋅ e E1 E = 0 2 0 E3 jπ 6 E1 E = 2 E3 6 ⋅ 4266 ⋅ e j 0.6387 j 0.8282 6 ⋅ 3839 ⋅ e 6 ⋅ 4676 ⋅ e j 0.7686 13 ‫פרק 31: יסודות הנדסת חשמל בזרם‬ ‫חילופין‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫מכאן ניתן לכתו ב‬ ‫) 7836.0 + ‪e1 ( t ) = 6.4266 ⋅ cos( 2 ⋅ 10 6 t‬‬ ‫) 2828.0 + ‪e2 ( t ) = 6.3839 ⋅ cos( 2 ⋅ 10 6 t‬‬ ‫)6867.0 + ‪e3 ( t ) = 6.4676 ⋅ cos( 2 ⋅ 10 6 t‬‬ ‫המרת מקורות:‬ ‫+‬ ‫‪IS‬‬ ‫-‬ ‫⇔‬ ‫+‬ ‫‪Vs‬‬ ‫‪Vs‬‬ ‫1‪Z‬‬ ‫-‬ ‫2‪Z‬‬ ‫2 ‪V = ( I S + I ) Z 2 = I S Z 2 + IZ‬‬ ‫‪V = VS + I ⋅ Z‬‬ ‫מהשוואת הביטויים חייב להתקיי ם‬ ‫2 ‪Z1 = Z‬‬ ‫;‬ ‫= ‪Is‬‬ ‫‪Vs‬‬ ‫1‪Z‬‬ ‫41‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 12/16/2010 for the course BIO 6785 taught by Professor Shuit during the Spring '10 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online