CH15 - ‫פרק 51 - הספק ואנרגיה ברשת...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫פרק 51 - הספק ואנרגיה ברשת ז"ח‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫פרק 51: הספק ואנרגיה ברשת ז"ח‬ ‫1.212הספק ממוצע‬ ‫נעיין במעגל שיש בו מקורות בלתי תלויים )מתח או זרם, בתדר ‪ ,( ω‬ורשת חשמלית:‬ ‫) ‪i( t‬‬ ‫+‬ ‫מקור‬ ‫-‬ ‫) ‪v( t‬‬ ‫רשת חסרת‬ ‫מקורות‬ ‫נניח‬ ‫} ‪i ( t ) = I m cos( ωt + ϕ i ) = Re{ Ie jωt‬‬ ‫‪V = v m e jϕ v‬‬ ‫;‬ ‫‪I = I m e jϕi‬‬ ‫ההספק החשמלי הוא מכפלת המתח בזרם‬ ‫) ‪P ( t ) = v ( t ) ⋅ i ( t ) = Vm I m cos( ωt + ϕ v ) cos( ωt + ϕ i‬‬ ‫) ‪2 cos( x ) cos( y ) = cos( x + y ) + cos( x − y‬‬ ‫= ) ‪P( t‬‬ ‫נשתמש בקשר:‬ ‫ונקבל:‬ ‫} ‪v ( t ) = Vm cos( ωt + ϕ v ) = Re{Ve iωt‬‬ ‫1‬ ‫] ) ‪Vm I m [ cos( ϕ v − ϕ i ) + cos( 2ωt + ϕ v + ϕ i‬‬ ‫2‬ ‫נשים לב: ההספק אינו גודל סינוסי בתדר ‪ ω‬ולכן לא ניתן לתארו על ידי פאזורים.‬ ‫נגדיר את ההספק הממוצע לאורך מחזור אחד:‬ ‫≡ ‪PAV‬‬ ‫‪1T‬‬ ‫‪P ( t ) dt‬‬ ‫0∫ ‪T‬‬ ‫;‬ ‫=‪T‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫בחישוב ההספק הממוצע מספיק להתחשב באיבר הראשון הקבוע , זאת כיוון‬ ‫)(‬ ‫,‬ ‫שהאינטגרל על האיבר השני מתאפס על פני מחזור אחד לכן‬ ‫:‬ ‫,‬ ‫1‬ ‫פר ק 51 - הספק ואנרגיה ברשת ז" ח‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫= ‪PAV‬‬ ‫1‬ ‫) ‪V m I m cos(φv −φi‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫פרק 51 - הספק ואנרגיה ברשת ז" ח‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫מקרים פרטיים מעניינים‬ ‫בנגד טהור הזרם והמתח באותו מופע ‪ φ v = φ i‬ולכן‬ ‫1‬ ‫‪Vm I m‬‬ ‫2‬ ‫בקבל או בסליל יש הפרש מופע של 2 / ‪ π‬בין המתח והזרם ולכן 0 = ‪. PAV‬‬ ‫המשמעות : אין צריכת הספק בממוצע . ההספק "הנקלט על ידי הרכיב‬ ‫"‬ ‫= ‪PAV‬‬ ‫) קבל או סליל במשך חצי מחזור תנודה נמסר ממנו בחזרה למעגל בחצי‬ ‫(‬ ‫המחזור השני.‬ ‫הספק מרוכב‬ ‫נגדיר הספק מרוכב ‪ S‬בתור‬ ‫=‪S‬‬ ‫1‬ ‫∗ ‪VI‬‬ ‫2‬ ‫) ∗ ‪ - I‬צמוד קומפלקסי של ‪( I‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫) ‪S = Vm e iφv I m e − jφi = Vm I m e i ( φv −φi‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫] ) ‪= Vm I m [ cos( φ v − φi ) + j sin ( φ v − φi‬‬ ‫2‬ ‫נגדיר ‪ - Q AV‬הספק ריאקטיב י )עיוור(:‬ ‫= ‪Q AV‬‬ ‫1‬ ‫) ‪Vm I m sin ( φ v − φi‬‬ ‫2‬ ‫ואז ניתן לרשום את ‪ S‬בצורה הבאה:‬ ‫‪S = PAV + j Q AV‬‬ ‫‪Q AV‬‬ ‫‪S‬‬ ‫משולש ההספקים‬ ‫:‬ ‫‪φ‬‬ ‫‪PAV‬‬ ‫3‬ ‫פרק 51 - הספק ואנרגיה ברשת ז"ח‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫מקדם ההספק‬ ‫ל- ) ‪ cos(φ ) = cos(φ v − φi‬קוראים "מקדם הספק".‬ ‫במערכות חלוקת אנרגיה ובצרכנים חשמליים גדולים רצוי 1 ≈ ‪) . cos φ‬הקטנת ההספק‬ ‫העיוור(‬ ‫. אם ‪ cos φ‬קטן יש להגדיל ‪ I m‬לקבלת‬ ‫,‬ ‫1‬ ‫הסיבה: ההספק המועיל הוא ‪Vm I m cos φ‬‬ ‫2‬ ‫בתיילים.‬ ‫צרכנים גדולים )מנועים, למשל( הם בעלי "אופי השראתי" )המתח מקדים את הזרם(,‬ ‫ולכן מקובל לחבר קבלים במקביל כדי לתת להם אופי התנגדותי ככל האפשר.‬ ‫פעולה זו נקראת "שיפור קוסינוס ‪." φ‬‬ ‫ההספק הדרוש אבל הגדלת אמפליטודת הזרם גוררת הגדלה ריבועית של ההפסדים‬ ‫,‬ ‫הספק ואימפדנס‬ ‫יהיו ‪ Z‬האמפדנס, ו- ‪ Y‬האדמיטנס של הרשת.‬ ‫= ‪PAV‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫} * ‪Re {VI * } = Re{Z ⋅ I ⋅ I‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫21‬ ‫21‬ ‫} ‪= I Re{ Z } = I m Re{ Z‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ובאופן דומה:‬ ‫21‬ ‫} ‪PAV = Vm Re{Y‬‬ ‫2‬ ‫נניח עתה כי ‪ Z‬הוא אמפדנס הכניסה לרשת פסיבית . רשת זאת בהכרח צורכת הספק,‬ ‫כלומר, 0 ≥ ‪ . PAV‬לכן,‬ ‫0 ≥ } ‪Re{ Z‬‬ ‫0 ≥ } ‪Re{Y‬‬ ‫כמו כן,‬ ‫0 > ) ‪cos ( φ v − φ i‬‬ ‫1‬ ‫→ 0 ≥ ) ‪PAV = Vm I m cos ( φ v − φ i‬‬ ‫2 / ‪φv − φi ≤ π‬‬ ‫2‬ ‫4‬ ‫פרק 51 - הספק ואנרגיה ברשת ז" ח‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫במילים אחרות‬ ‫:‬ ‫ברשת פאסיבית הערך הממשי של האימפדנס והאדמיטנס הם לא‬ ‫,‬ ‫.‬ ‫‪π‬‬ ‫שליליים הפרש המופע בין המתח והזרם ) ‪ (φ‬אינו גדול מ‬ ‫‬‫.‬ ‫2‬ ‫דוגמה‬ ‫‪R‬‬ ‫) ‪Vs = Vsm cos( ωt + φ v‬‬ ‫‪VS‬‬ ‫‪C‬‬ ‫21‬ ‫} ‪PAV = Vsm Re{Y‬‬ ‫2‬ ‫// ‪Z = jωL + R‬‬ ‫1‬ ‫+ ‪= jωL‬‬ ‫‪jωC‬‬ ‫1‬ ‫‪R‬‬ ‫1‬ ‫‪+ jωC‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R + jωL − ω 2 LRC‬‬ ‫+ ‪= jωL‬‬ ‫=‬ ‫‪1 + jωRC‬‬ ‫‪1 + jωRC‬‬ ‫‪1 + jωRC‬‬ ‫=‪Y‬‬ ‫‪R − ω 2 LRC + jωL‬‬ ‫=‬ ‫+ 1(‬ ‫‪(R − ω‬‬ ‫) ‪jωRC ) ( R − ω 2 LRC − jωL‬‬ ‫2‬ ‫= } ‪Re{Y‬‬ ‫‪(R − ω‬‬ ‫) ‪LRC ) + ( ωL‬‬ ‫‪R‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫) ‪LRC ) + ( ωL‬‬ ‫2‬ ‫21‬ ‫} ‪PAV = Vsm Re{Y‬‬ ‫2‬ ‫21‬ ‫‪R‬‬ ‫‪= Vsm‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‪R (1 − ω LC ) + ω 2 L‬‬ ‫ערכים אפקטיביים‬ ‫בערור סינוסואידלי נהוג להגדיר ערכים אפקטיביים )ולא מכסימליים של המתח והזרם:‬ ‫(‬ ‫= ‪Veff‬‬ ‫1‬ ‫‪Vm‬‬ ‫2‬ ‫;‬ ‫= ‪I eff‬‬ ‫1‬ ‫‪Im‬‬ ‫2‬ ‫5‬ ‫פר ק 51 - הספק ואנרגיה ברשת ז" ח‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫ואז:‬ ‫‪PAV = Veff I eff cos φ‬‬ ‫לדוגמה, כשאומרים כי "מתח הרשת הו א ‪ "220V‬מתכוונים למתח האפקטיבי. הערך‬ ‫יותר גדול.‬ ‫השיאי הוא פי 2‬ ‫לעיתים משתמשים בסימו ן ‪) root mean square = rms‬שורש הערך הריבועי הממוצע( וא ז :‬ ‫; ‪. Veff = Vrms‬‬ ‫‪I eff = I rms‬‬ ‫זאת עקב הקשר:‬ ‫= ‪I rms‬‬ ‫1‬ ‫‪T‬‬ ‫∫‬ ‫‪T‬‬ ‫0‬ ‫‪I 2 ( t ) dt‬‬ ‫התכונה האדיטיבית של ההספק הממוצע‬ ‫נניח שאות הכניסה לרשת הוא סכום של כמה אותות סינוסוידאליי ם בתדרים שונים ,‬ ‫ונניח שהרשת במצב מתמיד. לדוגמה, זרם הכניסה לרשת הוא:‬ ‫) 2 ‪i ( t ) = I 1m cos( ω1t + ψ 1 ) + I 2 m cos( ω 2 t + ψ‬‬ ‫כאש ר 2 ‪ . ω1 ≠ ω‬נניח שאימפדנס הכניסה הו א ) ‪ . Z ( ω‬במצב המתמיד, המתח הוא:‬ ‫+ ) ) 1 ‪v( t ) = I 1m Z ( ω1 ) ⋅ cos( ω1t + ψ 1 + v Z ( ω‬‬ ‫/‬ ‫) 2 ‪= V1m cos( ω1t + φ1 ) + V2 m cos( ω 2 t + φ‬‬ ‫) ‪. φi = ψ i + / Z (ω i‬‬ ‫מכפלות מהצור ה ) ‪. cos( a ) ⋅ cos( b‬‬ ‫) ) 2 ‪+ I 2 m Z ( ω 2 ) ⋅ cos( ω 2 t + ψ 2 + v Z ( ω‬‬ ‫/‬ ‫כאש ר‬ ‫בחישוב‬ ‫4‬ ‫ההספק הרגע י ) ‪ P ( t ) = v ( t ) ⋅ i ( t‬מקבלי ם‬ ‫ניתן לבדוק כי הממוצע על פני מכפלות הכוללות תדרים שונים הו א 0. לשם כך ניתן‬ ‫להיעזר בנוסחא :‬ ‫6‬ ‫פרק 51 - הספק ואנרגיה ברשת ז" ח‬ ‫= ) ‪cos( a ) ⋅ cos( b‬‬ ‫1‬ ‫] ) ‪[ cos( a + b) + cos( a − b‬‬ ‫2‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫ההספק הממוצע המתקבל הוא:‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫) 2 ‪PAV = V1m I 1m cos( φ1 − ψ 1 ) + V2 m I 2 m cos(φ 2 − ψ‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫זוהי תכונת האדיטיביות. לגבי כניסות סינסואידליות בתדרים שונים ההספק‬ ‫,‬ ‫הממוצ ע הוא סכום ההספקים הממוצעים של כל כניסה בנפרד. )שים לב לכך‬ ‫שההספק הרגעי אינו אדיטיבי עקב המכפלות המצטלבות!(‬ ‫1.213העברת הספק מירבי ברשתות ז"ח‬ ‫נניח כי רשת ‪ AC‬מזינה צרכן בעל אימפדנס ‪ . Z L‬ניתן לייצג את הרשת על ידי המעגל‬ ‫השקול של תבנין, כדלקמן‬ ‫0‪Z‬‬ ‫) ‪i( t‬‬ ‫רשת עם‬ ‫מקורות‬ ‫+‬ ‫-‬ ‫) ‪v( t‬‬ ‫‪ZL‬‬ ‫‪VS‬‬ ‫‪ZL‬‬ ‫נניח כי ‪ VS‬ו- 0 ‪ Z‬נתונים, ואין לנו שליטה עליהם. אנו מחפשים את ‪ Z L‬שעבורו צריכת‬ ‫ההספק של העומס תהיה המירבית האפשרית.‬ ‫באופן אינטואיטיבי ניתן לעשות את השיקולים הבאים:‬ ‫אם ‪ Z L‬גדול מאוד, הזרם במעגל קטן, ולכן ההספק יהיה קטן.‬ ‫אם ‪ Z L‬קטן מאוד רוב המתח יפול על 0 ‪ Z‬ולכן ההספק יהיה קטן.‬ ‫חייב להיות ערך "אמצעי" של ‪ Z L‬שהוא אופטימלי.‬ ‫0 ‪Z 0 = R0 + jX‬‬ ‫‪Z L = R L + jX L‬‬ ‫1.‬ ‫2.‬ ‫⇐‬ ‫נסמן:‬ ‫7‬ ‫פר ק 51 - הספק ואנרגיה ברשת ז" ח‬ ‫2‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫‪PAV‬‬ ‫‪Vs‬‬ ‫21‬ ‫1‬ ‫= } ‪= I Re{ Z L‬‬ ‫2‬ ‫‪2 Z0 + Z L‬‬ ‫=‬ ‫1‬ ‫‪V‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪s‬‬ ‫‪⋅ RL‬‬ ‫) 0‪( R L + R‬‬ ‫‪RL‬‬ ‫2‬ ‫)0‪+ ( XL + X‬‬ ‫2‬ ‫אנחנו רשאים לבחור בנפרד את הערכים של העומ ס ‪ R L‬ו- ‪ . X L‬ברור כי רצוי ראשית‬ ‫כל לבחו ר 0 ‪ X L = − X‬כדי להקטין ככל האפשר את תרומ ת ‪ X L‬למכנה. אם נעשה זאת,‬ ‫נשאר :‬ ‫= ‪PAV‬‬ ‫1‬ ‫‪Vs‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫⋅‬ ‫2 ) 0‪( RL + R‬‬ ‫‪RL‬‬ ‫כדי לחפש מקסימום על פני ‪ , R L‬נגזור ונשווה את הנגזרת לאפס‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪d‬‬ ‫0 = 0‪( PAV ) = RL + R0 − 2 RL 4RL + R‬‬ ‫‪dR L‬‬ ‫) 0‪( R L + R‬‬ ‫2‬ ‫0‪⇒ R L = R‬‬ ‫קיבלנו כי הבחירה הטובה ביותר היא:‬ ‫‪R L = R0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X L = −X0 ‬‬ ‫⇒‬ ‫*‬ ‫0‪ZL = Z‬‬ ‫בחירה כזאת נקרא ת תאום אימפדנסים . במצב זה ההספק הוא:‬ ‫‪1 Vs‬‬ ‫= ) ‪PAV ( max‬‬ ‫0‪8 R‬‬ ‫‪1 Vs‬‬ ‫.‬ ‫0‪4 R‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫חצי מזה הולך ל- ‪Z L‬‬ ‫קל לראות שבמצב תאום אימפדנסים, המקור מספ ק‬ ‫וחצי ל- 0 ‪ . Z‬הנצילות במצב זה הי א %05.‬ ‫זה אינו בהכרח מצב רצוי, ולכן תאום‬ ‫במערכות העברת הספק ע ם‬ ‫אימפדנסים אינו בהכרח בחירה טובה בכל שימוש.‬ ‫אילוצים )למשל, הספק יציאה מקסימלי מוגבל(, למשל, נרצה שמירב הספק המקו ר ‫יתפתח בעומס, אפילו אם ההספק בעומס איננו המירבי האפשרי ללא אילוצים )כלומ ר‬ ‫0 ‪.( Z L ≠ Z‬‬ ‫*‬ ‫8‬ ‫פרק 51 - הספק ואנרגיה ברשת ז" ח‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫9‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 12/16/2010 for the course BIO 6785 taught by Professor Shuit during the Spring '10 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online