Chapter2 - ‫פרק 2: הרשת כגרף וחוקי...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫פרק 2: הרשת כגרף וחוקי קירכהוף‬ ‫הרצאות בחשמל 'מ‬ ‫פרק 2: הרשת כגרף – חוקי קירכהוף‬ ‫בצורתם המטריצית‬ ‫]7.1-5.1 :‪[DK: 9.1-9.3, 10.2; CDK‬‬ ‫בפרק זה נתבונן ברשתות חשמליות כלליות באופן שיטתי יותר ראשית נגדיר את‬ ‫,‬ ‫.‬ ‫בעזרת הגדרה זו ננסח את חוקי‬ ‫הטופולוגיה )המבנה( של הרשת כגרף מכוון‬ ‫.‬ ‫מחוקי קירכהוף.‬ ‫קירכהוף בצורה מטריצית סטנדרטית כמו כן נפתח את חוק טלגן הנובע ישירות‬ ‫,‬ ‫.‬ ‫מרשת לגרף מכוון‬ ‫1.2‬ ‫נתבונן ברשת מקובצת המורכבת מאוסף של רכיבים המחוברים ביניהם בהדקים‬ ‫,‬ ‫שני הדקים )בהמשך‬ ‫בשלב זה נניח כי כל רכיב הינו בעל‬ ‫)צמתים משותפים‬ ‫.‬ ‫(‬ ‫נכליל את הדיון לרכיבים מרובי הדקים(.‬ ‫נזכיר כי כל רכיב מאופיין כזה על ידי המתח והזרם על פניו, כאשר כיווני הייחוס‬ ‫נקבעים באופן מוסכם כך שכיוון הזרם מהדק )+( להדק )-( של המתח.‬ ‫+‬ ‫‪v‬‬ ‫_‬ ‫‪i‬‬ ‫עבור רשת מסוג זה, נוח להתבונן בגרף המכוון ) ‪ (Directed Graph, or Digraph‬המייצג‬ ‫אותה מבחינת הקישורים בין הענפים והצמתים. בגרף כזה מחליפים כל רכיב‬ ‫בענף מכוון, שכיוונו ככיוון הייחוס. כיוון הענף מסומן על ידי חץ מתאים.‬ ‫דוגמא: נתבונן ברשת הבאה:‬ ‫2-1‬ ‫פר ק 2: הרשת כגרף וחוקי קירכהוף‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫1‬ ‫2‪i‬‬ ‫3‪i‬‬ ‫2‬ ‫4‪i‬‬ ‫3‬ ‫1‪i‬‬ ‫5‪i‬‬ ‫7‪i‬‬ ‫6‪i‬‬ ‫4‬ ‫הגרף המכוון המתאים לה הינו:‬ ‫1‬ ‫2‪i‬‬ ‫2‬ ‫4‪i‬‬ ‫7‪i‬‬ ‫3‬ ‫3‪i‬‬ ‫1‪i‬‬ ‫5‪i‬‬ ‫6‪i‬‬ ‫4‬ ‫סימון: נסמן את מספר הצמתים )‪ (Nodes‬בגרף ב- ‪ ,N‬ואת מספר הענפים )‪(Branches‬‬ ‫על ידי ‪.B‬‬ ‫בדוגמה שלמעלה : 7=‪.N=4 , B‬‬ ‫נזכיר מספר מושגים בסיסיים בתורת הגרפים:‬ ‫גרף מכוון : מוגדר על ידי אוסף סופי של צמתים ואוסף של ענפים המחברים‬ ‫ביניהם, כאשר כל ענף מוגדר ע"י צומת מבוא וצומת מוצא .‬ ‫גרף נקר א קשור )‪ (Connected‬אם קיים מסלול )רצף של ענפים, ללא קשר לכיוונם(‬ ‫בין כל זוג צמתים שלו.‬ ‫ענף ששני צדדיו קשורים לאותו צומת נקר א חוג עצמי .‬ ‫2-2‬ ‫פר ק 2: הרשת כגרף וחוקי קירכהוף‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫נניח מעתה כי הגרף המכוון המייצג את הרשת הינו:‬ ‫ קשור )אחרת ניתן לפרקו לשני חלקים נפרדים ולדון בהם בנפרד(.‬‫- ללא חוגים עצמיים.‬ ‫2-3‬ ‫פר ק 2: הרשת כגרף וחוקי קירכהוף‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫מושגים נוספים בתורת הגרפים :‬ ‫נזכיר עתה מספר מושגים נוספים שיידרשו בהמשך הקורס.‬ ‫) ‪ (SUBGRAPH‬של גרף נתון הוא גרף המורכב מחלק מהצמתים‬ ‫תת גרף‬ ‫והענפים של הגרף המקורי. לדוגמה :‬ ‫תת-‬ ‫גרף‬ ‫חוג ) ‪ (Loop‬בגרף הוא תת גרף שהוא‬ ‫1. קשור‬ ‫2 ענפים‬ ‫2. בכל צומת בו פוגעים בדיו ק‬ ‫מכאן כי החוג הוא מסלול סגור שאינו חוזר לאותה צומת פעמיים .‬ ‫דוגמא:‬ ‫2( אינו מכיל חוגים.‬ ‫1( קשור ,‬ ‫עץ ) ‪ (Tree‬בגרף קשור הוא תת גרף שהוא :‬ ‫עץ פורש ‪ ((Spanning Tree‬הינו עץ המכיל את כל צמתי הגרף המקורי.‬ ‫לדוגמא:‬ ‫עץ פורש של הגרף‬ ‫גרף‬ ‫2-4‬ ‫פר ק 2: הרשת כגרף וחוקי קירכהוף‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫כאשר נתון עץ פורש בגרף קשור, הוא מגדיר שתי קבוצות ענפים:‬ ‫קבוצת ענפי העץ ) ‪(Tree Branches‬‬ ‫כל יתר הענפים, הנקראי ם קישורים ) ‪(Links‬‬ ‫מובן שקיים מספר רב של עצים פורשים בכל גרף. עצים פורשים נוספים בדוגמא:‬ ‫בכל עץ פורש הינו כמספר הצמתים בגרף‬ ‫5=‪.N‬‬ ‫לפי הגדרתו, ברור כי מספר הצמתים‬ ‫המקור י ) ‪ .(N‬בדוגמה, מספר הצמתים בגרף ובכל אחד מהעצים הו א‬ ‫4 ענפים. הדבר נובע‬ ‫מה לגב י מספר הענפים ? ניתן לראות כי בכל אחד מהעצי ם‬ ‫מהתוצאה הבאה :‬ ‫טענ ה:‬ ‫מכאן כי מספר הקישורים הו א‬ ‫1-‪ N‬ענפי ם .‬ ‫בכל עץ פורש בגרף קשור יש תמי ד‬ ‫1-‪.(B-N+1=B-(N‬‬ ‫)נזכיר כי ‪ N‬הוא מספר הצמתים ו- ‪ B‬מספר הענפים בגרף המקורי.(‬ ‫הוכחה : יהי ‪ T‬עץ פורש של גרף קשור . ‪ T‬הינו בע ל ‪ N‬צמתים. ל- ‪ T‬אין חוגים, לכן‬ ‫יש לו לפחות "צומת קצה" אחד המחוברת לענף אחד בלבד. נסלק צומת כז ה‬ ‫ואת הענף שלו. נשארנו עם תת- עץ, שהוא עץ פורש עבור הגרף החדש. נחזו ר‬ ‫על התהליך של מחיקת צומת קצה והענף המחובר אליו. כל התהליך יכול לחזו ר‬ ‫על עצמ ו 1-‪ N‬פעמים עד שנשארים עם צומת אחד בלבד. בכך הוכחנו את הטענה‬ ‫ל‬ ‫שבעץ היו 1-‪ N‬ענפים.‬ ‫נציין כי מציא ת עץ פורש בגרף הינה פשוטה ביותר: נתחיל בצומת כלשהו, ונוסיף‬ ‫ענפים המוליכים לצמתים חדשים עד לכיסוי כל הצמתים .‬ ‫2-5‬ ‫פר ק 2: הרשת כגרף וחוקי קירכהוף‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫מטריצת הפגיעה וחוקי קירכהוף‬ ‫‪ N‬מספר הצמתים בגרף ו- ‪B‬‬ ‫) ‪Augmented Incidence‬‬ ‫2.2‬ ‫נתבונן ברשת, המתוארת על ידי גרף מכוון קשור. יה י‬ ‫מספר הענפים.‬ ‫נגדיר את מטריצת הפגיעה המורחב ת‬ ‫‪ (Matrix‬כמטריצה במימ ד ‪ N×B‬המוגדרת על ידי‬ ‫)1.2(‬ ‫‪Aa = aij‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1 − ‪a ij = ‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫][‬ ‫‪N×B‬‬ ‫כאשר‬ ‫מצומת ‪i‬‬ ‫הענף ה − ‪ j‬יוצא‬ ‫הענף ה − ‪ j‬נכנסלצומת ‪i‬‬ ‫הענף ה − ‪ j‬לאפוגשצומת ‪i‬‬ ‫בדוגמה מראשית הפרק:‬ ‫1‬ ‫2‪i‬‬ ‫3‪i‬‬ ‫1‪i‬‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫4‪i‬‬ ‫7‪i‬‬ ‫5‪i‬‬ ‫6‪i‬‬ ‫3‬ ‫מתקבלת מטריצת הפגיעה הבאה:‬ ‫‪ − 1 1 0 0 0 0 0‬‬ ‫‪ 0 − 1 − 1 1 0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Aa = ‬‬ ‫‪ 0 0 0 − 1 − 1 − 1 − 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+ 1 0 1 0 1 1 1‬‬ ‫במטריצה זו, כ ל שורה מייצג ת צומ ת , וכ ל עמודה מייצג ת ענ ף .‬ ‫קל לראות כי למטריצת הפגיעה המורחבת התכונה הבאה :‬ ‫סכום האברים בכל עמודה שלה שווה לאפס.‬ ‫2-6‬ ‫פרק 2: הרשת כגרף וחוקי קירכהוף‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫הסיבה: כל ענף נתון נכנס לצומת אחת ויוצא מצומת אחרת לכן בכל עמודה יש 1, -‬ ‫+‬ ‫1 והיתר אפסים‬ ‫שני חוקי קירכהוף ניתנים לביטוי נוח באמצעות מטריצת הפגיעה המורחבת. נסמן‬ ‫‪ v‬את‬ ‫ב- ‪ i‬את ווקטור זרמי הענפים וב- ‪ e‬את ווקטור מתחי הצמתים נסמן גם ב‬ ‫‬‫.‬ ‫וקטור מתחי הענפים אזי קיים‬ ‫.‬ ‫)2.2(‬ ‫)3.2(‬ ‫: ‪KCL‬‬ ‫: ‪KVL‬‬ ‫0 = ‪Aa i‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪Aa e = v‬‬ ‫מתארת את הסכום האלגברי של הזרמים‬ ‫הסבר: כל שורה במשוואה 0 = ‪Aa i‬‬ ‫בצומת:‬ ‫כל + 1 מתאים לענף יוצא מהצומת‬ ‫כל 1 - מתאים לענף נכנס לצומת‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ Aa e = v‬מתארת את הפרש הפוטנציאלים בין שני קצוות ענף מסוים.‬ ‫כל שורה ב‬ ‫-‬ ‫הפרש זה שווה למתח בענף )בסימן המתאים(.‬ ‫מהעובדה שסכום השורות של ‪ Aa‬שווה לאפס נובע כי "יש יותר מדי משוואות".‬ ‫נוח לבצע את המהלך הבא:‬ ‫נגדיר אחד הצמתים כצומת ייחוס ) ‪ (Datum node‬ונניח כי המתח בצומת זה זהותית‬ ‫אפס )כלומר, כל יתר המתחים הם ביחס אליו(.‬ ‫לא נתעניין יותר בחוק הזרמים לגבי צומת זה. כלומר, נמחק את השורה המתאימה‬ ‫0 = ‪. Aa i‬‬ ‫לצומת זה מהמשוואה‬ ‫נסתכל על הדוגמה של הפרק הקודם:‬ ‫1‬ ‫1‪i‬‬ ‫3‪i‬‬ ‫3‬ ‫4‪i‬‬ ‫5‪i‬‬ ‫2‬ ‫2‪i‬‬ ‫2-7‬ ‫4‬ ‫פרק 2: הרשת כגרף וחוקי קירכהוף‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫מחיקת המשוואה האחרונה:‬ ‫)1(‬ ‫)2(‬ ‫)3(‬ ‫)4(‬ ‫‪ i1 ‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫‪0 0‬‬ ‫1 1 −‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‪i‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪0 − 1 − 1 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪ i3 ‬‬ ‫1‪‬‬ ‫0‬ ‫10‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫4‪ i‬‬ ‫0 1− 0‬ ‫‪0 − 1 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i5 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫המחיקה הזאת אינה מחסירה אינפורמציה שהרי השורה )4( היא -])1 )2 )3([.‬ ‫(+ (+‬ ‫מתקבלת משוואת ‪ KCL‬מהצורה 0 = ‪ , A i‬כאשר ‪ A‬במימד )‪ ,N-1)*B‬ופרט לכך היא‬ ‫זהה למטריצה המלאה ‪. Aa‬‬ ‫‪ A‬נקראת מטריצת הפגיעה המצומצמת - ‪.Reduced Incidence Matrix‬‬ ‫לגבי ‪:KVL‬‬ ‫)צומת 4 נבחר כצומת‬ ‫מכיוון שהפוטנציאל הוא גודל יחסי, ניתן לקבוע 0 = 4‪e‬‬ ‫הייחוס(. במקרה זה ניתן למחוק את 4‪e‬‬ ‫ומתקבל:‬ ‫ואת העמודה המתאימה לו מהמשוואות‬ ‫1 −‪‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‪‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1−‬ ‫1−‬ ‫1‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ v1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ e1 v2 ‬‬ ‫‪e = v ‬‬ ‫‪ 2 3‬‬ ‫‪ e3 v4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ v5 ‬‬ ‪‬‬ ‫כלומר:‬ ‫‪AT e = v‬‬ ‫‪ v‬זהה‬ ‫הוא עכשיו וקטור הפוטנציאלים בצמתים פרט לצומת הייחוס.‬ ‫כאשר ‪e‬‬ ‫לקודם.‬ ‫2-8‬ ‫פר ק 2: הרשת כגרף וחוקי קירכהוף‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫לסיכום – קיבלנו את ההצגה המצומצמת של חוקי קירכהוף :‬ ‫)4.2(‬ ‫)5.2(‬ ‫: ‪KCL‬‬ ‫: ‪KVL‬‬ ‫0 = ‪Ai‬‬ ‫‪AT e = v‬‬ ‫כאש ר ‪ A‬הינה מטריצת הפגיעה המצומצמת, המתקבלת מ- ‪ Aa‬על ידי מחיקת‬ ‫השורה המתאימה לצומת הייחוס .‬ ‫דוגמה נוספת :‬ ‫1‬ ‫5‪i‬‬ ‫2‬ ‫1‪i‬‬ ‫4‪i‬‬ ‫2‪i‬‬ ‫6‪i‬‬ ‫3‪i‬‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫ענפים‬ ‫)6( )5( )4( )3( )2 ( )1(‬ ‫‪ 1 0 0 −1 1 0 ‬‬ ‫‪ 0 − 1 0 0 − 1 − 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Aa = ‬‬ ‫‪ 0 1 −1 1 0 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− 1 0 1 0 0 1 ‬‬ ‫)1(‬ ‫)2 (‬ ‫צמתים‬ ‫)3(‬ ‫)4 (‬ ‫נבחר א ת צומת )2( כצומת ייחוס ונקבל :‬ ‫2-9‬ ‫פרק 2: הרשת כגרף וחוקי קירכהוף‬ ‫הרצאות בחשמל 'מ‬ 1 A= 0 −1 0 0 −1 1 −1 1 0 10 1 0 0 0 0 1 :‫חוקי קירכהוף המתקבלים‬ KCL : i1 i 0 2 i 0 3 = 0 i 1 4 i 5 i 6 1 0 0 −1 1 0 KVL : 0 1 −1 1 0 0 − 1 v1 0 v2 e1 v 1 e3 = 3 0 v4 e4 0 v5 v 1 6 1 0 −1 0 0 −1 1 −1 1 010 1 0 0 10-2 ‫פר ק 2: הרשת כגרף וחוקי קירכהוף‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫מספר המתחים והזרמים הבלתי תלויים‬ ‫נשאל ת‬ ‫3.2‬ ‫חוק הזרמים של קירכהוף קובע אילוצים לינאריים על הזרמים ברשת.‬ ‫השאלה: מה מספר הזרמים הבלתי תלויים ברשת – דהיינו מספר הזרמים אותם נית ן‬ ‫לבחור כרצוננו, מבלי להפר את חוק קירכהוף, ואשר מתוכם נקבעים כל שא ר‬ ‫הזרמי ם ?‬ ‫נעיר כי מנקודת ראות של אלגברה ליניארית, חוקי קירכהוף מגבילים את וקטור‬ ‫הזרמים לתת- מרחב ליניארי. מספר הזרמים הבלתי- תלויים אינו אלא דרגת תת-‬ ‫מרחב זה.‬ ‫שאלה דומה נשאל לגבי המתחים.‬ ‫נדון ברשת חשמלית כלשהי המתוארת על ידי גרף קשור. כאמור, אין צורך בדיון‬ ‫כללי יותר, כי אם הגרף אינו קשור מדובר ברשתות שונות, ואז ניתן לדון בכל רש ת‬ ‫בנפרד .‬ ‫נזכיר כי ‪ N‬הוא מספר הצמתים, ואיל ו ‪ B‬הוא מספר הענפים.‬ ‫טענה א': מספר המתחים הבלתי תלויים ברשת הו א 1-‪.N‬‬ ‫ברור כי ניתן לאלץ מתחים רצוניים בענפי העץ‬ ‫נבחר עץ פורש כלשהו.‬ ‫הוכחה:‬ ‫)למשל על ידי הכנסת מקורות מתח אידיאליים בענפים אלה(. לא תהיה סתירה ל-‬ ‫‪ KVL‬כי בעץ אין חוג.‬ ‫מצד שני, אין יותר מתחים בלתי תלויים, כי המתח בקישורים מאולץ על ידי מתח י‬ ‫ענפי העץ ועל ידי ‪ .KVL‬לכן הטענה נכונה.‬ ‫טענה ב': מספר הזרמים הבלתי- תלויים ברשת הו א 1+‪.B-N‬‬ ‫הוכחה: נבחר עץ פורש כלשהו ברף. בשלב זה, בענפי העץ זרם אפס. ברור כי‬ ‫ניתן לאלץ זרמים כרצוננו בקישורים )למשל על ידי הכנסת מקורות זרם אידיאליי ם‬ ‫בענפים אלה(. אין סתירה ל- ‪ KCL‬כי לכל צומת מחובר גם לפחות ענף עץ אחד )כל‬ ‫קישור יוצר חוג(. מצד שני, לא יכולים להיות יותר זרמים בלתי- תלויים. כדי לראו ת‬ ‫זאת, נאלץ זרמים אפס בקישורים על ידי כך שנפתח אותם. זה אינו משאיר שו ם‬ ‫מסלול סגור ברשת ואז אין יותר זרם בשום ענף. לכן הטענה נכונה .‬ ‫2-11‬ ‫פר ק 2: הרשת כגרף וחוקי קירכהוף‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫הערה: אנו מניחים כמובן כי המתחים והזרמים ברשת מקיימים את חוקי קירכהוף.‬ ‫הרשתות הבאות סותרות לכאורה את הטענות )ואת חוקי קירכהוף( :‬ ‫2‪A‬‬ ‫3‪A‬‬ ‫01 ‪A‬‬ ‫4‪V‬‬ ‫5‪V‬‬ ‫3‪V‬‬ ‫הסבר : הרשתות האלה אינן פיסיקליות. הדבר קשור לעובדה שמקורות אידיאלים‬ ‫לא קיימים .‬ ‫‪A‬‬ ‫דרגת מטריצת הפגיעה‬ ‫4.2‬ ‫ראינו כי חוק הזרמים של קירכהו ף )‪ (KCL‬ניתן לביטוי בצורה:‬ ‫0 = ‪A⋅i‬‬ ‫‪ , ( N − 1) × B‬ואיל ו ‪ i‬הינו וקטור‬ ‫כאש ר ‪ A‬היא מטריצת הפגיעה המצומצמת, במימ ד‬ ‫זרמי הענפים .‬ ‫ביטוי זה כולל )1-‪ , (N‬משוואות לינאריות סקלריות. נשאלת השאלה:‬ ‫האם משוואות אלו בלתי תלויות?‬ ‫או, באופן שקול :‬ ‫האם דרגת השורות ש ל ‪ A‬היא מלאה ?‬ ‫2-21‬ ‫פרק 2: הרשת כגרף וחוקי קירכהוף‬ ‫הרצאות בחשמל 'מ‬ ‫התשובה נתונה במשפט הבא:‬ ‫משפט: דרגת השורות של המטריצה ‪ A‬המתאימה לגרף קשור היא מלאה דהיינו‬ ‫,‬ ‫)1-‪.(N‬‬ ‫הוכחה: )בדרך השלילה(.‬ ‫נסמן ב- ‪ Ak‬את השורה ה- ‪ k‬של ‪ , A‬כאשר 1 − ‪ . 1 ≤ k ≤ N‬נניח בשלילה כי קיימת‬ ‫תלות ליניארית בין שורות אלו. כלומר קיימים קבועים ‪ , γ k‬שאינם כולם אפס, כך ש:‬ ‫‪∑γ‬‬ ‫1= ‪k‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪k‬‬ ‫0 = ‪Ak‬‬ ‫נתבונן בגרף כשהוא מחולק כך:‬ ‫הצמתים‬ ‫בעלי‬ ‫‪r‬‬ ‫הצמתים הנותרים –‬ ‫שהם הצמתים בעלי‬ ‫וכן צומת הייחוס‬ ‫ברור כי שתי קבוצות צמתים אלו אינן ריקות. מכיוון שהגרף קשור לפי הנחה, קיים‬ ‫לפחות ענף אחד, נניח ‪ ,r‬המקשר ביניהן.‬ ‫נזכור עתה, לפי הגדרת ‪ ,A‬כי העמודה של ‪ A‬המתאימה לענף ‪ r‬כוללת איבר 1(‬ ‫)+‬ ‫עבור צומת הסיום של הענף, ושאר‬ ‫קיים‬ ‫עבור צומת המוצא של הענף, איבר )-1(‬ ‫‪∑ γ k Ak‬‬ ‫‪k‬‬ ‫האיברים הינם 0. מכאן נובע כי בעמודה ‪ r‬של הצרוף הליניארי‬ ‫בדיוק מחובר אחד השונה מאפס. איבר זה אינו יכול להתבטל, ולכן הסכום שונה‬ ‫ל‬ ‫מאפס. בכך הוכח המשפט.‬ ‫בסעיף הקודם הראינו כי מספר הזרמים הבלתי תלויים ברשת הינו )-‪B‬‬ ‫הערה‬ ‫:‬ ‫1+‪ .(N‬המשפט האחרון עולה בקנה אחד עם טענה זו, ולמעשה שקול אליה: מספר‬ ‫2-31‬ ‫פרק 2: הרת כגרף וחוקי קירכהוף‬ ‫מבטא )1-‪ (N‬אילוצי ם בלתי תלויים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫זרמי הענפים הו א ‪ ,B‬ואילו חוק קירכהו ף 0 = ‪A i‬‬ ‫על זרמים אלה. לפיכך מספר הזרמים הבלתי תלויים הו א 1-‪.(B-(N‬‬ ‫2-41‬ ‫פר ק 2: הרשת כגרף וחוקי קירכהוף‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫הכללה לרכיבים מרובי-הדקים:‬ ‫5.2‬ ‫עד עתה התייחסנו לרכיבי מעגל בעלי שני הדקים. רכיבים חשובים רבים הינם מרוב י‬ ‫הדקים – למשל השנאי והטרנזיסטור המתוארים בציור :‬ ‫באופן כללי, לרכיב בן ‪ n‬הדקים קיימי ם ‪ n‬זרמי כניסה, ו- ‪ n‬מתחי הדקים:‬ ‫2‪e‬‬ ‫2‪i‬‬ ‫1‪i‬‬ ‫1− ‪in‬‬ ‫1− ‪en‬‬ ‫התקן‬ ‫1‪e‬‬ ‫‪in‬‬ ‫‪en‬‬ ‫כיצד ניתן לייצג התקן זה כגרף מכוון, לצורך כתיבת חוקי קירכהוף ?‬ ‫הפתרון: נבחר צומת אחת )למשל צומ ת ‪ ( n‬כצומת ייחוס, ונייצג את ההתקן ע"י תת-‬ ‫הגרף הבא :‬ ‫2‬ ‫2‪i‬‬ ‫1‬ ‫1-‪n‬‬ ‫1− ‪in‬‬ ‫1‪i‬‬ ‫2-51‬ ‫‪n‬‬ ‫פרק 2: הרשת כגרף וחוקי קירכהוף‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫0 = ‪ , i1 + i2 + ...in‬על מנת לבטל את הזרם ‪. i n‬‬ ‫השתמשנו פה במאזן הזרמים:‬ ‫הערה: פתרון שעשוי להיראות טבעי יותר הינו להגדיר את הגרף כך:‬ ‫2‬ ‫2‪i‬‬ ‫1‬ ‫1-‪n‬‬ ‫1− ‪in‬‬ ‫1‪i‬‬ ‫‪in‬‬ ‫‪n‬‬ ‫אולם צורה זו מוסיף צומת )ופוטנציאל( נוסף שאינם קיימים כמעגל המקורי, ולכן‬ ‫אינה רצויה.‬ ‫2-61‬ ‫פר ק 2: הרשת כגרף וחוקי קירכהוף‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫משפט טלגן )‪(Tellegen‬‬ ‫6.2‬ ‫משפט חשוב וכללי זה נובע ישירות משני חוקי קירכהוף. אנו מביאים אותו פה כד י‬ ‫להדגים את השימוש בניסוח המטריצי של חוקי קירכהוף לצורך הוכחה אלגנטי ת‬ ‫של תכונות רשתות חשמליות. בהמשך הקורס נחזור ונרחיב לגבי תכונות כלליו ת‬ ‫של רשתות .‬ ‫משפט: עבור רשת חשמלית בעל ת ‪ B‬ענפים, מתקיים‬ ‫‪∑v‬‬ ‫1= ‪k‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪k‬‬ ‫0 = ‪ik‬‬ ‫‪,Ai‬‬ ‫,0 =‬ ‫‪AT e = v‬‬ ‫הוכחה: מתוך חוקי קירכהוף :‬ ‫נובע מיידית כי‬ ‫‪∑v‬‬ ‫1= ‪k‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪k‬‬ ‫0 = ‪ik = v i = ( AT e ) i = e T Ai‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫מ.ש.ל.‬ ‫.‬ ‫‪v‬‬ ‫משפט זה אומר, במילים אחרות, כי הוקטו ר ‪ i‬מאונך לוקטו ר‬ ‫הוא הסכום האלגברי של ההספקים‬ ‫‪v i = ∑ v k ik‬‬ ‫‪T‬‬ ‫1= ‪k‬‬ ‫‪B‬‬ ‫באופן פיסיקלי, הסכו ם‬ ‫הנמסרים לכל ענף. המשפט מבטא את העובדה שסה"כ האנרגיה )ההספ ק‬ ‫החשמלי( הנוצרת או נצרכת בענפי הרשת הינו אפס. זהו לפיכך היבט של חו ק‬ ‫שימור האנרגיה .‬ ‫2-71‬ ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online