Chapter5 - ‫פרק 5 – ניתוח רשתות בשיטת...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫פרק 5 – ניתוח רשתות בשיטת הצמתים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫ניתוח רשתות בשיטת הצמתים‬ ‫,3.01 − 1.01 : ‪[ DK‬‬ ‫]1.5 : ‪CDK‬‬ ‫פרק 5:‬ ‫בפרק זה נתאר את שיטת הצמתים )‪ (Node Analysis‬לפתרון רשתות חשמליות. בשיטה זו‬ ‫אנו רושמים מערכת משוואות שבה הנעלמים היחידים הינם מתחי הצמתים ) ‪. ( e‬‬ ‫)‪( i , v‬‬ ‫זאת על ידי שימוש שיטתי בחוקי קירכהוף כדי לחלץ את שאר הנעלמים‬ ‫ממשוואות הרשת.‬ ‫אנו דנים ברשת נתונה, בעלת גרף קשור. כזכור, אין בכך הגבלת הכלליות, כי אם הרשת‬ ‫אינה קשורה ניתן להפרידה למספר רשתות ולנתח כל אחת בנפרד.‬ ‫5-1‬ ‫פרק 5 – ניתוח רשתות בשיטת הצמתים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫דוגמא – פיתוח ידני של משוואות הצמתים‬ ‫1.5‬ ‫נתבונן ברשת מהפרק הקודם:‬ ‫1‬ ‫2‪i‬‬ ‫2‪R‬‬ ‫2‬ ‫4‪i‬‬ ‫4‪R‬‬ ‫3‬ ‫1‪R‬‬ ‫3‪R‬‬ ‫3‪i‬‬ ‫5‪R‬‬ ‫5‪i‬‬ ‫4‬ ‫‪vs5 = 1 Volt‬‬ ‫‪is1 = 2 A‬‬ ‫1‪i‬‬ ‫צומת הייחוס‬ ‫‪. G1 = 2mho; G 2 = 1mho; G3 = 3mho ; G 4 = 1mho; G 5 = 1mho‬‬ ‫נתון:‬ ‫מטרתנו לרשום משוואה עבור כל צומת )פרט לצומת הייחוס(, המבטאת את מאזן הזרמים‬ ‫בצומת כתלות במתחי הצמתים ‪. e‬‬ ‫נתחיל בצומת )1(. לפי ‪: KCL‬‬ ‫)1.5(‬ ‫)2.5(‬ ‫0 = 2‪i1 + i‬‬ ‫כמו כן, מתוך משוואות הענפים הקשורים לצומת זה:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‪i1 = G1 v1 + i s‬‬ ‫2‪i 2 = G 2 v‬‬ ‫ומתוך ‪:KVL‬‬ ‫)3.5(‬ ‫1‪v1 = e‬‬ ‫2 ‪v 2 = e1 − e‬‬ ‫הצבת )3.5( בתוך )2.5(, ולאחר מכן )2.5( בתוך )1.5(, נותנת‬ ‫0 = ) 2‪( G1e1 + i s1 ) + G2 ( e1 − e‬‬ ‫ולאחר סידור איברים:ּ‬ ‫)4.5(‬ ‫1‪( G1 + G2 ) e1 − G2 e2 = −is‬‬ ‫בצומת )2( ניתן לקבל, באופן דומה‬ ‫5-2‬ ‫פרק 5 – ניתוח רשתות בשיטת הצמתים‬ ‫)5.5(‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫0 = 3‪− G2 e1 + ( G2 + G3 + G4 ) e2 − G4 e‬‬ ‫לגבי צומת )3(, נצא מהמשוואות:‬ ‫0 = 5‪− i4 + i‬‬ ‫4‪i 4 = G 4 v‬‬ ‫;‬ ‫3‪v4 = e 2 − e‬‬ ‫;‬ ‫3 ‪v5 = e‬‬ ‫ונקבל:‬ ‫)6.5(‬ ‫5 ‪i 5 = G 5 ( v5 − v s 5 ) = G 5 v 5 − G 5 v s‬‬ ‫5 ‪− G 4 e 2 + ( G 4 + G5 ) e3 = G 5 v s‬‬ ‫קיבלנו 3 משוואות – משוואה לכל צומת )פרט לצומת הייחוס(, שניתן לסכמן כך:‬ ‫, 2‪− G‬‬ ‫0‬ ‫, 2 ‪G1 + G‬‬ ‫‪‬‬ ‫, ‪ −G‬‬ ‫, 4 ‪G 2 + G3 + G‬‬ ‫‪− G4 ‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫,0 ‪‬‬ ‫, 4‪− G‬‬ ‫‪G 4 + G5 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ e1 ‬‬ ‫‪ − i s1 ‬‬ ‫‪e = 0 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e3 ‬‬ ‫‪G5 v s 5 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫אילו הן משוואות הצמתים. פתרון משוואות אילו ייתן את מתחי הצמתים, ומתוכם ניתן‬ ‫לחשב בקלות את שאר משתני הרשת.‬ ‫הצבת הנתונים המספריים במשוואת הצמתים נותנת:‬ ‫‪0 e1 ‬‬ ‫1− 3 ‪‬‬ ‫‪− 2‬‬ ‫1−‪‬‬ ‫‪5 − 1 e 2 = 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1− 0 ‪‬‬ ‫] ‪ 1 [ Amp‬‬ ‫‪2 e3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ e1 − 0.68‬‬ ‫‪e = − 0.04‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫] ‪ e3 0.48 [Volt‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫⇒‬ ‫5-3‬ ‫פרק 5 – ניתוח רשתות בשיטת הצמתים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫פיתוח משוואות הצמתים‬ ‫2.5.‬ ‫בסעיף זה נפתח את משוואות הצמתים לרשת כללית, תוך שימוש בכתיב מטריצי.‬ ‫אנו מניחים כי הרשת אינה כוללת מקורות מתח אידיאליים )‬ ‫הנחה:‬ ‫∞ ≠ ‪ G k‬לכל ענף ‪.( k‬‬ ‫בהמשך נראה כיצד ניתן לטפל גם במקרה זה.‬ ‫משוואות הענפים:‬ ‫נניח כי כל ענף ברשת נתון בצורה הקנונית הבאה, שהגדרנו בפרק 3:‬ ‫+‬ ‫‪Rk‬‬ ‫‪vsk‬‬ ‫‪isk‬‬ ‫‪Gk = 1 / Rk‬‬ ‫−‬ ‫לצורך שיטת הצמתים, נשתמש בצורה הבאה של משוואת האופין:‬ ‫)7.5(‬ ‫) ‪i k = G k v k + (i sk − G k v sk‬‬ ‫בצורה מטריצית )עבור הרשת כולה(‬ ‫)8.5(‬ ‫) ‪i = G v + ( i s − G vs‬‬ ‫כאשר:‬ ‫מטריצה אלכסונית, שבה איברי האלכסון הם מוליכויות הענפים:‬ ‫} ‪. G = diag{ G1 , ... G B‬‬ ‫ווקטור מקורות המתח.‬ ‫ווקטור מקורות הזרם‬ ‫‪G‬‬ ‫‪vs‬‬ ‫‪is‬‬ ‫נשים לב כי ‪ v s , G‬ו- ‪ i s‬הינם גדלים ידועים.‬ ‫5-4‬ ‫פרק 5 – ניתוח רשתות בשיטת הצמתים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫פיתוח משוואות הצמתים:‬ ‫נצא ממשוואות הענפים )8.5(, בתוספת חוקי קירכהוף המבוטאים באמצעות מטריצת‬ ‫הפגיעה המצומצמת ‪:A‬‬ ‫5-5‬ ‫פרק 5 – ניתוח רשתות בשיטת הצמתים‬ ‫:‪:KVL‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫‪, v = A T e .KCL‬‬ ‫נכפול את שני האגפי משוואה )8.5( ב- ‪: A‬‬ ‫0= ‪Ai‬‬ ‫) ‪A i = AG v + A( i s − G v s‬‬ ‫מתוך ‪ ,KCL‬אגף שמאל מתאפס: . 0 = ‪ A i‬באגף ימין נציב את ‪ v‬מתוך ‪ KVL‬ונקבל:‬ ‫) ‪0 = AGAT e + A (i s − G v s‬‬ ‫) ‪( AGAT )e = A(G v s − i s‬‬ ‫קיבלנו את המשוואה הבאה:‬ ‫)9.5(‬ ‫‪Yn e = i sn‬‬ ‫כאשר‬ ‫) ‪i sn := A(G vs − i s‬‬ ‫הוא "וקטור מקורות הצמתים", ואילו‬ ‫‪Yn := AGAT‬‬ ‫היא מטריצת אדמיטנס הצמתים )‪ ;(Node Admittance Matrix‬ה- ‪ n‬מסמן "‪."node‬‬ ‫נציין כי ‪ Yn‬היא מטריצה סימטרית מדרגה . )1 − ‪ ( N − 1) × ( N‬הסימטריה נובעת מזו של‬ ‫המטריצה האלכסונית ‪ , G‬ומתקבלת מהחישוב:‬ ‫‪T‬‬ ‫‪Yn = ( AGAT ) T = AT‬‬ ‫‪( )T G T AT = AGAT = Yn‬‬ ‫בתנאים "סבירים", שיפרטו להלן, המטריצה ‪ Yn‬הינה מדרגה מלאה )לא סינגולרית(.‬ ‫לפיכך, פתרון משוואת הצמתים )9.5( ייתן את וקטור מתחי הצמתים:‬ ‫‪e = Yn−1i sn‬‬ ‫לאחר מציאת ‪ e‬ניתן למצוא את ‪ v‬ו- ‪: i‬‬ ‫)01.5(‬ ‫)11.5(‬ ‫)‪(KVL‬‬ ‫)משוואות הענפים(‬ ‫‪v = AT e‬‬ ‫‪i = G v + i s − G vs‬‬ ‫5-6‬ ‫פרק 5 – ניתוח רשתות בשיטת הצמתים‬ '‫הרצאות בחשמל מ‬ :‫דוגמא: נתבונן שוב בדוגמא מהסעיף הקודם. מנתוני הרכיבים‬ G1 2 2 0 0 0 0 G1 0 = 0 i s = 0 , vs = 0 , G = G1 0 G1 0 0 0 0 1 G5 0 0 1 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 :‫מטריצת הפגיעה המצומצמת המתאימה לגרף הרשת‬ 1 1 0 0 0 A = 0 − 1 1 1 0 0 0 0 − 1 1 :‫לפיכך‬ i sn 0 2 1 1 0 0 0 0 0 − 2 = A(G v s − i s ) = 0 − 1 1 1 0 ( 0 − 0 ) = 0 0 0 0 − 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 2 1 0 0 0 1 − 1 0 3 − 1 0 Yn = ( AG ) AT = 0 − 1 3 1 0 0 1 0 = − 1 5 − 1 0 0 0 − 1 1 0 1 − 1 0 − 1 2 0 0 1 :‫ הינה, בהתאם‬Yn e = i sn ‫משוואה הצמתים‬ 3 −1 0 −1 5 −1 0 − 1 2 e1 − 2 e = 0 2 e3 1 [ Amp ] :‫המשוואה נותן‬ ‫)השווה משוואה זו עם המשוואה שקיבלנו בפיתוח הידני מהסעיף הקודם!( . פתרון‬ 7-5 ‫פרק 5 – ניתוח רשתות בשיטת הצמתים‬ '‫הרצאות בחשמל מ‬ e1 e 2 e3 − 0.68 = − 0.04 0.48 [Volt ] :‫כמו כן‬ − 0.68 0.64 − 0.64 − 0.64 v = AT e = − 0.04 ; i = G v + i s − G v s = − 0.12 − 0.52 − 0.52 0.48 − 0.52 [Volt ] [ Amp ] 8-5 ‫פרק 5 – ניתוח רשתות בשיטת הצמתים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫3.5‬ ‫רישום משוואות הצמתים על ידי התבוננות‬ ‫ניתנת לרישום ישיר מתוך‬ ‫נראה עתה כי מערכת משוואת הצמתים, ‪, Yn e = i sn‬‬ ‫חשמלית.‬ ‫"התבוננות" במעגל. דרך זו היא הפשוטה והנוחה ביותר לניתוח ידני של רשת‬ ‫המרת מקורות: צעד מקדים שלעיתים נוח לעשות הוא החלפת מקורות המתח‬ ‫במקורות זרם לפי הטרנספורמציה הבאה:‬ ‫‪Rs‬‬ ‫= ‪is‬‬ ‫‪vs‬‬ ‫‪vs‬‬ ‫‪Rs‬‬ ‫‪Rs‬‬ ‫זוהי כמובן התמרת מקור המתח בשקול נורטון שלו, כפי שראינו בפרק 3.‬ ‫לאחר המרת כל מקור מתח ‪ vsk‬במקור זרם, משוואת הצמתים )9.5( הינה:‬ ‫)21.5(‬ ‫‪Yn e = i sn‬‬ ‫‪Yn = AGAT , i sn = − Ai s‬‬ ‫כאשר‬ ‫טענה: מערכת משוואות הצמתים )21.5( זהה למערכת המשוואות הבאה:‬ ‫)31.5(‬ ‫‪ y11 y12 y1n e1 is1 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ e2 is 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ = ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ y n1 y n 2 y nn en isn ‬‬ ‫)1 − ‪( n = N‬‬ ‫כאשר:‬ ‫איברי האלכסון:‬ ‫‪.k‬‬ ‫‪ y kk‬הוא סכום כל המוליכויות של הענפים המתחברים לצומת‬ ‫מחוץ לאלכסון: ‪ , k ≠ l , y kl‬הוא מינוס סכום המוליכויות של הענפים המקשרים‬ ‫ישירות בין צומת ‪ k‬לבין צומת ‪. l‬‬ ‫5-9‬ ‫פרק 5 – ניתוח רשתות בשיטת הצמתים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫‪ isk‬הוא סכום כל מקורות הזרם )כולל מקורות מתח מותמרים( הנכנסים לצומת‬ ‫ה- ‪. k‬‬ ‫הגדרות אילו מודגמות באיורים הבאים:‬ ‫1‪G‬‬ ‫1‪G‬‬ ‫2‪G‬‬ ‫3‪G‬‬ ‫‪k‬‬ ‫2‪G‬‬ ‫3‪G‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪k‬‬ ‫3‪y kl = −G1 − G2 − G‬‬ ‫3‪y kk = G1 + G2 + G‬‬ ‫1‪is‬‬ ‫2 ‪is‬‬ ‫3‪isk = −is1 + is 2 + G3 vs‬‬ ‫‪k‬‬ ‫3‪R‬‬ ‫3 ‪vs‬‬ ‫‪T‬‬ ‫הוכחת הטענה: נחשב ראשית את איברי המטריצה ‪. Yn = AGA‬‬ ‫בחישוב ישיר:‬ ‫∑ = ‪y ij‬‬ ‫1= ‪k‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪∑a‬‬ ‫1=‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ik‬‬ ‫‪Gk a j‬‬ ‫‪ , Gk = Gk δ k‬ולכן‬ ‫= ‪y ij‬‬ ‫‪ G‬מטריצה אלכסונית, כלומר‬ ‫.‬ ‫‪∑a‬‬ ‫1= ‪k‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ik‬‬ ‫‪Gk a jk‬‬ ‫נזכור כי:‬ ‫5-01‬ ‫פרק 5 – ניתוח רשתות בשיטת הצמתים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1 − ‪aij = ‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫יוצא מ − ‪i‬‬ ‫נכנס ל − ‪i‬‬ ‫פוגשאת ‪i‬‬ ‫לא‬ ‫הענף ה − ‪j‬‬ ‫הענף ה − ‪j‬‬ ‫הענף ה − ‪j‬‬ ‫‪j=i‬‬ ‫מקרה 1:‬ ‫= ‪y ii‬‬ ‫) ‪∑(a‬‬ ‫1= ‪k‬‬ ‫‪ik‬‬ ‫‪B‬‬ ‫2‬ ‫‪Gk‬‬ ‫2‬ ‫) ‪ ( a ik‬הינו 1 אם הענף ה- ‪ k‬פוגע בצומת ‪) i‬נסמן ‪ ,( k ↔ i‬ואפס אחרת. נקבל,‬ ‫כנדרש:‬ ‫‪yii =∑ k‬‬ ‫‪G‬‬ ‫↔‪k‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i≠ j‬‬ ‫= ‪y ij‬‬ ‫מקרה 2:‬ ‫‪∑a‬‬ ‫1= ‪k‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ik‬‬ ‫‪Gk a jk‬‬ ‫‪ aik a jk‬יהיה )-1( אם הענף ה- ‪ k‬פוגע בצומת ‪ i‬וגם בצומת ‪ , j‬ואפס אחרת. לפי‬ ‫כך מתקבל גם פה הביטוי הנדרש.‬ ‫לגבי וקטור הזרמים ‪ : i sn‬כאמור, לאחר התמרת מקורות המתח למקורות זרם‬ ‫יישאר הביטוי ‪ , i sn = − Ai s‬כלומר:‬ ‫‪( i sn ) k‬‬ ‫−=‬ ‫‪∑a‬‬ ‫1= ‪j‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪kj‬‬ ‫‪i sj‬‬ ‫ולפי הגדרת ‪ a kj‬מתקבל הביטוי הנדרש.‬ ‫'.‬ ‫נציין שוב כי מערכת המשוואות )31.5( הינה מערכת של ‪ n‬משוואות, עבור‬ ‫1 − ‪ n := N‬מתחי הצמתים )פרט לצומת הייחוס(.‬ ‫משוואות אלו ניתנות לרישום ישיר, על ידי התבוננות במעגל ושימוש בכללים‬ ‫שניתנו לעיל עבור איברי המטריצה.‬ ‫5-11‬ ‫פרק 5 – ניתוח רשתות בשיטת הצמתים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫קיום ויחידות הפתרון‬ ‫4.5‬ ‫על מנת שיובטח קיום ויחידות הפתרון למשוואת הצמתים ‪ , Yn e = i sn‬נדרש כי‬ ‫מטריצת אדמיטנס הצמתים ‪)ׁ Yn‬שהיא מטריצה ריבועית( תהיה לא-סינגולרית.‬ ‫כעקרון, תכונה זו תובטח באם אין במעגל ענפים בעלי מוליכויות שליליות. בשתי‬ ‫הטענות הבאות נתאר תנאי זה ביתר דיוק.‬ ‫טענה: הנח כי כל ענפי הרשת הינם בעלי מוליכות חיובית ממש )0 > ‪ . ( Gk‬אזי‬ ‫‪ Yn‬הינה לא-סינגולרית.‬ ‫‪ G‬הינה מטריצה אלכסונית, ולפי ההנחה כל‬ ‫‪T‬‬ ‫הוכחה: נזכור כי ‪. Yn = AGA‬‬ ‫איברי האלכסון חיוביים ממש. לגבי המטריצה ‪ , A‬הראינו בפרק 2 כי היא בעלת‬ ‫דרגת שורות מלאה. מצרוף שתי עובדות אלו ניתן להראות כי ‪ Yn‬אינה סינגולרית.‬ ‫דרך אחת להוכיח זאת הינה:‬ ‫ראשית נראה כי התבנית הריבועית ‪ x T Yn x‬הינה חיובית לכל 0 ≠ ‪ . x‬לשם‬ ‫כך נשים לב כי 0 ≠ ‪ y = AT x‬עקב כך ש- ‪ A‬בעלת דרגת שורות מלאה.‬ ‫עתה,‬ ‫= ‪x T Yn x = x T A G AT x = y T Gy‬‬ ‫א.‬ ‫(‬ ‫()‬ ‫)‬ ‫) ‪∑G ( y‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫2‬ ‫0>‬ ‫ב.‬ ‫מ- )א( נובע מיידית כי ‪ Yn‬אינה סינגולרית )מדוע?(‬ ‫'.‬ ‫לרוע המזל, התנאי האחרון אינו כולל את המקרה החשוב של ענפים שהם מקורות‬ ‫במקרה זה ניתן להשתמש בטענה הבאה, שהיא‬ ‫זרם אידיאליים, עבורם 0 = ‪. Gk‬‬ ‫כללית יותר:‬ ‫משפט: נתבונן ברשת קשורה, הכוללת ענפים בעלי מוליכות חיובית ממש, וכן‬ ‫מקורות זרם אידיאליים )בעלי 0 = ‪ .( Gk‬נניח כי מקורות הזרם האידיאליים במעגל‬ ‫אינם יוצרים קבוצת חיתוך )כך שאינם מפרים את חוק קירכהוף(.‬ ‫אזי המטריצה ‪ Yn‬הינה בלתי-סינגולרית.‬ ‫לפי הגדרתה, המטריצה ‪ Yn‬אינה תלויה בערכי מקורות‬ ‫הוכחה )סקיצה(:‬ ‫הזרם.‬ ‫לפיכך היא תהיה זהה לזו המתקבלת ברשת שבה נקבע את ערכי כל‬ ‫5-21‬ ‫פרק 5 – ניתוח רשתות בשיטת הצמתים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫מקורות הזרם לאפס, או באופן אקוויוולנטי, נמחוק את כל הענפים הכוללים‬ ‫מקורות זרם אידיאליים. אולם תת הגרף המתקבל ממחיקה זו יישאר קשור )לפי‬ ‫ההנחה במשפט לגבי מקורות הזרם(, ויקיים את הדרישות של התוצאה הקודמת‬ ‫'.‬ ‫כאשר קיימת במעגל מוליכות שלילית, המטריצה ‪ Yn‬עשוייה להיות סינגולרית )אם‬ ‫כי גם אז לרוב לא תהיה כזו(. להלן דוגמא פשוטה לכך:‬ ‫דוגמא נגדית: )מוליכות שלילית(‬ ‫1‬ ‫‪-2 mho‬‬ ‫‪4 mho‬‬ ‫2‬ ‫‪4 mho‬‬ ‫0‬ ‫4‪‬‬ ‫2 − 0‪‬‬ ‫‪G=‬‬ ‫0‪‬‬ ‫0‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫‪0‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪, A=‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 − 1 − 1‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪Yn = AGAT = ‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫זוהי מטריצה סינגולרית.‬ ‫5-31‬ ‫פרק 5 – ניתוח רשתות בשיטת הצמתים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫מקורות מתח אידיאליים‬ ‫5.5‬ ‫עד כה הגבלנו עצמנו לרשתות שאין בהן מקורות מתח אידיאליים, כלומר הנחנו כי‬ ‫מקורות המתח מופיעים תמיד בטור להתנגדות. כפי שראינו, מקורות אלה ניתנים‬ ‫להמרה למקורות זרם. שיטת הניתוח לפי צמתים מאפשרת טיפול במקורות זרם‬ ‫כלשהם )עם או בלי נגדים במקביל(, אך היא אינה מאפשרת טיפול במקורות מתח‬ ‫אידיאליים כי עבורם אין אפשרות לבצע את ההמרה.‬ ‫פתרון אפשרי לבעיה הינו "הזזת" מקורות מתח אידיאליים לענפים אשר כוללים‬ ‫התנגדות שונה מאפס, באופן שלא ישפיע על שאר המעגל. פעולה זו מודגמת‬ ‫בציור הבא:‬ ‫3‬ ‫2‪i‬‬ ‫1‪i‬‬ ‫‪vs‬ ‫2‬ ‫2‪i‬‬ ‫3‬ ‫1‬ ‫‪vs‬‬ ‫1‬ ‫3‪i‬‬ ‫4‬ ‫‪vs‬‬ ‫3‪i‬‬ ‫4‬ ‫נקל לראות כי 2 המעגלים שקולים כל עוד לא מתעניינים בענף 1 בין צמתים 1 ו- 2.‬ ‫הצדקה:‬ ‫אותו‬ ‫פוטנציא‬ ‫5-41‬ ‫פרק 5 – ניתוח רשתות בשיטת הצמתים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫דוגמא:‬ ‫1‪G‬‬ ‫3‪G‬‬ ‫2‪G‬‬ ‫‪vs‬‬ ‫4‪G‬‬ ‫‪vs‬‬ ‫5‪G‬‬ ‫6‪G‬‬ ‫7‪G‬‬ ‫01‪G‬‬ ‫8‪G‬‬ ‫9‪G‬‬ ‫בטול מקורות מתח אידיאליים )הזזה(‬ ‫1‪G‬‬ ‫2‪G‬‬ ‫‪vs‬‬ ‫‪vs‬‬ ‫6‪G‬‬ ‫7‪G‬‬ ‫01‪G‬‬ ‫המרה למקורות זרם:‬ ‫3‪G‬‬ ‫4‪G‬‬ ‫5‪G‬‬ ‫‪vs‬‬ ‫‪vs‬‬ ‫8‪G‬‬ ‫9‪G‬‬ ‫1‪G‬‬ ‫3‪G2 + G‬‬ ‫5‪G4 + G‬‬ ‫‪G 2 vs‬‬ ‫‪G6 v s‬‬ ‫‪G5 vs‬‬ ‫‪G9 vs‬‬ ‫9‪G8 + G‬‬ ‫7‪G6 + G‬‬ ‫01‪G‬‬ ‫5-51‬ ‫פרק 5 – ניתוח רשתות בשיטת הצמתים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫סיכום שיטת הצמתים :‬ ‫6.5‬ ‫בפרק זה הצגנו את שיטת הצמתים עבור רשתות הכוללות מקורות מתח ומקורות‬ ‫זרם )בלתי תלויים(, והתנגדויות לינאריות.‬ ‫ענף סטנדרטי:‬ ‫+‬ ‫‪Rk‬‬ ‫‪vsk‬‬ ‫‪isk‬‬ ‫‪Gk = 1 / Rk‬‬ ‫−‬ ‫מקורות זרם אידיאליים )0 = ‪ ( Gk‬אינם מהווים בעיה.‬ ‫במקורות מתח אידיאליים ) ∞ = ‪ G R‬או 0 = ‪ ( Rk‬לא ניתן לטפל ישירות, ויש לבצע‬ ‫‪vs‬‬ ‫‪vs‬‬ ‫‪vs‬‬ ‫"הזזה":‬ ‫כעת נותרה רשת ללא מקורות מתח אידיאליים. בעזרת חוקי קירכהוף קיבלנו את‬ ‫משוואות הצמתים:‬ ‫‪Yn e = i sn‬‬ ‫כאשר‬ ‫מטריצה בגודל )1 − ‪. ( N − 1) × ( N‬‬ ‫‪Yn = AGAT‬‬ ‫‪:A‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ : G‬מטריצת המוליכויות )האדמיטנסים(.‬ ‫מטריצת הפגיעה המצומצמת.‬ ‫: וקטור מתחי הצמתים ביחס לצומת הייחוס.‬ ‫5-61‬ ‫פרק 5 – ניתוח רשתות בשיטת הצמתים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫) ‪, i sn = A(G vs − i s‬‬ ‫‪ : i sn‬וקטור של מקורות המוגדר על די‬ ‫כאשר ‪ i s , vs‬הם וקטורי מקורות המתח והזרם )הב"ת( שברשת.‬ ‫כאשר ‪ Yn‬הפיכה ניתן למצוא פתרון יחיד‬ ‫‪e = Yn−1 i sn‬‬ ‫ומכאן לחשב את ‪ v‬ואת ‪: i‬‬ ‫‪v = AT e‬‬ ‫;‬ ‫) ‪i = G v + ( i s − G vs‬‬ ‫ראינו כי במקום להכפיל מטריצות, ניתן לרשום את ‪ Yn‬ו- ‪ i sn‬מתוך הסתכלות.‬ ‫דיאגרמת הפתרון‬ ‫הזז מקורות מתח אידיאליים )אם יש צורך(‬ ‫המר את מקורות המתח למקורות זרם‬ ‫כתוב את ‪ i sn‬ואת , ‪ Yn‬מהתבוננות‬ ‫‪Yn e = i sn‬‬ ‫‪G , A , i s , vs‬‬ ‫בנה את‬ ‫חשב‬ ‫) ‪i sn = A(G vs − i s‬‬ ‫‪Yn = AGAT‬‬ ‫פתור‬ ‫חשב‬ ‫‪v = AT e‬‬ ‫‪i = G v + i s − G vs‬‬ ‫חזור מהענפים המומרים לענפים פיזיקליים שהופיעו ברשת המקורות, וחשב את‬ ‫כל הנדרש עבורם.‬ ‫5-71‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 12/16/2010 for the course BIO 6785 taught by Professor Shuit during the Spring '10 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online