chapter17 - ‫71‬ ‫פרק‬ ‫זוגיים‬...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫71‬ ‫פרק‬ ‫זוגיים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫פרק 71: זוגיים )‪(Two-Ports‬‬ ‫זוגיים הם תת-רשת או רכיב עם שני זוגות הדקים חיצוניים:‬ ‫1+‬ ‫1‪v‬‬ ‫2-‬ ‫זוגיים‬ ‫רשת ללא מקורות‬ ‫ב" ת‬ ‫3‬ ‫+‬ ‫2‪v‬‬ ‫4‬ ‫-‬ ‫ייחוד הזוגיים הוא בחלוקת ההדקים לזוגות, כך שבכל זוג הזרם הנכנס בהדק אחד‬ ‫זהה לזרם היוצא בהדק השני. נציין כי תכונה זו יכולה לנבוע מהמבנה הפנימי של‬ ‫המעגל )למשל בשנאי(, או מאופן החיבור של הזוגיים לשאר הרשת. תיאור כזה‬ ‫של רשת יכול לשמש לתיאור אלמנטים פשוטים כמו שנאי וטרנזיסטור וגם רשתות‬ ‫מורכבות כמו מגברים מסננים וקווי תמסורת. זוגות ההדקים מכונים בדרך כלל זוג‬ ‫כניסה וזוג יציאה. להדקים אלה ניתן לחבר מקורות הזנה, עומסים או רשתות‬ ‫אחרות.‬ ‫בפרק זה נתמקד בזוגיים המתארים רשת לינארית ללא מקורות בלתי תלויים.‬ ‫נציג שיטות לתיאור וניתוח רשתות אילו.‬ ‫תאור רשת זוגיים‬ ‫נניח תחילה כי הרשת כוללת רכיבים לזרם ישר בלבד )נגדים ומקורות תלויים(,‬ ‫נזכור כי אנו דנים ברשת לינארית ללא מקורות בלתי תלויים, במקרה זה נוכל‬ ‫לרשום )מלינאריות(:‬ ‫2‪v1 = z11i1 + z12 i‬‬ ‫2 ‪v 2 = z 21i1 + z 22 i‬‬ ‫קשר זה ניתן לרשום בקיצור כדלקמן:‬ ‫11‪ v1 z‬‬ ‫‪v = z‬‬ ‫12 ‪ 2 ‬‬ ‫‪z12 ‬‬ ‫‪z 22 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ i1 ‬‬ ‫‪i ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫;‬ ‫‪v = Z TP i‬‬ ‫המטריצה ‪ Z TP‬נקראת מטריצת אימפדנס הריקם של הזוגיים.‬ ‫1‬ ‫71‬ ‫פרק‬ ‫זוגיים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫)‪. (OPEN CIRCUIT IMPEDANCE MATRIX‬‬ ‫הקשרים הבאים מסבירים את סיבה לשם אימפדנס הריקם:‬ ‫= 11‪z‬‬ ‫= 21‪z‬‬ ‫1‪v‬‬ ‫1‪i‬‬ ‫1‪v‬‬ ‫2‪i‬‬ ‫= 12 ‪; z‬‬ ‫0 = 2‪i‬‬ ‫2‪v‬‬ ‫1‪i‬‬ ‫2‪v‬‬ ‫2‪i‬‬ ‫0 = 2‪i‬‬ ‫= 22 ‪; z‬‬ ‫0 = 1‪i‬‬ ‫0 = 1‪i‬‬ ‫כאשר מטריצת אדמיטנס הצמתים )ראה שיטת צמתים(, השייכת לרשת הפנימית‬ ‫של הזוגיים, היא סימטרית, ניתן לראות כי הזוגיים יהיו הדדיים )‪.(RECIPROCAL‬‬ ‫12 ‪z12 = z‬‬ ‫) ‪YTP = ( Z TP‬‬ ‫1−‬ ‫זוגיים נקראים הדדיים כאשר מתקיים‬ ‫באופן דומה, נוכל לרשום את הזרמים כפונקציה של המתחים, כאשר‬ ‫11‪ i1 y‬‬ ‫‪i = y‬‬ ‫12 ‪ 2 ‬‬ ‫‪y12 ‬‬ ‫‪y 22 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ v1 ‬‬ ‫‪v ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫;‬ ‫‪i = YTP v‬‬ ‫המטריצה ‪ YTP‬נקראת מטריצת אדמיטנס הקצר של הזוגיים,‬ ‫) )‪,SHORT CIRCUIT ADMITTANCE MATRIX‬‬ ‫כפי שמתבטא בקשרים הבאים:‬ ‫= 11‪y‬‬ ‫1‪i‬‬ ‫1‪v‬‬ ‫;‬ ‫0 = 2‪v‬‬ ‫= 12 ‪y‬‬ ‫22 ‪y‬‬ ‫2‪i‬‬ ‫1‪v‬‬ ‫0 = 2‪v‬‬ ‫‪i‬‬ ‫1 = 21‪y‬‬ ‫2‪v‬‬ ‫;‬ ‫0 = 1‪v‬‬ ‫‪i‬‬ ‫2=‬ ‫2‪v‬‬ ‫0 = 1‪v‬‬ ‫הערה: ברשת זרם חילופין, קשרים אלה יכולים לשמש בייצוג פאזורי של הזרמים‬ ‫והמתחים.‬ ‫דוגמאות לזוגיים פשוטים:‬ ‫רשת ‪:T‬‬ ‫1‪R‬‬ ‫2‪R‬‬ ‫+‬ ‫1‪v‬‬ ‫-‬ ‫+‬ ‫2‪v‬‬ ‫-‬ ‫2‬ ‫3‪R‬‬ 17 ‫פרק‬ ‫זוגיים‬ v1 − i1 R1 = v 2 − i 2 R2 = ( i1 + i2 ) R3 '‫הרצאות בחשמל מ‬ R3 R1 + R3 R R3 3 z z z z R2 z+ z z z z zTP i1 v1 i = v 2 2 : Π ‫רשת‬ G3 + v1 G1 + G2 v2 - i1 − v1G1 = −( i2 − G2 v 2 ) = ( v1 − v 2 ) G3 − G3 G1 + G3 −G G z z 3z z G2z+ z z3 z z Y=p v1 i1 v = i 2 2 YTP :T ‫רשת גשר‬ R2 + v1 - R1 R1 + v2 - R3 v − v2 v1 − i1 − 1 R2 v − v2 R1 = v 2 − i2 + 1 R2 R1 = ( i1 + i2 ) R3 3 ‫71‬ ‫פרק‬ ‫זוגיים‬ ‫1‪ R‬‬ ‫‪1 + R‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫1‪R‬‬ ‫−‪‬‬ ‫2‪ R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R1 ‬‬ ‫‪R2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R1 ‬‬ ‫+1‬ ‫‪R2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫−‬ ‫3‪ v1 R1 + R‬‬ ‫‪v = R‬‬ ‫3‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪R3 ‬‬ ‫‪R1 + R3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫‪ i1 ‬‬ ‫‪i ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ v1 ‬‬ ‫2‪ R1 + R‬‬ ‫1‬ ‫‪v = ( R + 2 R ) R‬‬ ‫1‬ ‫‪ 2‬‬ ‫2‬ ‫‪1‬‬ ‫3‪R1 R1 + R‬‬ ‫3‪R1 + R2 R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R3 ‬‬ ‫‪R1 + R3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ i1 ‬‬ ‫‪i ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫=‬ ‫3‪( R1 + R2 ) ( R1 + R3 ) + R1 R‬‬ ‫1‬ ‫) 2‪R2 + 2 R1 R1 ( R1 + R3 ) + R3 ( R1 + R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R1 ( R1 + R3 ) + R3 ( R1 + R2 ) i1 ‬‬ ‫‪( R1 + R2 ) ( R1 + R3 ) + R1 R3 i2 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫מטריצת התמסורת של זוגיים‬ ‫בשימושים רבים מתענינים בתכונות התמסורת של הזוגיים,‬ ‫זה בזה.‬ ‫2‪{ v‬‬ ‫וערכי היציאה } 2 ‪, i‬‬ ‫, 1‪{ v‬‬ ‫כלומר – כיצד תלויים ערכי הכניסה } 1‪i‬‬ ‫נגדיר:‬ ‫‪v ‬‬ ‫; ‪x in = 1 ‬‬ ‫‪ i1 ‬‬ ‫‪v ‬‬ ‫‪x out = 2 ‬‬ ‫‪− i2 ‬‬ ‫זוגיים בטור.‬ ‫הערה: הגדרנו את הזרם ביציאה בכיוון הפוך על מנת להקל את החישוב בחיבור‬ ‫נחפש קשר מהצורה ‪ , x in = T x out‬או ביתר פירוט:‬ ‫‪v1 A B v 2 ‬‬ ‫‪A B‬‬ ‫‪T =‬‬ ‫‪ i = C D ⋅ − i ‬כאשר ‪‬‬ ‫‪C D ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫נפתח את הקשר בין פרמטרי התמסורת לבין פרמטרי האימפדנס.‬ ‫2‪v1 = z11i1 + z12 i‬‬ ‫2 ‪v 2 = z 21i1 + z 22 i‬‬ ‫4‬ 17 ‫פרק‬ ‫זוגיים‬ 1 − z11 0 z 21 v1 0 − z12 i = 1 z 22 1 z11 1 v2 − i 2 v2 − i 2 '‫הרצאות בחשמל מ‬ v1 1 z 21 i = z 0 1 21 1 z11 z 21 1 0 − z12 1 z 22 = − z 21 z12 + z11 z 22 z 22 v2 − i 2 :‫מכאן‬ A= C= z11 z z − z12 z 21 ; B = 11 22 z 21 z 21 z 1 ; D = 22 z 21 z 21 . z 21 = 0 ‫הערה: מטריצת התמסורת אינה מוגדרת אם‬ :T ‫חישוב הדטרמיננטה של‬ ∆ T = AD − BC = z11 z 22 z11 z 22 − z12 z 21 z12 − = 2 2 z 21 z 21 z 21 ‫ומכאן נקבל כי‬ ∆T = 1 ‫בזוגיים הדדיים :T ‫דוגמה: חישוב התמסורת עבור הדוגמה של גשר‬ :‫מהמעגל החשמלי קיבלנו בעזרת חוקי קירכהוף‬ v − v2 v1 − i1 − 1 R2 R1 1 + R 2 R1 R2 v − v2 R1 = v 2 − i2 + 1 R2 R1 v1 R2 i = R 1 1 + 1 R2 R1 = ( i1 + i2 ) R3 − R3 v 2 R1 + R3 − i 2 :‫ומכאן ניתן לחשב את פונקצית התמסורת כדלקמן‬ − ( R1 + R3 ) R3 5 17 ‫פרק‬ ‫זוגיים‬ '‫הרצאות בחשמל מ‬ R1 + R2 R 1 − ( R1 + R3 ) R2 v1 R1 i = R + R R2 R3 2 1 1 − R2 R3 v 2 ( R1 + R3 ) R2 − i2 ∆ = ( R1 + R2 ) R2 R3 + R1 R2 ( R1 + R3 ) = R2 R1 R3 + R2 R3 + R12 + R1 R3 = R2 R12 + 2 R1 R3 + R2 R3 v1 R2 R3 1 i = 2 1 R2 R1 + 2 R1 R3 + R2 R3 − R1 ( ) ( ) ( ) ( R1 + R3 ) R2 R1 + R2 R1 R + R 2 1 − R2 R3 ( R1 + R3 ) R2 v2 − i 2 :‫חיבור זוגיים בטור‬ + v1 - + T1 T2 v2 - ‫קל לבדוק כי עבור זוגיים המחוברים בטור )קסקדה( התמסורת השקולה הינה‬ ‫מכפלת התמסורות‬ T = T1T2 6 ‫71‬ ‫פרק‬ ‫זוגיים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫מעגלי תמורה של זוגיים‬ ‫מעגלי תמורה מתוך מטריצת האימפדנסים:‬ ‫+‬ ‫1‪v‬‬ ‫-‬ ‫11‪z‬‬ ‫2‪z12 i‬‬ ‫22 ‪z‬‬ ‫1‪z 21i‬‬ ‫+‬ ‫2‪v‬‬ ‫-‬ ‫כאשר יש חיבור בין ההדקים התחתונים של הכניסה והיציאה ניתן להציג גם באופן‬ ‫הבא:‬ ‫+‬ ‫1‪v‬‬ ‫-‬ ‫1‪z 22 − z12( z 21 − z12 ) i‬‬ ‫−‬ ‫21‪z‬‬ ‫+‬ ‫2‪v‬‬ ‫-‬ ‫מעגלי תמורה מתוך מטריצת האדמיטנסים:‬ ‫+‬ ‫1‪v‬‬ ‫‬‫+‬ ‫11‪y‬‬ ‫2 ‪y12 v‬‬ ‫1‪y 21v‬‬ ‫22 ‪y‬‬ ‫2‪v‬‬ ‫-‬ ‫כאשר יש חיבור בין ההדקים התחתונים של הכניסה והיציאה ניתן להציג גם באופן‬ ‫הבא:‬ ‫+‬ ‫1‪v‬‬ ‫‬‫7‬ ‫+‬ ‫2‪v‬‬ ‫-‬ ‫71‬ ‫פרק‬ ‫זוגיים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫זוגיים כממירי התנגדויות‬ ‫+‬ ‫1‪v‬‬ ‫-‬ ‫+‬ ‫זוגיים‬ ‫2‪v‬‬ ‫-‬ ‫נעמיס את הזוגיים באימפדנס ‪ zL‬ונשאל מהו האימפדנס ש"יראה" מקור המחובר‬ ‫בכניסה, כלומר מהו‬ ‫≡ ‪z in‬‬ ‫1‪v‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪i1 2 = zL‬‬ ‫2‪−i‬‬ ‫נשתמש בהגדרת מטריצת התמסורת:‬ ‫) 2 ‪i1 = Cv 2 + D( − i‬‬ ‫= ‪z in‬‬ ‫) 2‪v1 = Av 2 + B ( − i‬‬ ‫‪v1 Av 2 + B ( − i2 ) Az L + B‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪i1 Cv 2 + D( − i2 ) Cz L + D‬‬ ‫נוסחת הטרנספורמציה הכללית להתנגדויות היא:‬ ‫= ‪z in‬‬ ‫‪Az L + B‬‬ ‫‪Cz L + D‬‬ ‫לדוגמה, עבור שנאי אידיאלי:‬ ‫1‪ n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫2 ‪T =‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n2 ‬‬ ‫‪n1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫8‬ ‫71‬ ‫פרק‬ ‫זוגיים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫ואימפדנס הכניסה יהא:‬ ‫1‪n‬‬ ‫‪zL‬‬ ‫2‬ ‫‪ n1 ‬‬ ‫2‪n‬‬ ‫= ‪z in‬‬ ‫‪= zL‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫2‪n‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫1‪n‬‬ ‫תאום אימפדנסים בזוגיים‬ ‫תאום יושג כאשר‬ ‫‪z in = z L‬‬ ‫כאשר מתקיים תנאי התאום הנ"ל נקרא ל- ‪ z L‬אמפדנס מתואם )‪ (Matched‬של‬ ‫הזוגיים‬ ‫ונסמנו ‪. z LM‬‬ ‫כאשר מתקיים תנאי התאום ניתן לחבר זוגיים בעלי אותו אמפדנס מתואם‬ ‫בקסקדה )בטור( מבלי לפגוע בתאום.‬ ‫נמצא את ערך האמפדנס המתואם מתוך אברי המטריצה ‪:T‬‬ ‫2‬ ‫‪Cz LM + Dz LM = Az LM + B‬‬ ‫2‬ ‫0 = ‪Cz LM − ( A − D ) z LM − B‬‬ ‫= ‪Z LM‬‬ ‫±‪A− D‬‬ ‫‪( A − D ) 2 + 4 BC‬‬ ‫‪2C‬‬ ‫9‬ ‫71‬ ‫פרק‬ ‫זוגיים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫01‬ ‫71‬ ‫פרק‬ ‫זוגיים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫זוגיים סימטריים‬ ‫זוגיים סימטריים הם זוגיים שתכונות התמסורת שלהם בשני הכוונים זהות, כלומר‬ ‫אפשר להחליף את זוג הכניסה בזוג היציאה בלי לשנות את תכונות הזוגיים.‬ ‫קיים באופן כללי:‬ ‫‪ v2 ‬‬ ‫1−‬ ‫] ‪− i = [T‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪v1 1 D‬‬ ‫‪ i = ∆ − C‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪∆ T ≡ DA − BC‬‬ ‫ולכן:‬ ‫‪v 2 ‬‬ ‫‪1 D B v1 ‬‬ ‫‪ i = ∆ C A − i ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪T‬‬ ‫מכאן ברור כי תנאי הסימטריה הוא:‬ ‫1 = ‪∆T‬‬ ‫;‬ ‫‪D=A‬‬ ‫‪− B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v1 ‬‬ ‫‪i ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫כאשר:‬ ‫כאשר התנאי 1 = ‪ ∆ T‬מכונה תנאי פסיביות.‬ ‫לדוגמה, רשת ‪ T‬תהא סימטרית באם מתקיים 2‪. R1 = R‬‬ ‫מטריצת התמסורת של זוגיים סימטריים:‬ ‫‪ A B‬‬ ‫‪T =‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C A‬‬ ‫;‬ ‫1 = ‪A 2 − BC‬‬ ‫תאום אמפדנסים בזוגיים סימטריים יהא:‬ ‫= ‪Z LM‬‬ ‫‪4 BC‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪2C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫11‬ ‫71‬ ‫פרק‬ ‫זוגיים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫בזוגיים‬ ‫המתואם‬ ‫האימפדנס‬ ‫של‬ ‫אלטרנטיבי‬ ‫אפיון‬ ‫סימטריים:‬ ‫אימפדנס כניסה בריקם:‬ ‫= ‪zo‬‬ ‫1‪v‬‬ ‫1‪i‬‬ ‫=‬ ‫0 = 2‪i‬‬ ‫‪Av 2 A‬‬ ‫=‬ ‫‪Cv 2 C‬‬ ‫אימפדנס כניסה וקצר:‬ ‫= ‪zs‬‬ ‫1‪v‬‬ ‫1‪i‬‬ ‫=‬ ‫0 = 2‪v‬‬ ‫2‪− Bi‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪− Di2 D‬‬ ‫אז, כיוון שבזוגיים סימטריים ‪ A=D‬נקבל:‬ ‫= ‪z0 z s‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪= z LM‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫‪C‬‬ ‫האימפדנס המתואם הוא הממוצע הגיאומטרי של אימפדנסי הקצר והריקם. הוא‬ ‫נקרא גם אימפדנס אפייני )קרקטריסטי( של הזוגיים הסימטריים.‬ ‫דוגמה: אימפדנס מתואם של רשת גשר ‪:T‬‬ ‫3‪R12 + R1 R2 + 2 R1 R3 + R2 R‬‬ ‫) 2‪R1 ( R1 + R‬‬ ‫= 3‪z o = [ R1 ( R1 + R2 ) ] + R‬‬ ‫= 3‪+ R‬‬ ‫2‪2 R1 + R‬‬ ‫2‪2 R1 + R‬‬ ‫‪ 2R R + R 2 ‬‬ ‫‪ RR‬‬ ‫‪‬‬ ‫3 1 ‪z s = [ ( R1 R3 ) + R1 ] R2 = 1 3 + R1 R2 = ‬‬ ‫‪R +R‬‬ ‫‪‬‬ ‫= 2‪ R + R R‬‬ ‫‪‬‬ ‫3‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫3‪R12 + 2 R1 R‬‬ ‫2‪⋅ R‬‬ ‫3‪R1 + R‬‬ ‫) 3‪R1 R2 ( R1 + 2 R‬‬ ‫2=‬ ‫2=‬ ‫3‪R1 + 2 R1 R‬‬ ‫3‪R1 + R1 R2 + 2 R1 R3 + R2 R‬‬ ‫2‪+ R‬‬ ‫3‪R1 + R‬‬ ‫21‬ ‫71‬ ‫פרק‬ ‫זוגיים‬ ‫= ‪z LM‬‬ ‫) 3‪R1 R2 ( R1 + 2 R‬‬ ‫2‪2 R1 + R‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫31‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 12/16/2010 for the course BIO 6785 taught by Professor Shuit during the Spring '10 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online