Chapter 1 - ‫פרק 1: מעגלים מקובצים‬...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫פרק 1: מעגלים מקובצים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫מעגלים חשמליים מקובצים‬ ‫פרק 1:‬ ‫] פרקים בספרי הלימוד: 4.1-1.1 :‪[ DK: 1, CDK‬‬ ‫רכיבים ומעגלים מקובצים‬ ‫1.1‬ ‫תורת החשמל הבסיסית עוסקת ברכיבים מקובצים )‪ ,(Lumped Elements‬ובמעגלים‬ ‫דוגמאות מוכרות לרכיבים‬ ‫)‪ (Lumped Circuits‬הבנויים מרכיבים אלה.‬ ‫מקובצים‬ ‫מקובצים הינן נגד, סליל )משרן(, קבל, וכן שנאי, טרנזיסטור וכו'. רכיבים אלה‬ ‫מאופיינים על ידי מספר סופי )2 או יותר( של הדקים, וקשר מוגדר בין מתחי וזרמי‬ ‫ההדקים.‬ ‫לאמיתו של דבר, רכיב מקובץ הינו מודל אידיאלי ומפושט למערכת פיסיקלית‬ ‫מורכבת. תאור מלא של כל מערכת חשמלית מחייב שימוש במשוואות מכסוול‬ ‫)שהן כידוע מערכת של 4 משוואות דיפרנציאליות חלקיות המתארות את התפתחות‬ ‫תאור זה הינו מסובך ביותר, ולשימושים‬ ‫השדה אלקטרומגנטי בזמן ובמרחב(.‬ ‫רבים ניתן להסתפק ב"קרוב ההנדסי" של רכיבים ורשתות מקובצים. הקרוב‬ ‫כרכיב מקובץ תקף כאשר מימדי הרכיב )או הרשת( קטנים, יחסית לאורך הגל‬ ‫המתאים לתדר הפעולה האופייני. על כך נתעכב מעט בהמשך.‬ ‫דוגמה:‬ ‫נגד‬ ‫מקור‬ ‫משר‬ ‫כאן נוצרים שדות חשמליים ושדות מגנטיים )כלומר, שדה אלקטרומגנטי( במרחב‬ ‫המקיף את הרשת. שדה זה משתנה מנקודה לנקודה במרחב, וכן משתנה בזמן.‬ ‫"הקירוב ההנדסי" שמדובר בו מחליף את המערכת הפיסיקלית על ידי שלושה‬ ‫1‬ ‫פרק 1: מעגלים מקובצים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫אלמנטים − משרן, נגד ומקור מתח, שכל אחד מהם מאופיין במלואו על ידי 2‬ ‫גדלים פיזיקליים:‬ ‫המתח על פני זוג ההדקים של האלמנט שנסמנו ‪) (v(t‬מתח משתנה בזמן(.‬ ‫הזרם הזורם דרך האלמנט, שנסמנו ‪. (i(t‬‬ ‫2‬ ‫פרק 1: מעגלים מקובצים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫סימון כללי של רכיב בעל שני הדקים, כולל המתח והזרם על פניו:‬ ‫) ‪i (t‬‬ ‫‪A‬‬ ‫+‬ ‫‪B‬‬ ‫) ‪v(t‬‬ ‫_‬ ‫המלבן בציור יכול לסמן אלמנטים שונים – נגד, משרן, קבל, מקור מתח מקור זרם‬ ‫וכו'.‬ ‫נדגיש כי הזרם הנכנס בהדק ‪) A‬של רכיב מקובץ בעל 2 הדקים( זהה לזרם היוצא‬ ‫מהדק ‪ .B‬אבחנה זו קשורה באופן הדוק עם חוק הזרמים של קירכהוף, שנלמד‬ ‫בהמשך הפרק.‬ ‫טיב הקירוב ההנדסי:‬ ‫נשאלת השאלה - מתי קירוב האלמנט הפיסיקלי על ידי אלמנט מקובץ הוא‬ ‫מוצדק?‬ ‫של התדירות הגבוהה ביותר ברשת ) ‪( f‬‬ ‫‪,λ = c/ f‬‬ ‫)נזכיר כי‬ ‫)‪( λ‬‬ ‫התשובה היא: כאשר אורך הגל‬ ‫גדול ביחס למימדים הפיסיקליים של הרכיב או הרשת.‬ ‫כאשר ‪ c = 3 × 108 m / sec‬הינה מהירות האור(.‬ ‫דוגמאות:‬ ‫הרשת החשמלית הביתית פועלת בתדר ‪ ,f=50Hz‬ולכן אורך הגל המתאים הוא‬ ‫‪ . λ = 6 ⋅ 10 6 m‬כל האלמנטים המעשיים יכולים להיחשב מקובצים.‬ ‫מגבר וידאו )בטלביזיה(: ‪ , f=20MHz‬ולכן ‪ . λ = 15 m‬אלמנטים שגודלם עד‬ ‫מטרים בודדים יכולים להיחשב כמקובצים.‬ ‫אלמנטים בעלי גודל פיסי של‬ ‫)‬ ‫מגבר ‪ RF‬של מכ"ם: ‪ f=10GHz‬לכן 3 = ‪.cm λ‬‬ ‫כ- ‪ 1cm‬ומעלה אינם יכולים להיחשב כמקובצים.‬ ‫כאשר קרוב זה אינו מתקיים, יש להתייחס לרכיב כאלמנט מבוזר‬ ‫‪.(Distributed‬‬ ‫מפולגות".‬ ‫‪.I‬‬ ‫‪.II‬‬ ‫‪.III‬‬ ‫‪.IV‬‬ ‫על כך – במקצועות "שדות אלקטרומגנטיים" ו"גלים ומערכות‬ ‫3‬ ‫פרק 1: מעגלים מקובצים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫כיווני ייחוס‬ ‫2.1‬ ‫לצורך ניתוח רשתות חשמליות נוח להגדיר כיווני ייחוס עבור הזרם והמתח על פני‬ ‫הרכיבים השונים. יש להבחין בין הכיוונים האמיתיים לבין כיווני הייחוס. הכיוון‬ ‫האמיתי של זרם חשמלי מוגדר ככיוון ההפוך לכיוון תנועת האלקטרונים. הכיוון‬ ‫האמיתי של מתח חשמלי מוגדר בהתאם לכיוון השדה החשמלי.‬ ‫כיוון הייחוס, לעומת זאת הוא שרירותי. אחרי שקובעים אותו יתכנו שני מקרים:‬ ‫הכיוון האמיתי מתלכד עם כיוון הייחוס. במקרה זה הסימן האלגברי של הגודל‬ ‫המתאים יהיה חיובי )+(.‬ ‫הכוון האמיתי הפוך לכיוון הייחוס. במקרה זה הסימן האלגברי של הגודל‬ ‫המתאים יהיה שלילי )-(.‬ ‫הסכם: על מנת לאפשר טיפול שיטתי, נוח לבחור את כיווני הייחוס של הזרם‬ ‫והמתח על פני כל רכיב )או ענף( כך שיקיימו את היחס הבא: כיוון הזרם דרך‬ ‫הרכיב הוא מהדק )+( להדק )-(.‬ ‫נכון !‬ ‫‪.I‬‬ ‫‪.II‬‬ ‫+‬ ‫_‬ ‫_‬ ‫+‬ ‫נכון !‬ ‫_‬ ‫+‬ ‫שגוי !‬ ‫+‬ ‫_‬ ‫שגוי !‬ ‫כיוונים אלה נקראים כיווני ייחוס תואמים. מעתה נניח כי כיווני הייחוס הינם‬ ‫לפי הסכם זה )אלא אם סומן במפורש אחרת(.‬ ‫היתרון בהסכם זה שיש להגדיר רק כוון ייחוס אחד, לזרם או למתח, ואז הכיוון‬ ‫השני נקבע אוטומטית.‬ ‫4‬ ‫פרק 1: מעגלים מקובצים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫על פי הסכם זה, בנוסחת ההספק ) ‪: p (t ) = v(t )i (t‬‬ ‫- ערך חיובי של ‪ p‬מייצג הספק נצרך על ידי הרכיב.‬‫-- ערך שלילי של ‪ p‬מייצג הספק הנמסר על ידי הרכיב לרשת.‬ ‫5‬ ‫פרק 1: מעגלים מקובצים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫)‪(Kirchhoff’s Laws‬‬ ‫חוקי קירכהוף‬ ‫3.1‬ ‫שני חוקי קירכהוף קובעים את התנהגות המתחים והזרמים בכל רשת חשמלית‬ ‫מקובצת. יש להדגיש כי חוקי קירכהוף אינם "אקסיומות". הם נובעים מתורת‬ ‫בכך דנים בקורסים אחרים‬ ‫השדות של מקסוול, תחת הנחת הקרוב המקובץ.‬ ‫)"פיסיקה 2מ" ו"שדות"(.‬ ‫דוגמה לרשת חשמלית מקובצת מוראית באיור הבא. ברשת זו 4 צמתים )‬ ‫‪ (Nodes‬ו- 5 ענפים )‪ .(Branches‬כל ענף מתאים לרכיב מקובץ אחד. הצמתים הם‬ ‫נקודות החיבור בין הענפים.‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫4‬ ‫איור 1.1‬ ‫חוק הזרמים של קירכהוף )‪ :(KCL‬בכל רשת חשלית מקובצת, בכל זמן נתון,‬ ‫הסכום האלגברי של הזרמים היוצאים מצומת כלשהו הוא אפס.‬ ‫6‬ ‫פרק 1: מעגלים מקובצים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫הערות והדגשים:‬ ‫לצורך חישוב הסכום האלגברי של הזרמים, נגדיר זרם היוצא מהצומת‬ ‫כחיובי. זרם הנכנס לצומת יוגדר כשלילי.‬ ‫החוק איננו תלוי באופי האלמנטים )לינאריים או לא, קבועים בזמן או לא,‬ ‫מקורות או צרכנים(.‬ ‫החוק נכון בכל רגע בזמן, למרות שהזרמים יכולים להשתנות מרגע לרגע.‬ ‫החוק שקול לקביעה כי אין "הצטברות מטען בצומת".‬ ‫בדוגמה שלנו )איור 1.1(:‬ ‫)1.1(‬ ‫)2.1(‬ ‫)3.1(‬ ‫)4.1(‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0 = 3‪-i1 + i2 + i‬‬ ‫0 = 5‪-i3 − i4 + i‬‬ ‫0 = 4‪i1 + i‬‬ ‫0 = 5‪-i2 − i‬‬ ‫צומת 1:‬ ‫צומת 2:‬ ‫צומת 3:‬ ‫צומת 4:‬ ‫משוואות אלו ניתנות לרישום מטריצי כך )רמז להמשך(:‬ ‫)5.1(‬ ‫1‬ ‫‪0 0‬‬ ‫1 1 −‪‬‬ ‫‪ 0 0 −1 −1 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‪‬‬ ‫00‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 − 1‬‬ ‫0 1− 0 ‪‬‬ ‫0 = ‪A⋅i‬‬ ‫‪ i1 ‬‬ ‫‪i ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫0 = ‪i3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i4 ‬‬ ‫‪i5 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫כלומר‬ ‫)6.1(‬ ‫באופן כללי יותר, ניתן לבטא את חוק הזרמים של קירכהוף כך:‬ ‫סכום זרמי הענפים היוצאים ממשטח סגור כלשהו הינו אפס.‬ ‫7‬ ‫פרק 1: מעגלים מקובצים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫משטח סגור במרחב נקרא לעיתים משטח גאוסי. כאשר מדובר במעגל מישורי,‬ ‫משטח גאוסי מתואר על ידי עקום סגור במישור.‬ ‫1‪i‬‬ ‫2‪i‬‬ ‫3‪i‬‬ ‫4‪i‬‬ ‫5‪i‬‬ ‫"משטח גאוסי"‬ ‫0 = 5‪. − i1 + i2 − i4 + i‬‬ ‫עבור המשטח הגאוסי שבציור, נקבל:‬ ‫קל לראות כי הניסוח הקודם של חוק הזרמים של קירכהוף, לגבי סכום הזרמים‬ ‫בצומת, הוא מקרה פרטי של הניסוח הכללי )כיצד?(. אנו נשוב לנושא חוק‬ ‫קירכהוף בניסוחו הכללי בהמשך הקורס, בהקשר לשיטת החוגים.‬ ‫נעבור עתה לניסוח חוק קירכהוף השני.‬ ‫חוק המתחים של קירכהוף )‪ : (KVL‬בכל רשת חשמלית מקובצת, בכל זמן, הסכום‬ ‫האלגברי של המתחים לאורך כל מסלול סגור ברשת שווה לאפס.‬ ‫ברשת שבאיור 1.1 קיימים 3 מסלולים סגורים, אולם רק 2 מהם בלתי תלויים‬ ‫)מדוע?(.‬ ‫המשוואות המתקבלות לרשת זו:‬ ‫)7.1(‬ ‫)8.1(‬ ‫0 = 2 ‪v3 + v5 − v‬‬ ‫0 = 3‪− v1 + v 4 − v‬‬ ‫ניסוח שקול של חוק המתחים עושה שימוש במתחי הצמתים, דהיינו פונקצית‬ ‫הפוטנציאל בצמתי הרשת.‬ ‫8‬ ‫פרק 1: מעגלים מקובצים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫נייחס, לכל צומת ‪ , k‬פוטנציאל ) ‪ . ek = ek (t‬ניתן לראות פוטנציאל זה כמתח‬ ‫הצומת ביחס לנקודת ייחוס קבועה. יש להדגיש כי נקודת הייחוס ניתנת לבחירה‬ ‫כרצוננו )הפוטנציאל הינו גודל יחסי(, אולם מהרגע שנבחרה היא חייבת להיות‬ ‫זהה לגבי כל הצמתים. מקובל, אם כי לא הכרחי, לבחור את נקודת הייחוס כאחד‬ ‫הצמתים ברשת )מהו הפוטנציאל בצומת זה?(.‬ ‫בכל רשת חשמלית‬ ‫חוק המתחים של קירכהוף – ניסוח בעזרת מתחי הצמתים:‬ ‫מקובצת בכל זמן, המתח על פני כל ענף ברשת שווה להפרש האלגברי של‬ ‫המתחים בשני הצמתים המתאימים.‬ ‫הערות והדגשים:‬ ‫ההפרש האלגברי מחושב בהתאם לכיוון הייחוס של המתח: אם כוון הייחוס‬ ‫אזי המתח הוא ‪. ek − e j‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪( k → j‬‬ ‫בענף שבין צומת ‪ k‬לצומת ‪ j‬הוא מ- ‪ k‬ל- ‪j‬‬ ‫החוק נכון לגבי כל רגע בזמן, למרות שהמתחים יכולים להשתנות.‬ ‫החוק מגדיר למעשה את מתחי הצמתים ברשת )ביחס לנקודת ייחוס קבועה(.‬ ‫בדוגמה שלנו )איור 1.1(:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)9.1(‬ ‫)01.1(‬ ‫)11.1(‬ ‫)21.1(‬ ‫)31.1(‬ ‫1‪v1 = e3 − e‬‬ ‫4 ‪v 2 = e1 − e‬‬ ‫2 ‪v3 = e1 − e‬‬ ‫2 ‪v4 = e3 − e‬‬ ‫4 ‪v5 = e 2 − e‬‬ ‫1:‬ ‫2:‬ ‫3:‬ ‫4:‬ ‫5:‬ ‫ענף‬ ‫ענף‬ ‫ענף‬ ‫ענף‬ ‫ענף‬ ‫אפשר לרשום זאת כך:‬ ‫9‬ ‫פרק 1: מעגלים מקובצים‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫)41.1(‬ ‫1 −‪ v1 ‬‬ ‫1 ‪v ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫1 ‪ v3 = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫0 ‪v 4 ‬‬ ‫0 ‪ v5 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1−‬ ‫1−‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫‪0‬‬ ‫‪− 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪− 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ e1 ‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪e3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e 4 ‬‬ ‫‪v= M e‬‬ ‫הערות נוספות לחוקי קירכהוף:‬ ‫חוקים אלה הם החוקים היסודיים של מעגלים מקובצים.‬ ‫החוקים קובעים אילוצים לינאריים על הזרמים והמתחים במעגל.‬ ‫החוקים נובעים ישירות ממבנה המעגל וללא קשר לאופי הרכיבים.‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫01‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 12/16/2010 for the course BIO 6785 taught by Professor Shuit during the Spring '10 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online