פרק 11

פרק 11 - ‫פר×

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫פרק 11: מעגלים מסדר ‪I‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫פרק 11: התגובה הזמנית של מעגלים מסדר ‪I‬‬ ‫בפרקים הקודמים עסקנו במערכות בהם קיים קשר רגעי בין הזרמים והמתחים.‬ ‫בפרק זה נרחיב את הדיון לרשתות דינמיות, קרי רשתות חשמליות שיש בהן‬ ‫אלמנטים עם זיכרון, משמע קבלים או סלילים. המושג סדר המעגל מתייחס לסדר‬ ‫המשוואה הדיפרנציאלית המתארת את המעגל.‬ ‫קבל וסליל‬ ‫אלמנט אוגר מטען חשמלי.‬ ‫‪i‬‬ ‫+‬ ‫-‬ ‫1.11‬ ‫קבל:‬ ‫הצטברות המטען ‪ (q(t‬נקבע לפי הזרם המגיע לקבל ‪ (i(t‬לפי הביטוי‬ ‫הבא )נזכור כי ‪ i‬מוגדר בתור מטען שעובר 'ליח זמן(‬ ‫:‬ ‫)1.11(‬ ‫= ) ‪i (t‬‬ ‫) ‪dq (t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫בקבל קיים קשר בין המתח לבין המטען שניתן לתארו על ידי עקום‬ ‫במישור ‪.qv‬‬ ‫במקרה של קבל ליניארי בלתי תלוי בזמן העקום יהא קו ישר כמתואר‬ ‫‪q‬‬ ‫בציור הבא‬ ‫‪v‬‬ ‫)2.11(‬ ‫) ‪q (t ) = C v (t‬‬ ‫כאשר הקבוע ‪ C‬הוא קיבול הקבל.‬ ‫מכאן ניתן לרשום את הקשרים הבאים בין המתח לזרם בקבל:‬ ‫‪1t‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪v (t ) = v(0) + ∫ i (τ )dτ‬‬ ‫‪i (t ) = C‬‬ ‫0‪C‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫)3.11(‬ ‫1‬ ‫פר ק 11: מעגלים מסד ר ‪I‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫יחידת המטע ן ‪ q‬היא קולו ן ‪.[[Coulomb‬‬ ‫יחידת הקיבו ל ‪ C‬היא פאר ד ]‪.[Farad‬‬ ‫אלמנט אוגר אנרגיה בשדה המגנטי הקיים בו.‬ ‫+‬ ‫‪i‬‬ ‫-‬ ‫סליל:‬ ‫להלן חוק ההשראה ש ל ‪ Faraday‬לגבי סליל, כאש ר ‪ φ‬הוא שטף השדה‬ ‫המגנטי דרך הסליל .‬ ‫)4.11(‬ ‫= )‪v(t‬‬ ‫‪dφ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫בסליל קיים קשר בין הזרם לבין השטף שניתן לתארו על ידי עקום‬ ‫במישו ר ‪. iφ‬‬ ‫במקרה של סליל ליניארי בלתי תלוי בזמן העקום יהא קו ישר כמתוא ר‬ ‫בציור הב א‬ ‫‪Φ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫)5.11(‬ ‫) ‪Φ (t ) = L i (t‬‬ ‫כאשר הקבו ע ‪ L‬הו א השראו ת הסליל.‬ ‫מכאן ניתן לרשום את הקשרים הבאים בין המתח לזרם בסליל :‬ ‫)6.11(‬ ‫‪1t‬‬ ‫‪i (t ) = i (0) + ∫ v (τ )dτ‬‬ ‫0‪L‬‬ ‫‪v (t ) = L‬‬ ‫) ‪di (t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫2‬ ‫פרק 11: מעגלים מסדר ‪I‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫יחידת השטף ק היא ובר ]‪[Weber‬‬ ‫יחידת השראות ‪ L‬היא הנרי ]‪[Henry‬‬ ‫הערה: אנו מתמקדים באלמנטים לינאריים וקבועים בזמן. נזכיר כי‬ ‫קבל לינארי אך משתנה בזמן מאופיין ע"י קיבול ‪ (C(t‬משתנה בזמן, כך ש:‬ ‫) ‪q ( t ) = C ( t ) v( t‬‬ ‫קבל לא לינארי מאופיין ע"י עקום כללי ] ) ‪q ( t ) = f [ v( t‬‬ ‫= ) ‪i (t‬‬ ‫2.‬ ‫1.‬ ‫) ‪dq (t‬‬ ‫בשני המקרים נשמר הקשר‬ ‫‪dt‬‬ ‫באופן דומה מגדירים סליל משתנה בזמן וסליל לא לינארי.‬ ‫3‬ ‫פר ק 11: מעגלים מסד ר ‪I‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫הספק ואנרגיה‬ ‫2.11‬ ‫נתבונן ברכיב כלשהו המחובר למקור ונגדיר את ההספק והאנרגיה שמוסר המקו ר‬ ‫לרכיב .‬ ‫) ‪i (t‬‬ ‫מקור‬ ‫+‬ ‫) ‪v (t‬‬ ‫-‬ ‫ההספק הרגעי הנמסר לרכיב )מהמקור( הוא:‬ ‫) ‪p (t ) = i (t ) ⋅ v (t‬‬ ‫)7.11(‬ ‫סה"כ האנרגיה הנמסרת בין הזמני ם 0‪ t‬לבי ן 1‪ t‬היא:‬ ‫‪W (t 0 , t1 ) = ∫ P (t )dt = ∫ i (t ) ⋅ v (t )dt‬‬ ‫0‪t‬‬ ‫0‪t‬‬ ‫1‪t‬‬ ‫1‪t‬‬ ‫)8.11(‬ ‫עבו ר נגד , נקבל:‬ ‫2 11‬ ‫0 ≥ ‪W (t 0 , t1 ) = ∫ i (t ) ⋅ v(t )dt = R ∫ i (t )dt = ∫ v (t )dt‬‬ ‫0‪R t‬‬ ‫0‪t‬‬ ‫0‪t‬‬ ‫2‬ ‫1‪t‬‬ ‫1‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫כלומר נגד צורך אנרגיה חשמלית ואינו מחזיר אותה לרשת )הופך את האנרגיה‬ ‫החשמלית לאנרגית חום(.‬ ‫עבו ר קבל , נקבל:‬ ‫‪W (t 0 , t1 ) = ∫ i (t ) ⋅ v(t )dt = ∫ C‬‬ ‫0‪t‬‬ ‫0‪t‬‬ ‫1‪t‬‬ ‫1‪t‬‬ ‫) ‪dv (t‬‬ ‫1‬ ‫) 0 ‪v(t )dt = C v 2 (t1 ) − v 2 (t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫2‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫ניתן לראות כי אם המתח בשני זמנים זהה, אזי סך האנרגיה שנמסרה לקבל בין שני‬ ‫זמנים אלה היא אפס, בלי תלות במהלך הזמני של המתח בין שני רגעים אלה .‬ ‫אנרגי ה‬ ‫של‬ ‫בצורה‬ ‫אותה‬ ‫אוגר‬ ‫אינו "מבזבז" אנרגיה, אלא‬ ‫כלומר, הקבל‬ ‫הוא האנרגיה האגורה בקבל בזמ ן ‪ .t‬הקבל יכול‬ ‫21‬ ‫אלקטרוסטטית. הגוד ל ) ‪Cv (t‬‬ ‫2‬ ‫"להחזיר" אנרגיה זו לרשת לאחר מכן.‬ ‫עבו ר סליל , נקבל:‬ ‫4‬ ‫פרק 11: מעגלים מסדר ‪I‬‬ ‫1‪t‬‬ ‫1‪t‬‬ ‫הרצאות בחשמל 'מ‬ ‫) ‪di (t‬‬ ‫1‬ ‫) 0 ‪i (t )dt = L i 2 (t1 ) − i 2 (t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫2‬ ‫‪W (t 0 , t1 ) = ∫ i (t ) ⋅ v(t )dt = ∫ L‬‬ ‫0‪t‬‬ ‫0‪t‬‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫כלומר אם הזרם זהה בשתי נקודות זמן אזי האנרגיה שקבל הסליל בין שתי נקודות‬ ‫,‬ ‫הוא האנרגיה‬ ‫21‬ ‫כלומר גם הסליל אוגר אנרגיה הגודל ) ‪Li (t‬‬ ‫,‬ ‫2‬ ‫זמן אלה היא אפס‬ ‫.‬ ‫המגנטית האגורה בסליל בזמן ‪.t‬‬ ‫דוגמאות למעגלים מסדר ראשון‬ ‫מעגלים מסדר ראשון הם מעגלים שהתנהגותם הדינמית ניתנת לתיאור על ידי‬ ‫נתמקד בינתיים במעגלים שבהם האלמנטים‬ ‫קבל מחובר למקור מתח 0‪ . V‬בזמן 0=‪t‬‬ ‫משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון‬ ‫.‬ ‫3.11.‬ ‫לינאריים וקבועים בזמן.‬ ‫נתחיל בדוגמה פשוטה של פריקת קבל‬ ‫:‬ ‫מנתקים את הקבל ממקור המתח ומחברים לקבל נגד דרכו המטען מתפרק.‬ ‫0=‪t‬‬ ‫+‬ ‫0‪V‬‬ ‫+‬ ‫‬‫‬‫‪C‬‬ ‫0=‪t‬‬ ‫‪R‬‬ ‫לפני 0=‪ ,t‬ברור כי הקבל היה במתח 0‪V‬‬ ‫0‪v c ( t = 0 ) = V‬‬ ‫0 ≥ ‪ , t‬ניתן לצייר את המעגל הפשוט הבא:‬ ‫לאחר מכן ב‬ ‫‬‫,‬ ‫+‬ ‫‪ic‬‬ ‫‪C‬‬ ‫5‬ ‫‪iR‬‬ ‫+‬ ‫‪- vR‬‬ ‫‪vc‬‬ ‫-‬ ‫פרק 11: מעגלים מסדר ‪I‬‬ ‫הרצאות בחשמל 'מ‬ ‫‪R‬‬ ‫‪KVL‬‬ ‫‪KCL‬‬ ‫) ‪v c ( t ) = v R (t‬‬ ‫0 = ) ‪ic (t ) + i R (t‬‬ ‫כלומר:‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪dv c‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪= ic = −i R = − R = − c‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫0≥‪t‬‬ ‫;‬ ‫‪v c ( 0 ) = Vo‬‬ ‫‪dv c v c‬‬ ‫+‬ ‫0=‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪R‬‬ ‫זו משוואה דיפרנציאלית הומוגנית מסדר ראשון ופתרונה הוא:‬ ‫‪v c (t ) = K e sot‬‬ ‫− = ‪so‬‬ ‫1‬ ‫‪RC‬‬ ‫את הקבוע נמצא בעזרת התנאי ‪ , v c ( 0 ) = Vo‬סה"כ מקבלים‬ ‫‪v c (t ) = Vo e‬‬ ‫−‬ ‫‪t‬‬ ‫‪RC‬‬ ‫מכאן ניתן לחשב את הזרם בקבל‬ ‫‪ic (t ) = C‬‬ ‫‪dv c‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪=− o e‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪R‬‬ ‫−‬ ‫‪t‬‬ ‫‪RC‬‬ ‫0≥‪t‬‬ ‫‪i R = −ic‬‬ ‫מאחר ומתקיים‬ ‫, ‪ v R = v c‬יש לנו פתרון מלא.‬ ‫. ‪[ RC ] = sec‬‬ ‫הערה שימו לב ליחידות‬ ‫:‬ ‫דוגמה נוספת:‬ ‫0=‪t‬‬ ‫0=‪t‬‬ ‫+‬ ‫‪Is‬‬ ‫‪V‬‬ ‫6‪C‬‬ ‫‪R‬‬ ‫0‪V‬‬ ‫פר ק 11: מעגלים מסד ר ‪I‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫ע ד 0=‪ t‬מתח הקבל נשמר בער ך ‪ Vo‬על ידי מקור המתח. ברגע זה מנתקים את‬ ‫מקור המתח ומחברים את מקור הזרם. נניח שהמיתוג הוא אידיאלי. נרשו ם ‪ KCL‬ב-‬ ‫0>‪.t‬‬ ‫‪ic (t ) + i R (t ) = I s‬‬ ‫‪C‬‬ ‫) ‪dv(t ) v(t‬‬ ‫+‬ ‫‪= Is‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪v(0) = Vo‬‬ ‫המשוואה היא לא הומוגנית )איבר ימין‬ ‫‪I‬‬ ‫) ‪dv(t‬‬ ‫1‬ ‫+‬ ‫‪v(t ) = s‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪RC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫0(. פתרון משוואה לא הומוגנית שווה‬ ‫≠‬ ‫לסכום של פתרון המשוואה ההומוגנית ושל פתרון פרטי של המשוואה הל א‬ ‫‪v p + vh‬‬ ‫‪v h = K1 e‬‬ ‫‪v p = IsR‬‬ ‫‪v(t ) = I s R + K 1 e‬‬ ‫‪ K 1 = V0 − I s R‬והפתרון מושלם .‬ ‫‪−t / RC‬‬ ‫‪− t / RC‬‬ ‫הומוגנית :‬ ‫‪‬‬ ‫ניתן לבדוק כי קבוע הוא פתרון פרטי של המשוואה הלא- הומוגנית, וא ז 0 = ‪v‬‬ ‫0‪ v(0) = V‬נקב ל‬ ‫מתוך תנאי התחל ה‬ ‫ניתן להציג את התגובה כסכום התגובות הבאות :‬ ‫תגובה בכניסה אפס )‪v ZI (t ) ,(ZIR - Zero Input response‬‬ ‫זוהי תגובת המתח שתתקבל א ם 0 = ‪ , I s‬כלומר, עבור המשוואה ההומוגנית.‬ ‫1.‬ ‫תגובה במצב אפס )‪v ZS (t ) ,(ZSR - Zero state response‬‬ ‫0 = ‪ , Vo‬כלומר, תנאי ההתחלה למשוואה‬ ‫זוהי תגובת המתח שתתקבל א ם‬ ‫2.‬ ‫הוא אפס .‬ ‫7‬ ‫פר ק 11: מעגלים מסד ר ‪I‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫: ‪ZIR‬‬ ‫: ‪ZSR‬‬ ‫‪d‬‬ ‫1‬ ‫+ ) ‪v ZI (t‬‬ ‫0 = ) ‪v ZI (t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪RC‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪d‬‬ ‫1‬ ‫+ ) ‪v ZS (t‬‬ ‫‪v ZS (t ) = s‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪RC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫) ‪v(t ) = v ZI (t ) + v ZS (t‬‬ ‫‪v ZI (0) = Vo‬‬ ‫0 = )0( ‪v ZS‬‬ ‫קל לראות, על ידי הצבה במשוואה הדיפרנציאלית כי‬ ‫פתרון ישיר נותן:‬ ‫‪v ZI (t ) = v o e‬‬ ‫−‬ ‫‪t‬‬ ‫‪RC‬‬ ‫‪t‬‬ ‫−‬ ‫‪RC‬‬ ‫0≥‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0≥‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v ZS (t ) = I s R1 − e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪ - v ZI ( t‬מתאר את פריקת הקבל מהמתח ההתחלתי דרך הנגד.‬ ‫) ‪ - v ZS ( t‬מתאר את טעינת הקבל על ידי מקור הזרם החל ממתח התחלתי אפס .‬ ‫המתח על הקבל רציף ולכן אינו קופץ ב- 0=‪ t‬אלא הוא ניטען בהדרגה.‬ ‫במצב מתמיד המתח על הקבל קבוע ולכן אן זרם דרך הקבל. כל הזרם זורם דר ך‬ ‫הנגד והמתח הו א ‪.IsR‬‬ ‫‪v‬‬ ‫0‪v‬‬ ‫) ‪v (t‬‬ ‫‪v ZI‬‬ ‫‪IsR‬‬ ‫‪v ZS‬‬ ‫‪t‬‬ ‫0‬ ‫5. 0‬ ‫1‬ ‫5. 1‬ ‫2‬ ‫5. 2‬ ‫3‬ ‫5. 3‬ ‫4‬ ‫5. 4‬ ‫5‬ ‫‪τ‬‬ ‫8‬ ‫פרק 11: מעגלים מסדר ‪I‬‬ ‫הרצאות בחשמל 'מ‬ ‫פירוק שימושי נוסף של ‪ (v(t‬הוא לתופעת מעבר ומצב מתמיד כדלקמן:‬ ‫‪v(t) = v SS (t ) + v TR (t ) = I s R + ( v 0 − I s R ) e − t / RC‬‬ ‫) ‪ v SS (t‬תגובת המצב המתמיד ‪steady state response‬‬ ‫‪transient response‬‬ ‫) ‪ v TR (t‬תגובת המעבר‬ ‫הערה כאשר מתח הכניסה קבוע בזמן תגובת המצב המתמיד אינה תלויה בזמן,‬ ‫,‬ ‫:‬ ‫‪. v SS (t ) = v SS‬‬ ‫בהמשך נתייחס גם לתגובת מצב מתמיד עבור אותות מחזוריים.‬ ‫9‬ ‫פר ק 11: מעגלים מסד ר ‪I‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫דוגמה נוספת - מעגל דואלי עם סליל במקום קבל‬ ‫0=‪t‬‬ ‫0=‪t‬‬ ‫‪i‬‬ ‫0‪I‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪Vs‬‬ ‫‪L‬‬ ‫ע ד 0=‪ t‬הזרם בסליל הו א 0‪ I‬כפי שנקבע על ידי מקור הזרם. ברגע זה מנתקים את‬ ‫מקור הזרם ומחברים את מקור המתח. נניח שהמיתוג הוא אידיאלי. נרשו ם ‪ KVL‬ב-‬ ‫0>‪.t‬‬ ‫‪v L (t ) + v R (t ) = V s‬‬ ‫‪L‬‬ ‫)‪di(t) i(t‬‬ ‫+‬ ‫‪= Vs‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪i( 0 ) = I o‬‬ ‫‪V‬‬ ‫1 )‪di(t‬‬ ‫+‬ ‫‪i(t) = s‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪LG‬‬ ‫‪L‬‬ ‫במעגל זה הסיפור הפיסיקלי שונה, אבל קיבלנו משוואה דיפרנציאלית דומה ולכן‬ ‫הפתרון שיתקבל יהא דומה בחילופי קבועים ובחילופי זרם ומתח .‬ ‫‪i(t) = Vs G + ( I 0 − Vs G ) e LG‬‬ ‫‪−t‬‬ ‫01‬ ‫פר ק 11: מעגלים מסד ר ‪I‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫11‬ ‫פר ק 11: מעגלים מסד ר ‪I‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫ניתוח כללי של מעגלים מסדר ראשון‬ ‫4.11.‬ ‫המעגל מתואר על ידי משוואה מהסו ג‬ ‫1 ‪dy‬‬ ‫) ‪+ y (t ) = x (t‬‬ ‫‪dt τ‬‬ ‫0 ‪y (t = 0) = y‬‬ ‫‪ y‬ו- ‪ x‬יכולים להיות מתחים או זרמים.‬ ‫‪ τ‬הוא "קבוע הזמן" של המעגל, והוא נקבע לפי צרוף קבל- נגד )‪ (R-C‬או סליל נגד )‬ ‫‪.(L-R‬‬ ‫) ‪y (t ) = y ZI (t ) + y ZS (t‬‬ ‫) ‪y (t ) = y SS (t ) + yTR (t‬‬ ‫‪ , y ZI (0) = y o‬הוא לא תלוי ב- ‪ (x(t‬ונתון על ידי:‬ ‫הצגה ראשונה‬ ‫הצגה שניה‬ ‫לפי ההצגה הראשונ ה ‪ y ZI‬מקיי ם‬ ‫‪y ZI (t ) = y o e − t / τ‬‬ ‫‪ y ZS‬נתון על ידי:‬ ‫‪y ZS (t ) = e −t / τ‬‬ ‫′ ‪∫ e τ x(t ′) dt‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪t‬‬ ‫′‪t‬‬ ‫)0 = )0 ( ‪( y ZS‬‬ ‫)ניתן לבדוק על ידי הצבה במשוואה הדיפרנציאלית(.‬ ‫הערות:‬ ‫א.‬ ‫ב.‬ ‫ג.‬ ‫‪yo‬‬ ‫) ‪ y ZS (t‬היא פונקציה לינארית של הכניס ה ‪(x(t‬‬ ‫) ‪ y ZI (t‬היא פונקציה לינארית של תנאי התחל ה‬ ‫נתייחס אל ההצגה השנייה רק עבור כניסה קבועה או כניסה מחזורית‬ ‫וא ז ‪ y ss‬יהיה קבוע, עבור כניסה קבועה ומחזורי עבור כניסה מחזורית.‬ ‫ד.‬ ‫0 = ) ‪lim yTR (t‬‬ ‫∞→ ‪t‬‬ ‫21‬ ‫פר ק 11: מעגלים מסד ר ‪I‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫תכונות הקביעות בזמן‬ ‫תכונת הקביעות בזמן ניתנת לתיאור מדויק בעזרת פעולת ההזזה. נדגים זאת עבור‬ ‫תגובת מצב- אפס , ) ‪ , y ZS (t‬לכניסה המקיימ ת 0=)‪ x(t‬עבו ר 0<‪.t‬‬ ‫נזכור כי תגובת מצב- אפס מקיימ ת 0 = ) 0 ( ‪. y ZS‬‬ ‫) ‪ y ZS ,T (t‬את התגובה‬ ‫ונסמ ן‬ ‫את הכניסה המוזזת ב- ‪T‬‬ ‫) ‪xT (t ) ≡ x(t − T‬‬ ‫נסמ ן‬ ‫לכניס ה ‪(xT(t‬‬ ‫‪‬‬ ‫+ ) ‪y ZS ,T (t‬‬ ‫1‬ ‫כלומ ר ) ‪y ZS ,T (t ) = xT (t‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫טענה :‬ ‫) ‪ y ZS ,T (t ) = y ZS ( t − T‬עבו ר ‪t ≥ T‬‬ ‫הוכחת הטענה מתבצעת על ידי החלפת משתנ ה ‪ t ' = t − T‬וקבלת אותה המשוואה‬ ‫הדיפרנציאלית עם אותם תנאי התחלה כמו המשוואה המקורית ולכן יתקבל אות ו‬ ‫הפתרון )המוזז(.‬ ‫משמעות פיסיקליות:‬ ‫השהית הכניסה בשיעו ר ‪ T‬גורמת להשהיית מתאימה של התפוקה באותו שעור ללא‬ ‫שינוי בצורה .‬ ‫אנו אומרים כי המערכ ת קבועה בזמן) ‪ ,(Time-Invariance‬א ו אינווריאנטית להזזה‬ ‫) ‪x (t‬‬ ‫) ‪xT (t ) = x(t − T‬‬ ‫ימני ת .‬ ‫‪t‬‬ ‫‪T‬‬ ‫) ‪y ZS ,T (t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫) ‪y ZS (t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪t‬‬ ‫31‬ ‫פרק 11: מעגלים מסדר ‪I‬‬ ‫הרצאות בחשמל 'מ‬ ‫הערות:‬ ‫תכונת הקביעות בזמן )‪ (Time-Invariance‬מתקיימת עבור כל רשת המתוארת על ידי‬ ‫משוואה דיפרנציאלית ליניארית בעלת מקדמים קבועים בזמן.‬ ‫תכונת הקביעות בזמן מתקיימת גם עם תנאי התחלה שונים מאפס )כלשהם(, כאשר‬ ‫מקפידים להזיז גם את תנאי ההתחלה.‬ ‫‪I‬‬ ‫‪ (step‬של מעגל מסדר‬ ‫מוגדרת‬ ‫)‪response‬‬ ‫תגובת מדרגה‬ ‫כניסת מדרגה ) ‪u(t‬‬ ‫כדלקמן:‬ ‫)‪(step input‬‬ ‫)‪u(t‬‬ ‫1‬ ‫‪t‬‬ ‫0 < ‪0 t‬‬ ‫‪u (t ) = ‬‬ ‫0 ≥ ‪1 t‬‬ ‫זוהי כניסה נוחה לצורך בחינת תגובת רשת לתופעת מעבר הקפיצה ב 0=‪) t‬סגירת‬ ‫‬‫.‬ ‫מתג מעוררת את תופעת המעבר ובמצב המתמיד תופעת המעבר נעלמת‬ ‫.‬ ‫(‬ ‫התגובה למדרגה מוגדרת כתגובת המערכת לכניסת מדרגה, כאשר תנאי ההתחלה‬ ‫הם אפס ) ‪.( y ZS‬‬ ‫תגובת מערכת מסדר ראשון לכניסת מדרגה היא:‬ ‫) ‪y ZS (t‬‬ ‫‪y ZS (t ) = e‬‬ ‫−‬ ‫‪t‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪=e‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫′ ‪∫ e τ u (t ′) dt‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫0 ≥ ‪∫ e 1dt ′ = τ1 − e ; t‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫′‪t‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪t‬‬ ‫′‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫−‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫41‬ ‫פר ק 11: מעגלים מסד ר ‪I‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫51‬ ‫פר ק 11: מעגלים מסד ר ‪I‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫פונקצית ההלם והתגובה להלם‬ ‫בסעיף זה נתא ר‬ ‫5.11.‬ ‫פונקצית ההלם היא מעין פולס צר ביותר בעל שטח יחידה.‬ ‫פונקציה זו ונראה כיצד ניתן לתאר את תגובת מערכת לכניסה כלשהי בעזר ת‬ ‫התגובה לכניסת הלם .‬ ‫ראשית נתבונן בתגובה לפולס ולאוסף פולסים.‬ ‫נתבונן בכניסת פולס ברוח ב ∆ .‬ ‫)‪x(t‬‬ ‫1‬ ‫])∆ − ‪x(t ) = [u (t ) − u (t‬‬ ‫∆‬ ‫‪ , y (t ) = y ZS‬עד שמגיעים ל- ∆ = ‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫זהו מקרה קל לטיפול כי ב- 0=)0(‪ t=0 x‬ולכ ן‬ ‫וא ז 0=‪ x‬אב ל ‪ y (∆) = y o‬והמערכת מתחילה לדעוך בחזרה לפ י ‪y (t ) = y ZI‬‬ ‫) ‪y (t‬‬ ‫‪y ZS‬‬ ‫‪y ZI‬‬ ‫) ‪y (t ) = y ZS (t )+ y ZI (t‬‬ ‫↑‬ ‫∆ ≤ ‪0 ≤t‬‬ ‫↑‬ ‫‪∆ ≤t‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫∆‬ ‫‪t‬‬ ‫כיוון שהמערכת ליניארית, תגובה לשני פולסים תהא סכום שתי התגובות לכל פולס‬ ‫בנפרד ובזכו ת‬ ‫‪(x(t‬‬ ‫‪ (x(t‬כלשהו. נפרק את הפונקצי ה‬ ‫תכונה זו נוכל להכליל ולמצוא תגובה ל-‬ ‫לפרקי זמ ן ∆ קצרים מאד, ונבנה א ת ‪ (x(t‬כסופרפוזיציה של מלבנים ברוח ב ∆‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫61‬ ‫‪t‬‬ ‫פרק 11: מעגלים מסדר ‪I‬‬ ‫הרצאות בחשמל 'מ‬ ‫לכל מלבן כזה יש תגובה ‪ (y(t‬כמו קודם של עלייה ודעיכה וסכומן הוא התגובה‬ ‫,‬ ‫לאות הנתון.‬ ‫נגדיר פונקצית חלון כדלקמן:‬ ‫) ‪ ( ∆P∆ (t‬הוא פולס בגובה 1 וברוחב ∆ (‬ ‫∞‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∆ ‪P∆ (t ) = ‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∆≤‪0≤t‬‬ ‫אחרת‬ ‫)∆‪x(t ) = ∑ x (k∆) ⋅ ∆ ⋅ P∆ (t − k‬‬ ‫0= ‪k‬‬ ‫אז אפשר לכתוב‬ ‫:‬ ‫) ‪y ∆ (t‬‬ ‫נסמן ב‬ ‫-‬ ‫‪ ZSR‬של הרשת לכניסה ∆‪ P‬ואז עקב תכונת ההזזה,‬ ‫,‬ ‫את ה‬ ‫-‬ ‫התגובה לכניסה ) ∆‪ P∆ ( t − k‬היא ) ∆‪ . y ∆ ( t − k‬מכאן על ידי סופרפוזיציה נקבל את‬ ‫,‬ ‫התגובה הבאה לקירוב המדרגות:‬ ‫∑ = ) ‪y (t‬‬ ‫0= ‪k‬‬ ‫∞‬ ‫) ∆‪x (k∆) ⋅ ∆ ⋅ y ∆ ( t − k‬‬ ‫נעיין במצב גבול 0 → ∆ . נסמן את הזמן בקטע ‪ k‬ע" י ′ ‪ , k∆ = t‬ואת רוחב הקטע‬ ‫′ ‪ . ∆ = dt‬במצב זה ניתן להפוך את הסכום לאינטגרל.‬ ‫′ ‪y (t ) = ∫ x(t ′) h( t − t ′) dt‬‬ ‫0‬ ‫∞‬ ‫כאשר ‪ (h(t‬היא תגובת הרשת לפולס ברוחב 0 → ∆ ושטח יחידה.‬ ‫פולס כזה נקרא הלם ותגובת הרשת נקראת תגובה להלם.‬ ‫האינטגרל הנ"ל מכונה אינטגרל הקונבולוציה עבור מערכת סיבתית, והוא מאפשר‬ ‫לנו לחשב את תגובת המערכת לכניסה כלשהי, בהינתן התגובה להלם ‪.(h(t‬‬ ‫(.‬ ‫‪(t‬‬ ‫תאור "פונקצית ההלם‬ ‫"‬ ‫אחת הדרכים להציג את פונקצית ההלם היא כגבול של פונקצית הפולס כדלקמן‬ ‫:‬ ‫) ‪. δ(t ) = lim0 P∆ (t‬‬ ‫→∆‬ ‫0=‪ t‬וערך אפס לכל 0 ≠ ‪ . t‬כיוון שפונקצית ההלם‬ ‫) ‪ δ(t‬מקבלת ערך אינסופי ב‬ ‫-‬ ‫איננה חסומה נהוג לצייר אותה בעזרת חץ עבה כלפי מעלה:‬ ‫71‬ ‫פרק 11: מעגלים מסדר ‪I‬‬ ‫הרצאות בחשמל 'מ‬ ‫) ‪δ (t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪T‬‬ ‫) ‪δ (t − T‬‬ ‫‪t‬‬ ‫לכל ∆ , נדרוש קיום תכונה זו גם עבור פונקצית ) ‪δ(t‬‬ ‫∞‬ ‫∞−‬ ‫1 = ‪∫ P (t ) dt‬‬ ‫∆‬ מאחר וקיים‬ ‫‪−ε‬‬ ‫1 = ‪∫ δ (t ) dt = ∫ δ (t ) dt‬‬ ‫∞−‬ ‫‪ε‬‬ ‫∞‬ ‫דרישה זו בתוספת לדרישה כי פונקצית ההלם מקבלת ערך אפס לכל 0 ≠ ‪ t‬מהוות‬ ‫או ‪Impulse‬‬ ‫הגדרה לפונקצית ההלם ) ‪ δ(t‬הנקראת גם ‪Dirac delta function‬‬ ‫‪.Function‬‬ ‫הערה "פונקצית ההלם ) ‪ , δ(t‬איננה מקיימת את ההגדרה המתמטית של פונקציה‬ ‫"‬ ‫:‬ ‫לצורך הקורס שלנו‬ ‫רגילה כיוון שהיא סינגולרית ואיננה מוגדרת בנקודת האפס‬ ‫.‬ ‫,‬ ‫נתייחס אל ) ‪ δ(t‬כאל פונקציה לכל דבר.‬ ‫מהגדרה זו נובע כי לכל פונקציה ‪ (f(t‬שהיא רציפה ב 0=‪ ,t‬קיים‬ ‫‬‫∞‬ ‫∞−‬ ‫= ‪∫ f (t ) δ(t ) dt‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫)0( ‪f‬‬ ‫ניתן להראות זאת על ידי החשבון הבא:‬ ‫= ‪x(t) (t ) δ (t ) dt‬‬ ‫‪∫f‬‬ ‫∞‬ ‫∞−‬ ‫‪−ε‬‬ ‫≅ ‪∫ f (t ) δ (t ) dt‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫)0( ‪f (0) ∫ δ (t ) dt = f‬‬ ‫)‪u(t‬‬ ‫‪−ε‬‬ ‫∞‬ ‫∞−‬ ‫= ‪∫ δ (t ) dt‬‬ ‫)0( ‪f‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫דרך נוספת לבטא את פונקצית ההלם ) ‪ δ(t‬היא כנגזרת של פונקצית המדרגה.‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫∆‬ ‫0→∆‬ ‫‪dx(t)/dt‬‬ ‫∆/1‬ ‫‪δ (t ) = du (t ) / dt‬‬ ‫81‬ ‫∆‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫פרק 11: מעגלים מסדר ‪I‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫חישוב התגובה להלם של מערכת מסדר ראשון‬ ‫נציג שלוש גישות לחישוב:‬ ‫גישה ‪ :I‬חישוב התגובה לפולס ) ‪ P∆ (t‬ולאחר מכן השאפת רוחבו ק לאפס.‬ ‫= ) ‪P∆ (t‬‬ ‫1‬ ‫נרשום את פונקצית הפולס כהפרש שתי מדרגות ])∆ − ‪[u (t ) − u (t‬‬ ‫∆‬ ‫והתגובה תהא הפרש התגובות למדרגה‬ ‫‪t‬‬ ‫∆− ‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪−‬‬ ‫−‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪e τ − 1 −τ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y ∆ (t ) = τ 1 − e τ − τ 1 − e τ = τ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪∆ ‬‬ ‫∆‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∆‬ ‫בעזרת כלל להופיטל נקבל:‬ ‫‪h(t ) = lim y ∆ (t ) = e‬‬ ‫0→ ∆‬ ‫−‬ ‫‪t‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫גישה ‪ :II‬חישוב התגובה להלם כנגזרת התגובה למדרגה.‬ ‫טענה: התגובה להלם היא נגזרת התגובה למדרגה.‬ ‫הוכחה: התגובה למדרגה מקיימת את המשוואה‬ ‫91‬ ‫פר ק 11: מעגלים מסד ר ‪I‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫1 ‪dy‬‬ ‫) ‪+ y( t ) = u( t‬‬ ‫‪dt τ‬‬ ‫0 = ) − 0 = ‪y( t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫על ידי גזירה בשני אגפים ושימוש בקש ר ) ‪ u ( t ) = δ ( t‬נקבל כ י ) ‪ y ( t‬מקיימת את‬ ‫‪‬‬ ‫המשוואה עבור כניסת הלם, כלומ ר ) ‪. h( t ) = y ( t‬‬ ‫הערה: טענה זו נכונה לכל מערכת ליניארית קבועה בזמן.‬ ‫והנגזרת של ביטוי זה היא‬ ‫‪t‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫מצאנו כי התגובה למדרגה היא: ‪y (t ) = τ 1 − e ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫התגובה להל ם‬ ‫‪‬‬ ‫‪h(t ) = y (t ) = τ‬‬ ‫−‬ ‫‪1 −τ‬‬ ‫‪e =e τ‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫פתרון המשוואה הדיפרנציאלית ההומוגנית שתנאי ההתחלה של ה‬ ‫גישה ‪:III‬‬ ‫נובעים מההלם .‬ ‫1 ‪dy‬‬ ‫) ‪+ y( t ) = x( t ) = δ ( t‬‬ ‫‪dt τ‬‬ ‫+0‬ ‫+0‬ ‫+0‬ ‫0 = ) − 0 (‪y‬‬ ‫נבצע אינטגרציה בשני אגפי המשוואה בסביבת האפס:‬ ‫) ‪dy (t‬‬ ‫1‬ ‫‪∫− dt dt + τ ∫− y(t )dt = ∫− δ (t )dt‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫ונקבל מתוך שיקולי איזון הלמים כי:‬ ‫1‬ ‫1 = 0 + ) − 0( ‪y ( 0 + ) − y‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫⇒‬ ‫1 = ) + 0( ‪y‬‬ ‫שיקול איזון ההלמים כאן הוא כי לא יתכן שתמצא נגזרת של הלם רק בצד אחד של‬ ‫המשוואה .‬ ‫עכשיו, בעזרת תנאי ההתחלה החדש נוכל לרשום את המשוואה ההומוגנית‬ ‫1 ‪dy‬‬ ‫0 = ) ‪+ y (t‬‬ ‫‪dt τ‬‬ ‫1 = ) + 0 = ‪y (t‬‬ ‫02‬ ‫פר ק 11: מעגלים מסד ר ‪I‬‬ ‫‪t‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫שפתרונה הוא התגובה להל ם ‪. h(t ) = e −τ‬‬ ‫התגו ב ה לכניס ה כללית:‬ ‫נציב את התגובה להלם באנטגרל הקונבולוציה ונקבל את התגובה לאות כניסה‬ ‫כלשהוא :‬ ‫‪y ZS (t ) = ∫ x (t ′) h( t − t ′) dt ′ = ∫ x (t ′) e‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫∞‬ ‫‪t‬‬ ‫−‬ ‫) ' ‪( t −t‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪dt ′ = e‬‬ ‫−‬ ‫‪tt‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫′ ‪∫ x(t ′) e τ dt‬‬ ‫0‬ ‫'‪t‬‬ ‫הערות והדגש י ם:‬ ‫שהיא‬ ‫0 = )′ ‪h ( t − t‬‬ ‫0 < '‪⇐ t − t‬‬ ‫בחישוב האחרון השתמשנו בתכונה הבא ה‬ ‫תכונת סיבתיות של התגובה להלם .‬ ‫התגובה להלם מוגדרת לכל מערכת לינארית קבועה בזמן ובכל רשת סיבתית כזו‬ ‫יתקיי ם‬ ‫′ ‪y ZS (t ) = ∫ x (t ′) h( t − t ′) dt‬‬ ‫0‬ ‫‪t‬‬ ‫פעולה זו מכונה קונבולוציה )קיפול( ומסומנת כ ך ) ‪. y ZS (t ) = x(t ) * h(t‬‬ ‫על פעולה זו בהקשר של מערכות לינאריות כלליות נלמד בפירוט בקורס "אותו ת‬ ‫ומערכות" .‬ ‫12‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 12/16/2010 for the course BIO 6785 taught by Professor Shuit during the Spring '10 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online