פרק 12_1

פר×&s...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫פרק 21: מעגלים מסדר ‪II‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫תגובה זמנית של מעגלים מסדר ‪II‬‬ ‫פרק 21:‬ ‫בפרק זה נמשיך לטפל ברשתות דינמיות ונרחיב את הדיון למערכות מסדר שני‬ ‫כלומר רשתות המתוארות ע"י משוואה דיפרנציאלית מסדר שני.‬ ‫נתבונן לדוגמא במעגל הבא )מעגל ‪ C-L-R‬מקבילי(:‬ ‫0=‪t‬‬ ‫)‪v(t‬‬ ‫‪ic‬‬ ‫‪is‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪iR‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪iL‬‬ ‫‪L‬‬ ‫ונסמן את תנאי ההתחלה כדלקמן:‬ ‫0‪v( 0) = V‬‬ ‫0 ‪iL ( 0) = I‬‬ ‫נפריד את הניתוח ל- ‪ ZIR‬ו ל- ‪.ZSR‬‬ ‫)משוואה הומוגנית(‬ ‫: ‪KCL‬‬ ‫0 = ) ‪iC ( t ) + i R ( t ) + i L ( t‬‬ ‫‪C‬‬ ‫) ‪dv( t‬‬ ‫) ‪v( t‬‬ ‫+‬ ‫0 = ) ‪+ iL ( t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ה-‪ZIR‬‬ ‫1.21. ניתוח‬ ‫על מנת לקבל משוואה דיפרנציאלית עם משתנה יחיד נשתמש בקשר‬ ‫‪: v( t ) = L‬‬ ‫‪LC‬‬ ‫) ‪d 2iL ( t‬‬ ‫‪L di L‬‬ ‫+‬ ‫0 = ) ‪+ iL ( t‬‬ ‫2‬ ‫‪R dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫) ‪di ( t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫1‬ ‫פרק 21: מעגלים מסדר ‪II‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫נחלק ב- ‪ LC‬ונקבל‬ ‫)1.21(‬ ‫) ‪d 2iL ( t‬‬ ‫) ‪1 di L ( t‬‬ ‫1‬ ‫+‬ ‫+‬ ‫0 = ) ‪iL ( t‬‬ ‫2‬ ‫‪RC dt‬‬ ‫‪LC‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫עם תנאי ההתחלה הבאים:‬ ‫0 ‪i L ( 0) = I‬‬ ‫;‬ ‫‪di L‬‬ ‫0‪( 0) = V‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪L‬‬ ‫נציג סימונים חדשים:‬ ‫= 0 ‪ ω‬נקרא תדר טבעי או תדר תהודה של המעגל ביחידות של רדיאן‬ ‫1‬ ‫‪LC‬‬ ‫לשנייה.‬ ‫נקרא מקדם הריסון והוא חסר יחידות.‬ ‫=‪ξ‬‬ ‫1‬ ‫‪L/C‬‬ ‫=‬ ‫0 ‪2 RCω‬‬ ‫‪2R‬‬ ‫יחידות:‬ ‫1− ‪[ω 0 ] = sec‬‬ ‫2 ‪; [ RC ] = sec ; [ LC ] = sec‬‬ ‫נבטא את המשוואה הדיפרנציאלית בעזרת הסימונים הנ"ל:‬ ‫)2.21(‬ ‫) ‪d 2iL ( t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫2‬ ‫0 ‪+ 2ξ ω‬‬ ‫) ‪di L ( t‬‬ ‫0 = ) ‪+ ω 02 i L ( t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫פתרון :‬ ‫‪i L ( t ) = Ke st‬‬ ‫ננחש את צורת הפתרון‬ ‫נגזור ונציב במשוואה, ונקבל את המשוואה האופיינית:‬ ‫2‬ ‫0 = 0 ‪s 2 + 2ξω0 S + ω‬‬ ‫שפתרונותיה הם:‬ ‫)3.21(‬ ‫1 − 2 ‪s1, 2 = − ξω0 ± ω 0 ξ‬‬ ‫יותר כי ‪ s‬יכול להיות מרוכב.‬ ‫הפתרון של משוואה 2.21 הוא מהצורה:‬ ‫)4.21(‬ ‫‪i L ( t ) = K 1e s1t + K 2 e s2t‬‬ ‫פרט למקרה הפרטי 2 ‪ s1 = s‬שבו הפתרון הוא‬ ‫‪−t / τ‬‬ ‫‪ , y 0 e‬עכשיו הפתרון מסובך‬ ‫נזכור כי עבור מעגל מסדר ‪ , I‬הפתרון ל- ‪ ZSR‬היה‬ ‫2‬ ‫פרק 21: מעגלים מסדר ‪II‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫‪i L ( t ) = ( K 1 + K 2 t ) e s1t‬‬ ‫)5.21(‬ ‫נעבור לחישוב 1 ‪ K‬ו- 2 ‪ K‬בעזרת תנאי ההתחלה.‬ ‫פתרון מהצורה )4.21(, כאשר 2 ‪ s1 , s‬ממשיים‬ ‫ריסון יתר 1> ‪ξ‬‬ ‫1.‬ ‫ושליליים.‬ ‫0 ‪i L ( 0) = K1 + K 2 = I‬‬ ‫‪di L‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫0= ‪t‬‬ ‫= 2 ‪= K 1 s1 + K 2 s‬‬ ‫0‪V‬‬ ‫‪L‬‬ ‫⇒‬ ‫פתרון‬ ‫0‪V‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‪− I 0 s‬‬ ‫‪K1 = L‬‬ ‫‪‬‬ ‫2 ‪s1 − s‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‪V‬‬ ‫1‪ K = L − I 0 s‬‬ ‫2‪‬‬ ‫1‪s 2 − s‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− s 2 I 0 s1t VL0 − s1 I 0 s2t‬‬ ‫= ) ‪iL ( t‬‬ ‫−‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫2 ‪s1 − s‬‬ ‫2 ‪s1 − s‬‬ ‫מאחר וידוע כי 1‪ s‬ו- 2 ‪ s‬שליליים, מתקבלים שני אקספוננטים דועכים. האיטי יותר‬ ‫דומיננטי, והמערכת מתנהגת כמו מערכת מסדר ‪.I‬‬ ‫ריסון קריטי 1 ק פתרון מהצורה )5.21(‬ ‫=‬ ‫‪i L ( t ) = ( K 1 + K 2 t ) e −ω 0 t‬‬ ‫0 ‪ s1, 2 = − ω‬כלומר הפתרון הוא‬ ‫2.‬ ‫0‪V‬‬ ‫‪L‬‬ ‫ובעזרת הצבת תנאי התחלה מוצאים את ערכי הקבועים ומקבלים‬ ‫‪‬‬ ‫‪V ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i L ( t ) = I 0 + ω 0 I 0 + 0 t e −ω 0t‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫פתרון מהצורה )4.21(‬ ‫ריסון חסר 1 < 0 > ‪ξ‬‬ ‫3.‬ ‫2 ‪s1, 2 = −ξω0 ± jω 0 1 − ξ‬‬ ‫כאן ‪ s‬מורכב )יש גם ריסון וגם תנודה( ומתקבל הפתרון הבא:‬ ‫= ) ‪iL ( t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ω 0 −ξω0t ‬‬ ‫0‪V‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪⋅ sin ω d t ‬‬ ‫+ ) ‪ I 0 sin ( ω d t + θ‬‬ ‫‪ωd‬‬ ‫‪ωo L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫3‬ ‫פרק 21: מעגלים מסדר ‪II‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫2 ‪ωd ≡ ω0 1 − ξ‬‬ ‫2 ‪ 1−ξ‬‬ ‫‪θ = arctan‬‬ ‫‪ξ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫פתרון מהצורה )4.21(‬ ‫0 ‪s1 , s 2 = ± jω‬‬ ‫0 ‪ ω d = ω‬ו-‬ ‫ריסון אפס 0 ‪= ξ‬‬ ‫4.‬ ‫זהו מקרה פרטי של ג', עם 0 = ‪ ξ‬מקבלים 2 / ‪, θ = π‬‬ ‫1 = ‪e −ξω0t‬‬ ‫+ ) ‪i L ( t ) = I 0 cos( ω o t‬‬ ‫0‪V‬‬ ‫) ‪sin ( ω 0 t‬‬ ‫‪ω0 L‬‬ ‫תאור הפתרונות במישור המורכב של ‪ s‬ובמישור הזמן:‬ ‫2 ‪ s1 , s‬הם שורשי הפולינום האופייני והם מכונים התדירויות המורכבות האופייניות‬ ‫של המעגל.‬ ‫בעמוד הבא מתואר מיקום השורשים במישור המרוכב עבור כל אחד מארבעת‬ ‫המקרים שניתחנו. המישור המרוכב הוא המישור בו ציר ‪ x‬הוא ) ‪ , Re( s‬כלומר,‬ ‫החלק הממשי של ‪ s‬וציר ‪ y‬הוא ) ‪ , Im( s‬החלק המדומה של ‪.s‬‬ ‫בגרפים מימין למיקום השורשים מתואר המהלך הזמני של הזרם בסליל כאשר‬ ‫בקו הרציף מתוארת התגובה לתנאי התחלה בו‬ ‫הזרם במצב ההתחלתי חיובי.‬ ‫המתח הוא אפס ובקו מקוקו המתח במצב ההתחלתי חיובי.‬ ‫שאלות למחשבה:‬ ‫כיצד תתנהג המערכת אם אחד השורשים ימצא בצד ימין של המישור המרוכב ?‬ ‫האם זה יכול לקרות במעגל שלנו )קבל נגד וסליל במקביל( ?‬ ‫4‬ ‫פרק 21: מעגלים מסדר ‪II‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫)‪Im(s‬‬ ‫)‪Re(s‬‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫2-‬ ‫0=‪ξ‬‬ ‫0= ‪ξ‬‬ ‫0 ‪s i , 2 = ± jω‬‬ ‫4-‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫01‬ ‫51‬ ‫02‬ ‫ריסון אפס: תנודות במשרעת קבועה‬ ‫)‪Im(s‬‬ ‫)‪Re(s‬‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1-‬ ‫2. 0 = ‪ξ‬‬ ‫1< ‪0 <ξ‬‬ ‫2 ‪s1, 2 = −ξω0 ± jω 0 1 − ξ‬‬ ‫2-‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫01‬ ‫51‬ ‫02‬ ‫ריסון חסר: תנודות דועכות‬ ‫)‪Im(s‬‬ ‫)‪Re(s‬‬ ‫2‬ ‫5. 1‬ ‫1‬ ‫5. 0‬ ‫1=‪ξ‬‬ ‫1= ‪ξ‬‬ ‫0 ‪s1, 2 = − ω‬‬ ‫)‪Im(s‬‬ ‫)‪Re(s‬‬ ‫0‬ ‫0 ‫5‬ ‫01‬ ‫51‬ ‫02‬ ‫ריסון קריטי: דעיכה בלבד‬ ‫5. 1‬ ‫2=‪ξ‬‬ ‫1‬ ‫5. 0‬ ‫0‬ ‫1> ‪ξ‬‬ ‫1 − ‪s1, 2 = −ξω0 ± ω 0 ξ‬‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫01‬ ‫51‬ ‫02‬ ‫ריסון יתר: דעיכה בלבד‬ ‫5‬ ‫פרק 21: מעגלים מסדר ‪II‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫גורם הטיב ‪Q‬‬ ‫גורם הטיב ‪ ((Quality factor Q‬הנו מדד נוסף לאפיון מערכת מסדר שני ובמיוחד‬ ‫מעגלי תהודה ומסננים חשמליים.‬ ‫≡‪Q‬‬ ‫1‬ ‫=‬ ‫‪2ξ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪L/C‬‬ ‫‪=R‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫∞‬ ‫1 −∞‬ ‫2‬ ‫2/1‬ ‫2/1 <‬ ‫‪ξ‬‬ ‫1− 0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1>‬ ‫ככל שגורם הטיב ‪ Q‬קטן יותר כך גדלה האנרגיה המתבזבזת במעבר לחום דרך‬ ‫הנגד.‬ ‫מאזן אנרגיה במעגל תהודה אידיאלי‬ ‫נבדוק את מאזן האנרגיה במעגל ‪ LC‬חסר הפסדים, כלומר ללא נגד )ריסון אפס 0‬ ‫‪.(= ξ‬‬ ‫+ ) ‪i L ( t ) = I 0 cos( ω o t‬‬ ‫0‪V‬‬ ‫) ‪sin ( ω 0 t‬‬ ‫‪ω0 L‬‬ ‫) ‪v L ( t ) = v c ( t ) = V0 cos ( ω 0 t ) − LI 0 ω o sin ( ω o t‬‬ ‫לאחר הצבה בביטוי לאנרגיה ושימוש במעט טריגונומטריה נקבל אל התוצאה‬ ‫הבאה:‬ ‫= ) ‪W (t‬‬ ‫21‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫20 ‪Cv (t ) + Li 2 (t ) = = CV02 + LI‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫וחזרה.‬ ‫בנוכחות התנגדות במעגל נקבל ירידה באנרגיה האגורה בקבל ובסליל עם הזמן.‬ ‫קיבלנו כי האנרגיה הכוללת קבועה, כלומר האנרגיה עוברת מהסליל אל הקבל‬ ‫6‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 12/16/2010 for the course BIO 6785 taught by Professor Shuit during the Spring '10 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online