פרק 12_2

פרק 12_2 - ‫פ×

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫פרק 21: במעגלים מסדר ‪II‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫, תגובה למדרגה ותגובה להלם‬ ‫ה-‪ZSR‬‬ ‫2.21. ניתוח‬ ‫נתבונן שוב במעגל המקבילי שלנו, נוסיף לחישוב ‪) KCL‬משוואה 2.21( את זרם‬ ‫המקור ונקבל את המשוואה הבאה שאותה נפתור כאשר תנאי ההתחלה הם אפס.‬ ‫)6.21(‬ ‫) ‪d 2 iL ( t‬‬ ‫‪di ( t ) dt‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪+ 2ξω0 L‬‬ ‫) ‪+ ω 0 iL ( t ) = ω 0 iS ( t‬‬ ‫2‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫; 0 = )0 ( ‪i L‬‬ ‫‪di L‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫0=‬ ‫0= ‪t‬‬ ‫נפתור בדרך המקובלת לגבי משוואות דיפרנציאליות: הפתרון הכללי הוא סכום‬ ‫של פתרון כללי של המשוואה ההומוגנית ופתרון פרטי של המשוואה המלאה.‬ ‫‪) K 1e s1t + K 2 e s2t‬פרט למקרה‬ ‫פתרון המשוואה ההומוגנית כפי שראינו ב- ‪:ZIR‬‬ ‫2 ‪( s1 = s‬‬ ‫)פונקצית מדרגה(.‬ ‫נבדוק את הפתרון הפרטי כאשר הכניסה היא ) ‪i S ( t ) = I S u ( t‬‬ ‫במקרה זה, עבור 0 ≥ ‪ t‬פתרון פרטי נוח הוא ‪) i L ( t ) = I S‬קבוע(, לכן:‬ ‫)7.21(‬ ‫‪i L ( t ) = K 1 e s1t + K 2 e s2t + I S‬‬ ‫2 ‪s1, 2 = −ξω0 ± j ω 0 1 − ξ‬‬ ‫בעזרת תנאי התחלה נמצא את הקבועים במקרים השונים:‬ ‫‪ S 2 e S1t − S1e S 2t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪iL ( t ) = ‬‬ ‫‪+ 1 I S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2 ‪S1 − S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i L ( t ) = 1 − 0 e −ξω0t sin ( ω d t + θ ) I S‬‬ ‫‪ ωd‬‬ ‫‪‬‬ ‫1> -‬ ‫ריסון יתר‬ ‫א.‬ ‫ריסון חסר 0> 1< ‪ξ‬‬ ‫ב.‬ ‫‪ωd = ω0 1 − ξ‬‬ ‫2‬ ‫= 0‪; ω‬‬ ‫1‬ ‫‪LC‬‬ ‫‪; θ = arctg‬‬ ‫2 ‪1−ξ‬‬ ‫‪ξ‬‬ ‫ריסון אפס 0=‬ ‫‪i L ( t ) = [1 − cos( ω 0 t ) ] I S‬‬ ‫ג.‬ ‫21-7‬ ‫פרק 21: במעגלים מסדר ‪II‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫21-8‬ ‫פרק 21: במעגלים מסדר ‪II‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫להלן תאור גרפי של הזרם ) ‪ i L ( t‬בתגובה למדרגה.‬ ‫2‬ ‫5.1‬ ‫1‬ ‫5.0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫8.0‬ ‫6.0‬ ‫4.0‬ ‫2.0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫01‬ ‫51‬ ‫02‬ ‫0=‪ξ‬‬ ‫2‬ ‫5.1‬ ‫1‬ ‫5.0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫8.0‬ ‫6.0‬ ‫4.0‬ ‫2.0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫2.0= ‪ξ‬‬ ‫5‬ ‫01‬ ‫51‬ ‫02‬ ‫5‬ ‫01‬ ‫51‬ ‫02‬ ‫1=‪ξ‬‬ ‫2=‪ξ‬‬ ‫01‬ ‫51‬ ‫02‬ ‫פירוש פיסיקלי של התגובה למדרגה‬ ‫נזכיר כי התגובה למדרגה מחושבת עבור תנאי התחלה אפס )‪(ZSR‬‬ ‫0 = )0 ( ‪i L‬‬ ‫‪ v L = L‬ולכן גם‬ ‫,‬ ‫‪di L‬‬ ‫0 = )0 (‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪di L‬‬ ‫המעגל מקבילי כלומר ‪ , v = v R = v L‬והמתח על הסליל הוא‬ ‫‪dt‬‬ ‫0 = ) 0 (‪. v‬‬ ‫ב- 0 = ‪ t‬אין קפיצה במתח הקבל כי הזרם המסופק הוא סופי. באופן דומה אין‬ ‫קפיצה בזרם דרך הסליל, כלומר 0 = ‪ . i L‬לכן ב- + 0 = ‪ t‬אין זרם דרך הנגד )כי‬ ‫0 = ‪ ( v R‬וכל הזרם זורם דרך הקבל המשמש כקצר. לאחר מכן, עם טעינת הקבל,‬ ‫הזרם מתחלק על פני הנגד והסליל עד שמגיעים למצב ) ∞ → ‪ ( t‬שבו כל הזרם‬ ‫הנדנודים נגרמים עקב חילופי אנרגיה בין הקבל והסליל עד‬ ‫זורם סליל.‬ ‫להתייצבות.‬ ‫21-9‬ ‫פרק 21: במעגלים מסדר ‪II‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫הערה:‬ ‫מתוך זרם הסליל ‪ i L‬ניתן לחשב את שאר המתחים והזרמים, למשל באופן הבא:‬ ‫‪v( t ) = L‬‬ ‫) ‪di L ( t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫= ) ‪iR ( t‬‬ ‫) ‪v( t‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪iC ( t ) = C‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫התגובה להלם של מעגל ‪ RLC‬מקבילי - חישוב באמצעות איזון‬ ‫הלמים‬ ‫נרשום את ‪ KCL‬עבור המעגל עם ערור הלם ונחשב את הזרם המתקבל בסליל‬ ‫בתגובה להלם.‬ ‫‪d 2iL‬‬ ‫‪di‬‬ ‫) ‪LC 2 + LG L + i L = δ ( t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫)‪:(ZSR‬‬ ‫אפס‬ ‫התחלה‬ ‫תנאי‬ ‫עבור‬ ‫מוגדרת‬ ‫להלם‬ ‫;‬ ‫)8.21(‬ ‫התגובה‬ ‫− ‪di L‬‬ ‫0= 0‬ ‫‪dt‬‬ ‫0 = − 0 ‪. iL‬‬ ‫לא כי אם היה כולל אז היה לנו בצד שמאל‬ ‫לא כולל‬ ‫)(‬ ‫)(‬ ‫האם ) ‪ i L ( t‬יכול לכלול הלמים?‬ ‫‪di L‬‬ ‫נגזרות של הלמים שלא ניתן היה לאזן אותם עם אגף ימין. לכן גם‬ ‫‪dt‬‬ ‫הלמים.‬ ‫כולל מדרגה. ‪ i L‬לא משתנה בקפיצות.‬ ‫‪di L‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫כולל הלם!‬ ‫‪d 2iL‬‬ ‫רק‬ ‫‪dt‬‬ ‫0 > ‪ t‬הכניסה היא אפס‬ ‫מכיוון שההלם שונה מאפס רק עבור 0 = ‪ , t‬הרי עבור‬ ‫בזמן + 0 = ‪. t‬‬ ‫והתגובה היא ‪ .ZIR‬כלומר השפעת ההלם ניתנת לביטוי כתנאי התחלה חדשים‬ ‫כדי לחשב את תנאי ההתחלה החדשים נבצע אינטגרציה על המשוואה 8.21‬ ‫בגבולות הזמנים מ- − 0 = ‪ t‬ל- + 0 = ‪: t‬‬ ‫0‬ ‫‪di‬‬ ‫‪di‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ′ ‪LC L 0 + − LC L 0 − + LG i L 0 + − LG i L 0 − + ∫ i L ( t ′) dt‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫−0‬ ‫)(‬ ‫)(‬ ‫[‬ ‫)(‬ ‫]) (‬ ‫+‬ ‫+0‬ ‫0‬ ‫′ ‪∫ q δ ( t ′)dt‬‬ ‫−‬ ‫1=‬ ‫מהניתוח לעיל קיבלנו כי הזרם ‪ i L‬סופי ולא משתנה בקפיצה ולכן‬ ‫+0‬ ‫−0‬ ‫0 = ′ ‪∫ i ( t ′) dt‬‬ ‫‪L‬‬ ‫,‬ ‫0 = − 0 ‪iL 0 + = iL‬‬ ‫)(‬ ‫)(‬ ‫21-01‬ ‫פרק 21: במעגלים מסדר ‪II‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫לכן:‬ ‫+ ‪di L‬‬ ‫0‬ ‫‪dt‬‬ ‫) ‪d 2iL ( t‬‬ ‫) ‪di ( t‬‬ ‫‪LC‬‬ ‫‪+ LG L‬‬ ‫0 = ) ‪+ iL ( t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫0 = + 0 ‪iL‬‬ ‫)(‬ ‫−‬ ‫− ‪di L‬‬ ‫1‬ ‫=0‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪LC‬‬ ‫)(‬ ‫המשוואה עבור 0 > ‪ t‬היא הומוגנית:‬ ‫עם תנאי ההתחלה שחישבנו:‬ ‫)(‬ ‫+ ‪di L‬‬ ‫1‬ ‫=0‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪LC‬‬ ‫)(‬ ‫את הבעיה הזו פתרנו כאשר טיפלנו במקרה של ‪) ZIR‬משוואה 1.21(.‬ ‫הפתרון בהנחת ריסון חסר הוא:‬ ‫= ) ‪iL ( t‬‬ ‫‪ω 0 −ξ ω 0t‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ωd‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‪V‬‬ ‫‪⋅ sin ω d t ‬‬ ‫+ ) ‪ I 0 sin ( ω d t + θ‬‬ ‫‪ωo L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫= 0‪I 0 = 0 ; V‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫2 = ‪; LC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫0‪ω‬‬ ‫נציב‬ ‫ונקבל )עבור 0 > ‪:( t‬‬ ‫‪ωd = ω0 1 − ξ‬‬ ‫2‬ ‫כאשר‬ ‫2‬ ‫‪ω 0 −ξω0t‬‬ ‫= ) ‪iL ( t‬‬ ‫‪e‬‬ ‫) ‪⋅ sin ( ω d t‬‬ ‫‪ωd‬‬ ‫‪iL‬‬ ‫2‬ ‫‪ω 0 −ξω0 t‬‬ ‫‪e‬‬ ‫המעטפת :‬ ‫‪ωd‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪ωd‬‬ ‫ולאחר שמצאנו את הזרם בסליל, ניתן לחשב את שאר המשתנים במעגל, למשל‬ ‫מתח הקבל יהיה:‬ ‫21-11‬ ‫פרק 21: במעגלים מסדר ‪II‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫2‬ ‫‪di L‬‬ ‫‪L ω 0 −ξω0t‬‬ ‫=‬ ‫‪e‬‬ ‫) ‪⋅ cos( ω d t + φ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪C ωd‬‬ ‫‪φ = arctan‬‬ ‫‪ξ‬‬ ‫2‪1−ξ‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪vC ( t ) = L‬‬ ‫הערה:‬ ‫ניתן לתאר את המשמעות הפיסיקלית של ערור הלם באופן הבא: נניח כי המתג‬ ‫במעגל שלמדנו נסגר למשך זמן ‪ , τ‬כך שזורם ‪ I S‬כל עוד המתג סגור, ואח"כ הוא‬ ‫נפתח. נקרב את המצב הזה לערור פונקצית הלם ) ‪ δ ( t‬על ידי הקטנת משך הזמן‬ ‫לאפס תוך שמירה על כמות המטען המסופק ‪ , q = I sτ‬אם נבחר במטען יחידה‬ ‫1 = ‪ q‬נקבל ערור של הלם יחידה, עבורו חישבנו את תגובת המעגל.‬ ‫21-21‬ ‫פרק 21: במעגלים מסדר ‪II‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫טורי – )דואליות (‬ ‫‪RLC‬‬ ‫3.21. מעגל‬ ‫הבא‬ ‫מעגל ‪ RLC‬טורי הוא דואלי למעגל ‪ RLC‬מקבילי, כפי שנראה להלן. נעיין במעגל‬ ‫0 ‪. i( 0 ) = i L ( 0) = I‬‬ ‫עם תנאי ההתחלה 0‪V0 ( 0 ) = V‬‬ ‫+‬ ‫‪R‬‬ ‫‬‫‪C‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪iL‬‬ ‫‪Vs‬‬ ‫נרשום את ‪ KVL‬עבור המעגל:‬ ‫) ‪v R ( t ) + vC ( t ) + v L ( t ) = Vs ( t‬‬ ‫1‬ ‫) ‪di ( t‬‬ ‫‪i ( t ) R + ∫ i ( t ′)dt ′ + L‬‬ ‫) ‪= Vs ( t‬‬ ‫∞− ‪C‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪t‬‬ ‫⋅ ‪ , RC‬או‬ ‫) ‪dvC ( t‬‬ ‫) ‪d 2 vC ( t‬‬ ‫‪+ vC ( t ) + LC‬‬ ‫) ‪= Vs ( t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫2 ‪dt‬‬ ‫ונקבל‬ ‫‪i( t ) = C‬‬ ‫‪dvC‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫נציב‬ ‫‪d 2 vC‬‬ ‫‪v‬‬ ‫)‪V (t‬‬ ‫‪R dvC‬‬ ‫+‬ ‫‪+ C=s‬‬ ‫2‬ ‫‪L dt‬‬ ‫‪LC‬‬ ‫‪LC‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫0‪v C ( 0 ) = V‬‬ ‫‪dvC‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫=‬ ‫0= ‪t‬‬ ‫0‪I‬‬ ‫‪C‬‬ ‫עם תנאי התחלה‬ ‫זו שוב משוואה דיפרנציאלית מסדר שני, כלומר מהצורה:‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫0 ‪ + 2ξω0 x + ω 0 x = yω‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= 0‪ω‬‬ ‫=‪ξ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪RC‬‬ ‫=‬ ‫‪2 Lω 0 2 L‬‬ ‫1‬ ‫21-31‬ ‫1‬ ‫‪LC‬‬ ‫=‪Q‬‬ ‫כאשר גם הפעם‬ ‫‪L‬‬ ‫‪C‬‬ ‫אבל‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫=‬ ‫‪2ξ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫פרק 21: במעגלים מסדר ‪II‬‬ ‫הרצאות בחשמל מ'‬ ‫ובמעגל הטורי המשתנה הוא ) ‪ vC ( t‬שממלא את מקומו של ) ‪ i L ( t‬במעגל המקבילי.‬ ‫למעשה כל מערכת שנוכל לתאר כמשוואה דיפרנציאלית מסדר שני כנ"ל תתנהג‬ ‫באותה הצורה וניתן להשתמש באותם הפתרונות תוך החלפת המשתנים‬ ‫המתאימים.‬ ‫נתבונן למשל במערכת המכנית אשר בה מופעל כוח על מסה המחוברת לקפיץ‬ ‫ונמצאת בחיכוך עם משטח, כמתואר בציור הבא.‬ ‫‪k‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ F = m + Bx + kx‬ולכן גם מערכת זו‬ ‫‪F‬‬ ‫המשוואה המתארת את מיקום המסה היא‬ ‫דועכת וכו'(.‬ ‫דואלית למעגלים שראינו וניתן לחזות בה באותן התופעות )ריסון קריטי, התנדנדות‬ ‫בטבלא הבאה מסוכמת האנלוגיה בין המערכות שראינו.‬ ‫מעגל מקבילי‬ ‫מעגל טורי‬ ‫קפיץ מסה‬ ‫ומשכך‬ ‫)‪Is (t‬‬ ‫‪G = 1/ R‬‬ ‫) ‪iL ( t‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪L‬‬ ‫) ‪Vs ( t‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪C‬‬ ‫= 0‪ω‬‬ ‫= ‪ξp‬‬ ‫1‬ ‫‪LC‬‬ ‫) ‪vC ( t‬‬ ‫1‬ ‫= 0‪ω‬‬ ‫‪LC‬‬ ‫)‪F(t‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪1/ k‬‬ ‫) ‪f k = kx( t‬‬ ‫= 0‪ω‬‬ ‫=‪ξ‬‬ ‫‪1L‬‬ ‫‪2R C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪L‬‬ ‫= ‪ξs‬‬ ‫= ‪Qs‬‬ ‫‪RC‬‬ ‫‪2L‬‬ ‫‪1L‬‬ ‫‪RC‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪kM‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪2 kM‬‬ ‫‪Qp = R‬‬ ‫1‬ ‫‪RC‬‬ ‫= ‪Qk‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪m‬‬ ‫21-41‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 12/16/2010 for the course BIO 6785 taught by Professor Shuit during the Spring '10 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online