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2522371-Vector-Calculus-by-Stephen-Cowley - Mathematical...

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Mathematical Tripos: IA Vector Calculus Contents 0 Introduction i 0.1 Schedule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 0.2 Lectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 0.3 Printed Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 0.4 Examples Sheets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 0.5 Previous Comments, Comments on Comments and Style of Lectures . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 0.6 Books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 0.7 Revision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 0.7.1 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 0.7.2 Cylindrical polar co-ordinates ( ρ, φ, z ) in R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 0.7.3 Spherical polar co-ordinates ( r, θ, φ ) in R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 0.7.4 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 1 Partial Differentiation 1 1.1 Scalar Functions of One Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.3 Differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.4 Taylor’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Derivatives of Vector Functions of One Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4.3 Directional Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.1 Scalar Functions of Two Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.2 Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.3 Properties of Differentiable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6 The Chain Rule and Change of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6.1 The Chain Rule for x : R R m and f : R m R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6.2 The Chain Rule for x : R R m and f : R m R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6.3 The Chain Rule for x : R R m and f : R m R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Mathematical Tripos: IA Vector Calculus a c [email protected], Lent 2000
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1.6.4 The Matrix Form of the Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6.5 Change of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 The Gradient of a Scalar Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7.1 The Gradient is a Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7.2 Directional Derivatives Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.8 Partial Derivatives of Higher Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8.1 A Sufficient Condition for the Equality of Mixed Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . 18 1.8.2 Change of Variables: Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.9 Taylor’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Curves and Surfaces 22 2.1 Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1 The Length of a Simple Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2 The Arc Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.3 The Tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.4 The Osculating Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.5 The Serret-Frenet Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.2 Normals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Critical Points or Stationary Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2 Functions of Two Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.3 Maximum, Minimum or Saddle? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Line Integrals and Exact Differentials 41 3.1 The Riemann Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.1 Line Integrals of Scalar Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.2 Line Integrals of Vector Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 Differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.1 Interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3.3 Exact Differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3.4 Solution of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4 Line Integrals of Exact Differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4.1 Conservative Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.5 Non Simply Connected Domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Mathematical Tripos: IA Vector Calculus b c [email protected], Lent 2000
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4 Multiple Integrals 56 4.1 Double Integrals (Area Integrals) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.1.1 Evaluation by Successive Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2 Triple Integrals (Volume Integrals) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2.1 Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3 Jacobians and Change of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3.1 Jacobians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3.2 Chain Rule for Jacobians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3.3 Change of Variable in Multiple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.4 Surface Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.4.1 Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.4.2 Evaluation of Surface Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.4.3 Flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.5 Unlectured Worked Exercise: Examples Sheet 2, Question 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5 Vector Differential Operators 75 5.1 Revision of Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.1.1 Summary of Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2.1 Divergence in Cartesian Co-ordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2.3 Another Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2.4 Physical Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3 Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3.1
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