CEDYA97 - CAPAS L IMITE, N UCLEOS MUERTOS Y PRINCIPIO DE...

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Unformatted text preview: CAPAS L IMITE, N UCLEOS MUERTOS Y PRINCIPIO DE COMPARACI ON EN PROBLEMAS DE DIFUSI ON NO LINEAL J. Garc a Melian y J. Sabina de Lis Departamento de Analisis Matematico, Universidad de La Laguna 38271-La Laguna (Tenerife) El objetivo de esta comunicaci on es presentar dos tipos de resultados que involucran al operador p-laplaciano, definido, para p > 1, como p u = div( | u | p- 2 u ) , u W 1 ,p () , donde es un dominio acotado de R N . En primer lugar, estudiaremos el comportamiento de las soluciones positivas de ecuaciones de la forma- p u = f ( u ) en u = 0 en cuando + . Concretamente, nos interesa analizar el fenomeno de homogeneizacion de soluciones hacia un valor u > 0 tal que f ( u ) = 0 (v eanse las hipotesis sobre f mas adelante), y la correspondiente capa l mite que se genera cerca de , debido a la condicion de contorno. La homogeneizacion en el caso semilineal ( p = 2, p ) ha sido descrita en diversos trabajos ([2], [7] por citar algunos). Nuestro objetivo es presentar una generalizacion al caso p 6 = 2 de los resultados en [7] que constituyen el nucleo de [10]. Una primera version parcial de los mismos fue divulgada en [8]. En la segunda parte, presentamos una caracterizacion del principio de comparacion d ebil para operadores de la forma L p u =- p u + f ( x,u ) , siendo f una funcion de Carath eodory con un crecimiento conveniente. En el importante caso particular f ( x,u ) = a ( x ) | u | p- 2 u , con a L (), estableceremos ademas diversas caracterizaciones del principio del maximo para el operador L p . Es bien conocido que L p satisface el principio de comparacion d ebil si f es no decreciente (cf. [13]). La mayor conclusion obtenida es que tal condicion es esencialmente necesaria si p 6 = 2. Eliminaremos ademas algunas restricciones sobre el crecimiento de f y la regularidad de las funciones involucradas, que se exig an de una forma natural en el trabajo preliminar [9]. Estudio de capas l mite y nucleos muertos Esta primera parte se ocupara del estudio del comportamiento de las soluciones positivas (d ebiles) de la ecuacion- p u = f ( u ) en u = 0 en , (1) cuando + . En todo lo que sigue, R N sera un dominio acotado de clase C 2 , para algun (0 , 1), y f es una funcion C 1 verificando las siguientes hipotesis: i) f ( u ) u p- 1 es decreciente. ii) lim u 0+ f ( u ) u p- 1 = m > iii) f tiene un cero (unico) u de orden k 1, es decir f ( u ) C ( u- u ) k , u u- con C > 0. Si f satisface las hipotesis anteriores, se tiene como consecuencia, por ejemplo, de los teoremas 1 y 2 en [4], que para cada > 1 ,p /m existe una unica solucion positiva de ( ?? ). Aqu , 1 ,p denota al primer autovalor de- p en con condiciones Dirichlet sobre (cf. [1]). Ademas, los resultados de Tolksdorf en [13] permiten asegurar que (cf....
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This note was uploaded on 01/05/2011 for the course CSU 3 taught by Professor Handsome during the Spring '10 term at CSU Pueblo.

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