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CEDYA97 - CAPAS L IMITE NUCLEOS MUERTOS Y PRINCIPIO DE...

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CAPAS L ´ IMITE, N ´ UCLEOS MUERTOS Y PRINCIPIO DE COMPARACI ´ ON EN PROBLEMAS DE DIFUSI ´ ON NO LINEAL J. Garc´ ıa Meli´an y J. Sabina de Lis Departamento de An´alisis Matem´atico, Universidad de La Laguna 38271-La Laguna (Tenerife) El objetivo de esta comunicaci´ on es presentar dos tipos de resultados que involucran al operador p-laplaciano, definido, para p > 1, como Δ p u = div( |∇ u | p - 2 u ) , u W 1 ,p (Ω) , donde Ω es un dominio acotado de R N . En primer lugar, estudiaremos el comportamiento de las soluciones positivas de ecuaciones de la forma - Δ p u = λf ( u ) en Ω u = 0 en Ω cuando λ + . Concretamente, nos interesa analizar el fen´omeno de homogeneizaci´on de soluciones hacia un valor u 0 > 0 tal que f ( u 0 ) = 0 (v´ eanse las hip´otesis sobre f m´as adelante), y la correspondiente capa l´ ımite que se genera cerca de Ω, debido a la condici´on de contorno. La homogeneizaci´on en el caso semilineal ( p = 2, Δ p Δ) ha sido descrita en diversos trabajos ([2], [7] por citar algunos). Nuestro objetivo es presentar una generalizaci´on al caso p 6 = 2 de los resultados en [7] que constituyen el n´ucleo de [10]. Una primera versi´on parcial de los mismos fue divulgada en [8]. En la segunda parte, presentamos una caracterizaci´on del principio de comparaci´on ebil para operadores de la forma L p u = - Δ p u + f ( x, u ) , siendo f una funci´on de Carath´ eodory con un crecimiento conveniente. En el importante caso particular f ( x, u ) = a ( x ) | u | p - 2 u , con a L (Ω), estableceremos adem´as diversas caracterizaciones del principio del m´aximo para el operador L p . Es bien conocido que L p satisface el principio de comparaci´on d´ ebil si f es no decreciente (cf. [13]). La mayor conclusi´on obtenida es que tal condici´on es esencialmente necesaria si p 6 = 2. Eliminaremos adem´as algunas restricciones sobre el crecimiento de f y la regularidad de las funciones involucradas, que se exig´ ıan de una forma natural en el trabajo preliminar [9]. Estudio de capas l´ ımite y n´ucleos muertos Esta primera parte se ocupar´a del estudio del comportamiento de las soluciones positivas (d´ ebiles) de la ecuaci´on - Δ p u = λf ( u ) en Ω u = 0 en Ω , (1)
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cuando λ + . En todo lo que sigue, Ω R N ser´a un dominio acotado de clase C 2 para alg´un α (0 , 1), y f es una funci´on C 1 verificando las siguientes hip´otesis: i) f ( u ) u p - 1 es decreciente. ii) lim u 0+ f ( u ) u p - 1 = m > 0 iii) f tiene un cero (´unico) u 0 de orden k 1, es decir f ( u ) C 0 ( u 0 - u ) k , u u 0 - con C 0 > 0. Si f satisface las hip´otesis anteriores, se tiene como consecuencia, por ejemplo, de los teoremas 1 y 2 en [4], que para cada λ > λ 1 ,p /m existe una ´unica soluci´on positiva de ( ?? ). Aqu´ ı, λ 1 ,p denota al primer autovalor de - Δ p en Ω con condiciones Dirichlet sobre Ω (cf. [1]). Adem´as, los resultados de Tolksdorf en [13] permiten asegurar que u λ C 1 ( Ω) C 2 ( { x : dist( x, ∂ Ω) ε } ), para ciertos β, γ (0 , 1), ε > 0. Por otro lado, puede demostrarse que u λ es continua y creciente respecto a λ , y verifica 0 < u λ u 0 ([10]).
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