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Unformatted text preview: Th´ eorie des jeux Jeux r´ ep´ et´ es 1/ Jeux r´ ep´ et´ es Plan (23 juillet 2008) – D´ efinitions : actualisation des gains, rationalit´ e individuelle – Jeux r´ ep´ et´ es finis – Jeux r´ ep´ et´ es infinis – Repr´ esentation des strat´ egies par des automates – Propri´ et´ e de d´ eviation en un coup – Folk theorems – Applications : Dilemme du prisonnier, oligopole de Cournot et collusion 2/ R´ ef´ erences : – Mailath et Samuelson (2006) : “Repeated Games and Reputations” – Osborne (2004) : “An Introduction to Game Theory” , chap. 14–15 – Osborne et Rubinstein (1994) : “A Course in Game Theory” , chap. 8–9 Th´ eorie des jeux Jeux r´ ep´ et´ es 3/ • ´ Etudier les interactions de long terme en consid´ erant un jeu de base (simultan´ e) r´ ep´ et´ e entre les mˆ emes joueurs ➥ Incitations qui diff` erent fondamentalement par rapports aux interactions isol´ ees ☞ Comportements sophistiqu´ es, normes sociales ☞ Menaces, dissuasion, punitions, promesses ☞ Possibilit´ es de coop´ eration, am´ elioration de l’efficience au sens de Pareto ? 4/ Exemple. A B C A (5 , 5) (0 , 0) (12 , 0) B (0 , 0) (2 , 2) (0 , 0) C (0 , 12) (0 , 0) (10 , 10) Deux EN stricts : AA et BB , avec un gain maximal de 5 Si le jeu est jou´ e deux fois, CC ` a la premi` ere ´ etape et AA ` a la seconde est un r´ esultat d’EN(PSJ), avec un gain moyen sup´ erieur (7.5) Th´ eorie des jeux Jeux r´ ep´ et´ es 5/ • Deux grandes classes de jeux r´ ep´ et´ es : horizon fini / horizon infini image • Hypoth` eses ici : “ super-jeu ” – Information compl` ete – Observation parfaite et publique des actions pass´ ees ⇒ Jeu ` a information presque parfaite • Introduction ´ eventuelle d’un taux d’actualisation 6/ Taux d’actualisation Pr´ ef´ erence pour le pr´ esent, impatience : accorder plus de valeur aux gains pr´ esents que futurs Taux d’actualisation (facteur d’escompte) δ ∈ [0 , 1] : le joueur est indiff´ erent entre recevoir x demain et δ x aujourd’hui ➠ patience ⇔ δ ´ elev´ e Exemple : ∀ δ < 1 , (1 , − 1 , , ,... ) ≻ (0 , , , ,.. . ) • Gain actualis´ e total (valeur pr´ esente) d’un flux de gain x ( t ) , t = 1 , 2 , ...,T : T summationdisplay t =1 δ t − 1 x ( t ) = ∑ T t =1 x ( t ) si δ = 1 x (1) si δ = 0 • Gain actualis´ e moyen : ∑ T t =1 δ t − 1 x ( t ) ∑ T t =1 δ t − 1 = ∑ T t =1 x ( t ) T si δ = 1 x (1) si δ = 0 Th´ eorie des jeux Jeux r´ ep´ et´ es 7/ • Cas infini ( δ < 1 ) : lim T →∞ ∑ T t =1 δ t − 1 x ( t ) ∑ T t =1 δ t − 1 = (1 − δ ) ∞ summationdisplay t =1 δ t − 1 x ( t ) = x si x ( t ) = x pour tout t Remarque : (1 − δ ) est un facteur de normalisation qui permet de comparer les paiements du jeu d’´ etape et du jeu r´ ep´ et´ e • Autres interpr´ etations possibles : – le jeu continue ` a chaque ´ etape (apr` es la premi` ere) avec probabilit´...
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