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7C-cooperatifs-Shapley-article - Th´ eorie des jeux Jeux...

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Unformatted text preview: Th´ eorie des jeux Jeux coop´ eratifs / Valeur de Shapley 1/ Valeur de Shapley (3 septembre 2007) Solution classique d’un jeu coop´ eratif ` a utilit´ e transf´ erable ` a n joueurs Fig. 1 – Lloyd Shapley (1923– ) Comme la solution de n´ egociation de Nash, la valeur de Shapley (1953) est un concept de solution (existence et unicit´ e) v´ erifiant certaines propri´ et´ es (axiomes) Concept de solution adapt´ e aux probl` emes de partage de ressources ou de r´ epartition des coˆuts (t´ el´ ecommunications, copropri´ et´ e, . . . ) 2/ Fonction caract´ eristique v : 2 N \∅ → R + S mapsto→ v ( S ) On cherche une solution ϕ ( v ) = ( ϕ i ( v )) i ∈ N ϕ i ( v ) est un indice de pouvoir du joueur i / une valeur du jeu pour le joueur i Th´ eorie des jeux Jeux coop´ eratifs / Valeur de Shapley 3/ Axiomes ✦ Axiome 1. Pareto optimalit´ e (PAR). n summationdisplay i =1 ϕ i ( v ) = v ( N ) ✦ Axiome 2. Sym´ etrie (SYM). Si i et j sont sym´ etriques (substituts), i.e., v ( S ∪ { i } ) = v ( S ∪ { j } ) ∀ S negationslash∋ i,j alors ϕ i ( v ) = ϕ j ( v ) 4/ ✦ Axiome 3. Axiome du joueur nul (NUL). Si i est nul, i.e., v ( S ∪ { i } ) = v ( S ) ∀ S negationslash∋ i alors ϕ i ( v ) = 0 ✦ Axiome 4. Lin´ earit´ e (LIN). On d´ efinit ( v + w )( S ) = v ( S ) + w ( S ) . Alors, ϕ ( v + w ) = ϕ ( v ) + ϕ ( w ) (Simplicit´ e math´ ematique, mais pas d’interpr´ etation claire) Th´ eorie des jeux Jeux coop´ eratifs / Valeur de Shapley 5/ Th´ eor` eme de Shapley. Il existe une et une seule solution ϕ satisfaisant les axiomes 1 ` a 4. Elle se calcule explicitement : ϕ i ( v ) = 1 n !...
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