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slides-chap1-forme-normale-article - Thorie des jeux e Jeux...

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Th´ eorie des jeux Jeux sous forme normale 1/ Jeux sous forme normale Plan du chapitre (22 mars 2005) – D´ efinitions et exemples ´ Equilibre de Nash – D´ efinition et exemples – Applications – Existence d’un ´ equilibre de Nash en strat´ egies pures – Extension mixte d’un jeu et strat´ egies mixtes – Illustrations – Strat´ egie maximin et jeux ` a somme nulle ´ Elimination it´ erative des strat´ egies domin´ ees 2/ efinition. Un jeu sous forme normale ou strat´ egique est la donn´ ee de 3 ´ el´ ements : N = { 1 , . . . , n } , l’ensemble des joueurs S i , l’ensemble non vide des actions ou strat´ egies pures du joueur i u i : S 1 × · · · × S n | {z } S R , la fonction d’utilit´ e , de gain ou de paiement du joueur i L’utilit´ e du joueur i epend ` a la fois de son action et de l’action des autres (ses pr´ ef´ erences sont d´ efinies sur S et non sur S i ) Profil de strat´ egies , esultat ou issue : s = ( s 1 , . . . , s n ) S = S 1 × · · · × S n
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Th´ eorie des jeux Jeux sous forme normale 3/ Exemple : Duopole de Cournot Firme i = 1 , 2 produit s i [0 , 1] avec coˆut fixe nul et coˆut marginal constant λ i > 0 Demande inverse lin´ eaire : p ( s 1 + s 2 ) = a - b ( s 1 + s 2 ) , o`u a > λ i , b > 0 Profit de chaque firme i : p ( s 1 + s 2 ) s i - λ i s i = s i ( a - b ( s 1 + s 2 ) - λ i ) = b s i (( a/b ) - ( s 1 + s 2 ) - ( λ i /b )) = b s i ( - θ i - s 1 - s 2 ) o`u θ i = λ i - a b < 0 Neutralit´ e au risque utilit´ e peut ˆ etre d´ efinie par u i ( s 1 , s 2 ) = s i ( - θ i - s 1 - s 2 ) La forme normale est donc d´ etermin´ ee : N = { 1 , 2 } , S 1 = S 2 = [0 , 1] , u 1 et u 2 ci-dessus 4/ Un jeu sous forme normale h N, ( S i ) i N , ( u i ) i N i est fini si l’ensemble des joueurs et l’ensemble des actions de chaque joueur sont finis (le duopole de Cournot n’est pas fini) Repr´ esentation d’un jeu fini ` a deux joueurs : · · · s 2 · · · . . . · · · · · · · · · s 1 . . . u 1 ( s 1 , s 2 ); u 2 ( s 1 , s 2 ) . . . . . . · · · · · · · · · Trois joueurs (2 actions / joueur) : s 2 s 0 2 s 1 u ( s 1 , s 2 , s 3 ) u ( s 1 , s 0 2 , s 3 ) s 0 1 u ( s 0 1 , s 2 , s 3 ) u ( s 0 1 , s 0 2 , s 3 ) s 3 s 2 s 0 2 s 1 u ( s 1 , s 2 , s 0 3 ) u ( s 1 , s 0 2 , s 0 3 ) s 0 1 u ( s 0 1 , s 2 , s 0 3 ) u ( s 0 1 , s 0 2 , s 0 3 ) s 0 3 o`u u ( · ) = ( u 1 ( · ) , u 2 ( · ) , u 3 ( · ))
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Th´ eorie des jeux Jeux sous forme normale 5/ Dilemme des prisonniers. N = { 1 , 2 } , S 1 = { D, C } , S 2 = { D, C } S = { ( D, D ) , ( D, C ) , ( C, D ) , ( C, C ) } D C D (1 , 1) (3 , 0) C (0 , 3) (2 , 2) Chaque joueur gagne ` a faire d´ efection quelle que soit l’action de l’autre joueur Dilemme rationalit´ e individuelle/collective Remarque. Sous-entendus du mod` ele : – Les d´ ecisions des joueurs sont ind´ ependantes – Les deux joueurs connaissent le jeu 6/ Reprendre le duopole de Cournot avec λ 1 = λ 2 = b = 1 et a = 4 en supposant que chaque firme i a uniquement le choix entre la quantit´ e s i = 1 (produire beaucoup) et la quantit´ e s i = 3 / 4 (produire peu) Montrer que ce jeu est ´ equivalent au jeu du dilemme des prisonniers de la figure ci-dessous Produire beaucoup Produire peu Produire beaucoup (10 000 , 10 000) (12 500 , 9 375) Produire peu ( 9 375 , 12 500) (11 250 , 11 250)
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Th´ eorie des jeux Jeux sous forme normale 7/ L’action s i du joueur i domine faiblement l’action s 0 i du joueur i si
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What students are saying

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    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern