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slides-chap1-forme-normaleB-article - Thorie des jeux e...

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Th´ eorie des jeux Jeux sous forme normale (suite) 1/ Extension mixte d’un jeu 2/ Strat´ egie pure (action) : souvent insuffisante pour d´ ecrire le comportement d’un joueur dans un jeu Comment ´ ecrire formellement qu’un joueur a tendance ` a jouer plus souvent pierre que ciseaux ? Meilleure r´ eponse de l’autre joueur : jouer plus souvent feuille Le premier joueur devrait donc jouer plus souvent ciseaux, . . . Situation stable ? Il faut d´ efinir des strat´ egies al´ eatoires ruse secret bluff Ex : tire au but, poker, feuille-pierre-ciseaux, strat´ egies militaires, inspections des impˆ ots . . . image
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Th´ eorie des jeux Jeux sous forme normale (suite) 3/ efinition. Une strat´ egie mixte pour le joueur i est une distribution de probabilit´ e sur l’ensemble S i des strat´ egies pures du joueur i On note Σ i = Δ( S i ) ≡ { p R | S i | : p k 0 , summationdisplay k p k = 1 } l’ensemble des strat´ egies mixtes du joueur i , et σ i = ( σ i ( s i )) s i S i un ´ el´ ement de Σ i Une strat´ egie mixte σ i est dite parfaitement mixte si σ i ( s i ) > 0 pour tout s i S i Une strat´ egie mixte σ i est dite non d´ eg´ en´ er´ ee si elle n’assigne pas une probabilit´ e ´ egale ` a un ` a une des strat´ egie pures Hypoth` eses de VNM sur les pr´ ef´ erences un profil de strat´ egies mixtes σ = ( σ i ) i N est ´ evalu´ e par le joueur i ` a l’aide de l’utilit´ e esp´ er´ ee U i : Σ R U i ( σ ) = summationdisplay s S σ ( s ) u i ( s ) o`u σ ( s ) est la probabilit´ e que le profil de strat´ egies pures s soit jou´ e ´ etant donn´ e σ Strat´ egies ind´ ependantes σ ( s ) = producttext i N σ i ( s i ) 4/ Exemple. Jeu ` a deux joueurs et deux actions : S 1 = S 2 = { a, b } , p = σ 1 ( a ) , q = σ 2 ( a ) a b a p q p (1 q ) p b (1 p ) q (1 p ) (1 q ) 1 p q 1 q U i ( σ ) = p q u i ( a, a ) + p (1 q ) u i ( a, b ) + (1 p ) q u i ( b, a ) + (1 p ) (1 q ) u i ( b, b ) Remarques. U i ( σ ) est un polynˆ ome U i ( σ ) est multilin´ eaire (lin´ eaire en σ k ` a σ k fix´ e pour tout k ) : U i ( σ 1 , . . . , σ n ) = summationdisplay ( s 1 ,...,s n ) S σ 1 ( s 1 ) × . . . × σ n ( s n ) u i ( s 1 , . . . , s n ) donc en particulier continue en σ quasi-concave par rapport ` a σ i
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Th´ eorie des jeux Jeux sous forme normale (suite) 5/ Le jeu sous forme normale ( N, i ) i , ( U i ) i ) est appel´ e extension mixte du jeu sous forme normale ( N, ( S i ) i , ( u i ) i ) Dans la suite “ u i = U i u i ( s i , σ i ) = utilit´ e esp´ er´ ee du joueur i lorsqu’il joue la strat´ egie pure s i et lorsque les autres joueurs jouent le profil de strat´ egies mixtes σ i efinition. Un ´ equilibre de Nash en strat´ egies mixtes du jeu sous forme normale ( N, ( S i ) i , ( u i ) i ) est un ´ equilibre de Nash en strat´ egies pures de l’extension mixte de ce jeu c’est-` a-dire, un profil de strat´ egies σ Σ tel que u i ( σ i , σ i ) u i ( σ i , σ i ) , σ i Σ i , i N 6/ Proposition. L’ensemble des ´ equilibres de Nash en strat´ egies pures est un sous ensemble de l’ensemble des ´ equilibres de Nash en strat´
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What students are saying

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    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

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    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern