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Unformatted text preview: Th´ eorie des jeux Jeux sous forme normale (suite) 1/ Extension mixte d’un jeu 2/ Strat´ egie pure (action) : souvent insuffisante pour d´ ecrire le comportement d’un joueur dans un jeu Comment ´ ecrire formellement qu’un joueur a tendance ` a jouer plus souvent pierre que ciseaux ? ➙ Meilleure r´ eponse de l’autre joueur : jouer plus souvent feuille ➙ Le premier joueur devrait donc jouer plus souvent ciseaux, . . . ➥ Situation stable ? ☞ Il faut d´ efinir des strat´ egies al´ eatoires ➢ ruse ➢ secret ➢ bluff Ex : tire au but, poker, feuille-pierre-ciseaux, strat´ egies militaires, inspections des impˆ ots . . . image Th´ eorie des jeux Jeux sous forme normale (suite) 3/ D´ efinition. Une strat´ egie mixte pour le joueur i est une distribution de probabilit´ e sur l’ensemble S i des strat´ egies pures du joueur i On note Σ i = Δ( S i ) ≡ { p ∈ R | S i | : p k ≥ , summationdisplay k p k = 1 } l’ensemble des strat´ egies mixtes du joueur i , et σ i = ( σ i ( s i )) s i ∈ S i un ´ el´ ement de Σ i Une strat´ egie mixte σ i est dite parfaitement mixte si σ i ( s i ) > pour tout s i ∈ S i Une strat´ egie mixte σ i est dite non d´ eg´ en´ er´ ee si elle n’assigne pas une probabilit´ e ´ egale ` a un ` a une des strat´ egie pures Hypoth` eses de VNM sur les pr´ ef´ erences ⇒ un profil de strat´ egies mixtes σ = ( σ i ) i ∈ N est ´ evalu´ e par le joueur i ` a l’aide de l’utilit´ e esp´ er´ ee U i : Σ → R U i ( σ ) = summationdisplay s ∈ S σ ( s ) u i ( s ) o`u σ ( s ) est la probabilit´ e que le profil de strat´ egies pures s soit jou´ e ´ etant donn´ e σ Strat´ egies ind´ ependantes ⇒ σ ( s ) = producttext i ∈ N σ i ( s i ) 4/ Exemple. Jeu ` a deux joueurs et deux actions : S 1 = S 2 = { a,b } , p = σ 1 ( a ) , q = σ 2 ( a ) a b a pq p (1 − q ) p b (1 − p ) q (1 − p ) (1 − q ) 1 − p q 1 − q U i ( σ ) = pq u i ( a, a ) + p (1 − q ) u i ( a, b ) +(1 − p ) q u i ( b, a ) +(1 − p ) (1 − q ) u i ( b, b ) Remarques. – U i ( σ ) est un polynˆ ome – U i ( σ ) est multilin´ eaire (lin´ eaire en σ k ` a σ − k fix´ e pour tout k ) : U i ( σ 1 ,...,σ n ) = summationdisplay ( s 1 ,...,s n ) ∈ S σ 1 ( s 1 ) × ... × σ n ( s n ) u i ( s 1 ,...,s n ) donc en particulier – continue en σ – quasi-concave par rapport ` a σ i Th´ eorie des jeux Jeux sous forme normale (suite) 5/ Le jeu sous forme normale ( N, (Σ i ) i , ( U i ) i ) est appel´ e extension mixte du jeu sous forme normale ( N, ( S i ) i , ( u i ) i ) Dans la suite “ u i = U i ” ➥ u i ( s i , σ − i ) = utilit´ e esp´ er´ ee du joueur i lorsqu’il joue la strat´ egie pure s i et lorsque les autres joueurs jouent le profil de strat´ egies mixtes σ − i D´ efinition. Un ´ equilibre de Nash en strat´ egies mixtes du jeu sous forme normale ( N, ( S i ) i , ( u i ) i ) est un ´ equilibre de Nash en strat´ egies pures de l’extension mixte de ce jeu...
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This note was uploaded on 01/23/2011 for the course ECONOMICS gt512 taught by Professor Breviart during the Spring '10 term at Télécom Paris.

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