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Unformatted text preview: Th´ eorie des jeux Jeux sous forme extensive / Jeux r´ ep´ et´ es 1/ Jeux R´ ep´ et´ es (23 janvier 2007) • ´ Etudier les interactions de long terme en consid´ erant un jeu de base (simultan´ e) r´ ep´ et´ e entre les mˆ emes joueurs ➥ Normes sociales (strat´ egies de long terme) ☞ Comportements sophistiqu´ es ☞ Menaces, dissuasion, punitions, promesses ☞ Possibilit´ es de coop´ eration, am´ elioration de l’efficience au sens de Pareto ? • Deux grandes classes de jeux r´ ep´ et´ es : horizon fini / horizon infini image • Hypoth` eses ici : “ super-jeu ” – Information compl` ete – Observation parfaite et publique des actions pass´ ees ⇒ Jeu ` a information presque parfaite • Introduction ´ eventuelle d’un taux d’actualisation 2/ Taux d’actualisation Pr´ ef´ erence pour le pr´ esent : accorder plus de valeur aux gains pr´ esents que futurs Taux d’actualisation (facteur d’escompte) δ ∈ [0 , 1] : le joueur est indiff´ erent entre recevoir x demain et δ x aujourd’hui ➠ patience ⇔ δ ´ elev´ e Exemple : ∀ δ < 1 , (1 , − 1 , , ,... ) ≻ (0 , , , ,... ) • Gain actualis´ e total (valeur pr´ esente) d’un flux de gain x ( t ) , t = 1 , 2 ,...,T : T summationdisplay t =1 δ t- 1 x ( t ) =    ∑ T t =1 x ( t ) si δ = 1 x (1) si δ = 0 • Gain actualis´ e moyen : ∑ T t =1 δ t- 1 x ( t ) ∑ T t =1 δ t- 1 =    ∑ T t =1 x ( t ) T si δ = 1 x (1) si δ = 0 Th´ eorie des jeux Jeux sous forme extensive / Jeux r´ ep´ et´ es 3/ • Cas infini ( δ < 1 ) : lim T →∞ ∑ T t =1 δ t- 1 x ( t ) ∑ T t =1 δ t- 1 = (1 − δ ) ∞ summationdisplay t =1 δ t- 1 x ( t ) = x si x ( t ) = x pour tout t • Autres interpr´ etations possibles : – le jeu continue ` a chaque ´ etape (apr` es la premi` ere) avec probabilit´ e δ – taux d’int´ erˆ et r ⇒ δ = 1 1+ r ( 1 + r e demain ∼ 1 e aujourd’hui) 4/ D´ efinitions • Le niveau de paiement minmax , ou paiement de punition , du joueur i dans un jeu sous forme normale G est le niveau le plus faible auquel les autres joueurs peuvent le contraindre : v i = min σ − i ∈ É j negationslash = i Δ( A j ) max a i ∈ A i u i ( a i ,σ- i ) • Profil de strat´ egies minmax contre i : une solution du probl` eme de minimisation ci-dessus Remarque. En g´ en´ eral, minmax negationslash = maxmin dans un jeu ` a plus de deux joueurs. Dans les jeux ` a deux joueurs v i = meilleur niveau d’utilit´ e garanti possible (en strat´ egies mixtes) pour le joueur i Th´ eorie des jeux Jeux sous forme extensive / Jeux r´ ep´ et´ es 5/ • Un profil de paiements w = ( w 1 ,...,w n ) est (strictement) individuellement rationnel si chaque joueur gagne au moins son paiement de punition : pour tout i ∈ N , w i ≥ ( > ) min σ − i ∈ É j negationslash = i Δ( A j ) max a i ∈ A i u i ( a i ,σ- i ) ≡ v i ☞ Punition la plus s´ ev` ere qui peut ˆ etre inflig´ ee ` a i dans G (sans corr´ elation des...
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This note was uploaded on 01/23/2011 for the course ECONOMICS gt512 taught by Professor Breviart during the Spring '10 term at Télécom Paris.

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