sol1 - â B 2 á à ß ß Ý a Þ Ý ÜÛ Ø Ú Ù Ø Q ×...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: â B 2 á à ß ß Ý a Þ Ý ÜÛ Ø Ú Ù Ø Q × ÖÔ Ó ˆ´SÕdrSˆÄ´diÕidS­Õ‹Ò  › B — › € – –Á Ð ‚ ‚ –  ” – º x – É ˆ ‚ 0jiÑUÀu0” ‰t©DtH|2Hf‰0” 1 2 › –” – w€ –”– w 0"½ B"0«0t"…y › — yxw f¨ – ‚– 0” ‰t© • • ‚ x € € ¾ – ½ – w €„ ²r'w¢i0” 0U…y UHUrw|¢i0” ÈÁ – º„ € ¾ – ½ – ˆ W‰‚ ˆ Wu‚ €– # IG j&…t74 ’ – — „ € „ ˆ –  – º ’ ‚ ¥‡0»Ž"|fHjf’ w Ïk …o y g uy o g l u e g ‡ y ™xov u s r g po m l } § ~ u Î ™ h zŽ‰Y‹zbqqw‰tiƒ…'nkPrw7BÍjFy xu ex e‚ s d‰†Í™u7k gk} } e‚ 7zu™Fy — ̒ ™tw«wU¼piƒe p u ~ }{ g xu ex gx} ‰†Y7wˆË › › — – ¾ ˆ Ê – € w Ʉ € ÈÁ  ” x†„ z"|– i$HPU0±U±dœUWˆ — ‚ „ x € ‚ ”  x w„Á  Á – w € ‚ w °ÄÇU„0ƒ0ƨx¢f‡‡–Uĕ„ Å"0€’ƒf0€ |f¨ yxw – „ y ” – w € iąrt"0‰x ˆ "‰‚ † ‡„ • ” xœ† ‰‚ x„ € ‚ ”  x x w„Á – „ U0ƒ0è¢"U‡‡‡Á › – w€ – ˆ – "r©"À¿tf – ‚  –  x€ ¾– ½ d” ‰t–©©©Hxi²r€z¢i–0” 0»…y ’ "‰‚ w €„ ˆ –„ €„ ˆ –  ˆ – º„ ¹ I · ‡rUŽ""¼H»A¨¸4 } x ™ x o v o h u h } ~ Š p o g¶ • ~ g l p } ‚ x } 7…b‘q…u‰z7ƒ…)z‰iztwiwup kSu– g} xs ƒuh –uwu p p ex igu7Hy y x g µ g v ¯ $ƒ ³ g ~ g x s } ‚ u g u e p u g p } y ‚ u Š ™ x o v o h h } ~ g ƒ k e x } – p ¨ g – g ~ u ™ g e ´…vB…u©’ wuƒ´‰i7tpuzSYBzlŽ‰²wi‚«ƒz˜giw‰‰k±b‘…quwu‰w7uŠ'$wu7«gu7°pw’iguuSu'‰w°Sƒ†x Š {o g ‘°pizl ® g h uo~ u ƒ } – p u g x u ~ g g • g – Ž…vƒw­‰wlžwuuw7~'7†SupizSu¬uY7„qo«iƒiz•‰izjz}i„z}‡¤gi‰7k¤b‘oq…u‰hz7ƒA…†k } x k g ‚ p g ~ g l p ‚ ~ ª ‚ u Š ™x vo h u } ~ Š g ƒ u g ex } –g p ¨ – g~ u†3pz©iƒ‰Sgu27u –p uwu k k g v s ™ x o v h u h } ~ p o g p g • ~ l p ‚ s } h § u —¢m’ u g 7S…upuBb‘q…ou‰z7ƒŠY…ŸS‚uS’z7Sgztz}S)xƒzHwu3‰kw¦¥x¢pwi‚$¤£ g‰zUS‰~iue ~ }{ g g k }o } k ƒsz…lthw˜…o ~} z‰“ }x g‚ pg•~gl p}‚ g ex – p †“iuSz7SztzS“u7uu { } x p g – p g Š g – po k ”jiuuSHiuƒ…¤…o y –p ƒwu x<0 nk 1n pg iue — ˜’ d”œUW% x†„ ˆ ’ ‘’ ’ k y u — ’ X n − E (X n ) → 0 EXn − µ → 0 Xn − µ = P (Xn − EXn ) + (EXn − µ) → 0. r r Xn −→ X Xn −→ X n E |X n − X | < ∞ r r |X n − X | r → 0 Xn −→ X n E |X n − X | < ∞ Z n = |X n − X | r n EZn = E n Zn Zn < ∞ Zn → 0 |X n − X | → 0 n glue g zŽ‰“f‡ ~} w‰“ ¡ –x ¢A6 › • — –0”t–fwŸy yxw |f¢ ˆ x  ” x†„ PždœUWˆ Iš t74 ’’ ’’ ’’ y g ‰y k ‰y o u k gov Š ƒo e ‚o e ‡ Sqqu$…'™…ƒuy k ‰y u glue g ’ ’ zr‰“f‡ xu†)†uBuwPy u ex gx} p – pu x gv y g ‚ p g • ~ g l p } Sq¢wSuiz‰izjzi‚ k ”w‰“ u ~} k gov Š ƒ i‘qu$…o ™v ~ u gv q7Ž…‹d b‰Žyk}‰ Œ • ˆ–w f0€ †„ € ‚ w € y x w I ¦ ‡…ƒf0f¨vt74 ˆ "‰‚ p }o x Š ƒ s k k u g e x e xo ‡ ko e x g po h ƒ } ‚ w…†|…u‰7wˆu†v†qq…ƒ†¤u…ƒ„zity P glue g ‡ zr‰ˆ‹jy → 0, ~u &€ — ˆ–w "0€ ™ p u ~ }{ y ™xov u s r g po m l g e k ™ h g e d ™ twwU|zbqqw‰tiuqFnkPSu7jiuf'&˜ ”‚ ‘ ˆ u“’"‰‚ †„ € ‚ w € y x w I § ‡…ƒf0f¨vuS4 EXn → µ V h ` s T ` p i h cR g e c aR ` X V TR ¨Ht"Hrq¨YUWfdbYWUSQ IG PH¦ E C £ % 1 £ 9 8 % 64 1 !( ¡ % # ! § FDBA¢@75320)'&$"    ©§ ¨¦ ¡£¡ ¥¤¢ Xn → 0 >0 • y Xn P Xn → X x ∈ [0, 1] P (| X n − E (X n )| > ) = P (| X n − E (X n )| 2 > {1/n, 2/n, . . . , 1} Xn → X d Xn → µ )≤ P (X n ) 2 X∼ (0, 1) — 0 M E (Ln )/M < , Xn µ Yn = q n (x ) = 0 E (L n ) = k−1 n x > 1 P (X n ≤ x ) d Xn → X Xn = n+1 − Yn n X pn qn L n (x ) Ln (x) = qn (x)/pn (x) L n (x ) = ∞ <X≤ sup |P (Xn ∈ B ) − P (X ∈ B )| = ∀n X P (X n ≤ x ) = M > 1/ {L n } qn (x) p (x)dx x:pn (x)>0 pn (x) n k n xn → x = P (X ≤ x ) n pn ≤ p n Xn = Y n qn (x)dx = 1 µ pn (x) > 0 Ln (x) = 1 d |pn − p| dµ, Xn Yn → X X P P (L n P (X ≤ x) > > M) ≤ Xn pn (x) = } 7k — – ¾ ˆ ‚ „ ” ‚ º – Á ½—  ‚ – w € – € x ˆ › – z"‰Uƒu'‡W©‰SÑ"0«r‰f|f – ˆ ˆ‚ – Á  – w— € — – € x ˆ – €– j&# P©H©©r0” œ† €ˆ– x  w€ x › €j‡Á©Wu‚¤‰t–©$‡W½©‰‚i…— f0$Žf" –rU„"ˆÀ¿’ÉfĄfºj‚fw ˆPx»0€ U„dr€S‡W²‚ P0œ†©‡ÁW©‰S € ˆ „ Ð ” „ x” – ½ ‚ „ ˆ‚ – €– # I9 j&ŸH@4 ’  „ ʼn±¢Ð }4 ~ wu € 4 y ƒg~}g 'i7wiue nkPj‰†ƒqv m ™ §kx s X) ƒg~}g i7wiue — –€x ˆ– rf" € t– # ~ u € –— p &uwu › x u e x g x } p x k ~o ‰7¥†wƒ‰‰…W“ ˆ x„ Є ” € „  ¾„ P»0€ UdrS‡WAÄ0€ x € ½  È ‚ € „  ˆ —‰rf©fSuvrU’W‡„ 7 †x rƒ¤ „ € € ˆ –  x  † x ”x€‚ ˆ ‚ –  –Á ½  ‚ – w •Ä0´|– 0P©H©‹©¨— f— 0j©Af¦¡ ‰t©Ÿ‡W©‰iDf0€ — x w€–  – w –”– w 0t"…y ‚€– rj„ H0œ†  „ ©– Ð x” „ €– # I6 j&$t£4 X, X1 , . . . , Xn EX = θ/(1 + θ) S1 xu ex gx} p y – pu e ~g ex} g ex u†¥†u‰¢uwuiƒ†w“u7p 5 B g l u e g ‡ y ˜ gv h u ~ s k u g ƒ vv u ~ }{ p g e x zru)fƒF“…ƒw†u‰wi…t…zU'Su†ƒy ¦ "  ) ¤  & $ " ¢   ¢  ¨ ¦ ¤¢ 2(10('§%#¥! ©§¥£¡ S 1 = {ω : p n > p } | P (X n ∈ B ) − P (X ∈ B )| = sup |P (Xn ∈ B ) − P (X ∈ B )| = S1 S1 (pn − p)dµ = } x x p gv u lo s r g ko ko e x †˜tS…w‘uti˜qqu†ƒy S2 p z} –p uu p z} pn − p > 0 S1 |pn − p|dµ = pn − p ≤ 0 (p n − p ) = − ≤ ≤ = (pn − p)dµ = 0, S2 |pn − p|dµ = S2 S1 B ∩S1 B ∩S1 B (pn − p)dµ. (pn − p)dµ S2 (pn − p)dµ (pn − p)dµ − (pn − p)dµ, (θ, 1) (pn − p)dµ , 1 2 S1 (pn − p)dµ. |pn − p|dµ. B ∩S2 ¯ Xn θ>0 ˆn = Xn /(1 − Xn ) ¯ ¯ θθ — ‡„ X = θ/(1 + θ)2 (2 + θ) ’ √ ˆ n θn − θ ¯ ¯ √ Xn − θ(1 − Xn ) =n ¯n 1−X √¯ n(Xn − EX ) = (1 + θ) ¯ 1 − Xn = √ ~u w&€ √ d ¯ n(Xn − EX ) → N (0, ™h t2} ¯P 1 − Xn → 1 − EX = 1/(1 + θ) √¯ n(Xn − EX ) d → (1 + θ)N (0, ¯ 1 − Xn — 4 ’ Ë3 f83 4 ™h –p j'uwu — xo ƒo 3 v u ~ x p g g e x ™ ‘$…¨8w†7tSfd u†D&˜ √ d ˆ n(θn − θ) → N (0, (1 + θ)2 θ/(2 + θ) X, X1 , . . . , Xn ¯ Xn n X ) = N (0, θ/(2 + θ)) d ¯ (1 + θ)Xn − θ ¯ 1 − Xn s2 = (p − pn )dµ 1 n n ¯2 j =1 (Xj − Xn ) g ‚ po iuq7k ’’ y go } 7k } 4 xg ´¨3 — á † ˆ x„ x P»0€ → d g ‚ p uo ~ u l } ‚ e x }o ‡ p uo k k s u A k Suw…7wri7w…Aw…77ƒw)@qo — ¢’ d 9 7 g ex p} ~}x‚g 4 @8u†Azˆz7SSzl y – } e x g ƒ u xv g – g e x ™ h p g ¢u7S$v™qSu“u†Dj«iue ~}x‚g ƒ} – pu~ g p ¨g z†´izl zuu†2u u‰´F6 x) ϕ(x,y) (·, ·) : R2 → R2 pzqo7xuŸƒ‰~zU{‰kƒpwu†~7x…~wuŽuq…±A…o } } g pov u k g~g e 7Su‡ ³ 7†dŸ“u7DtBi†ji‰i‰ui‰~ o~xu ƒ g ex ™ h –gx pgkg~ Šg —’ xj…oz}HŠ¬u7Adu p g ex x { } g lo x u lo ~ g – g wÑzq7‘7iƒ3ue { } p }o x s ho ~ x ko – ‚o x } x Š ƒ ™ k u g e x x p u ‡ ™vv u s x ‚ u g w¦zq†ƒƒ…77‰qu¤q†w7ƒ…¸wu7¢twf)qqw‰7Sw¤£ 4 5’ y F® Š x~ u u € ~g – pul ¸wz&˜iƒ«Uª Σ= — 3 d g x uo ~ u lo xv s g e x ™ “7…7wdq†‘u«Î u7D‹˜ {’zq†ƒƒ…77‰quÑq†w7ƒ…¸w3u†Ãu‰±†’u†´…±†qSu¬u†Ñ7us iu7Ãuwu } p } o x s h o ~ x k o – ‚ o x } x Š ƒ ™ k u g e x – p ¨ } x – } e x g ƒ u x v g – g e x’ g k p g e x – p { } p }o x s ho ~ x ko – ‚o x } x Š ƒ ™ k u g e x – p ¨ } x ko ™ • g x u ~ x k ~ ’w…†|u…‰†‰quB…††ƒ$‰w3ƒ†Ãu‰±†Ÿq’wS†7†¸Aus 5 ¯n Xn , s 2 = ¯ Xn , 1 n 2 Xj g xo ~ ‡ p u ‚ g ‡ 7q7wi)‹2} 4 ˆ "‰‚ $ " #! "¤ ¡   &¤ ¢ ¨$ !2 ©! §!$ 10'& ¯ Xn s2 — † x ˆ x„ °H»0€ › Є ” € „  ¾„ € x € ½  È ‚ € ˆ„ x % – w €  ˆ UdrS‡W‡0‰rf©fS‰2P‡PS&"0°"Ą 7 â  ¨ ¦¤ ©§¥) £ â ¢ ¡& ¯1 ( Xn , n ¯n Xn , s 2 ko ³o ~ x u ƒ g ‚ p uo ~ u l } ‚ g e x …Ÿ‘‰†…“iƒw­‰wri“u72} 4 l} 0fd ~u w&€ ~u w&€ ’ µ k ‡ } v v } { k u o ~ x u ƒ ˜ ‚ p u o ~ u l } ‚ ~ o g e x { } k g 27~ 1 p g g e g x u v s ‚ v u ‚ g o 0x ’ ’ ’ irq…zU˜A³ 7†dŸ“S’ uw…7wd0Sqiƒ†Wiq3†j’ i“u7x 7­uS…Ž“©£ —g p u g ƒ e xo wŽ$«†‘‡ – o g ~ pg iue g p ¨g – u‰´uy Š x ~ u u € ~ g – p u l { } p }o x u x } ”¸wz&ˆSuBwdq'zq††wup ’o )7u g e x • po ‡ }vv } g xo p ¨ vv g ~ u†“uqrq…z‰“ 7qu‰‰…u 7wu k gov Š ƒ Sqqu$…o xu ex ( ‡} ek }x ™k ug mx u†W)ru7¦†…¸’wŽfk iœ' ϕ(x, y ) = (x, y − x2 ) 2 Xj ) σ 2 := 2 X = EX 2 − (EX )2 = α2 − α1 2 X 2 = EX 4 − (EX 2 )2 = α4 − α2 (X, X 2 ) = EX 3 − EXEX 2 = α3 − α1 α2 (α 1 , α 2 ) g~g e 7Su‡ I‚ P¸4 2 √ ¯ n ϕ( X n , √ n 1 n ¯ Xn s2 n 1 ¯ Xn = n s2 = n 0 ≤ j ≤ k |x|j ≤ 1 + |x|k › a Û XS YWH Ø PH U S F PH FD B QH VØ TRQIGEC( 7 Є ” € „  ¾„ € x € ½  È ‚ – w €  ˆ UdrS‡W‡0‰rf©fS‰Bf0°W‡„ − √ n 1 n IÐ ¢‰4 — — Xi2 ) − ϕ(α1 , α2 ) → ϕ(α1 ,α2 ) (T ) = T = (T1 , T2 ) ∼ N2 (0, Σ) ϕ:R →R EX 4 < ∞ Σ= α1 2 α2 − α 1 1 n j =1 i=1 n 2 n ¯ Xn Xi2 ϕ(x,y) = 1 0 −2α1 1 Xi 2 ¯ (X j − X n ) 2 = 2 α2 − α 1 α3 − α 1 α2 2 α3 − α 1 α2 α4 − α 2 EX, EX 2 , EX 3 αi := EX i (Xi , Xi2 ) − ¯ − Xn 1 0 −2x 1 Σ T1 −2α1 T1 + T2 ¯ s 2 /Xn α1 α2 2 ¯1 ϕ Xn , n Xj (x, y ) 2 1 −2α1 0 1 1 n ¯1 = ϕ Xn , n → N2 (0, Σ) d 2 Xj 1 0 −2α 1 1 ¯2 − Xn = N2 (0, Σ ) d 2 Xj y ko x u iqˆ‰e ƒ} – pu~ g wuuw7)ue ϕ(x, y ) = (x, y − T1 T2 }k 7uy y µu•ƒ…o˜‡0qv…wU¥u†x g • p } v }{ g ex  ´ z 2} x p } o x u o x p g ~ g o – – p u p } o x u ’ x ‚ g Š ³ g • p o • p u e ‚ ~ g x p o ™ { o x k s ¡ p u ‚ g ’ †Dw…7…†tS7St u'uw«zq†’™´iH|Õ2uqzuwuՉi†j…D»‘†¸u‰wŽ“f‡ g ‚ po k y Suq7P´® Š y v Pzz} € u‰tzF6 ©iw™…f˜ { ‡v‰)A 3zB¸ziƒ†Ñ7‰uw†‰k w7‰“ ƒ s k § } ¨v g § ‚o ‚ª k “ Î p } ™~ } g ex –~ u – p ux ƒ }~ =e −λ n=0 ∞ µ p } o x s h o ~ x k o – p } k k o— } ¢w…7ƒuq7†¸…u'w77qzW§ g e x ~ }{ p }o x ‚ p s{ • po x u ~ g p g x p g ƒ } ƒ g e ƒ } ~{ – g x s Š ƒ } ‚ g h p u u†“zU¤zq†´uu— U«ƒ…†d†i£ ƒiz• ji$› z$Ÿu7x z‰U©i7ƒu$zi…H±wŽ‚ {} kxpg ƒ} ƒ g w)†ji$z$Due ˆ x „ HiŽ‡Hx ‡°P»„ Ð „ ” € „  ‚ € ‚ w € „ – w € x ½ È w – w € † x € – € ‚ † x ˆ É „ – „ ˆ x —0€ UdrS‡W¤$ƒf0v‡Ž"r¢¨HÑ"0˜H$´|ŽYˆ²H‡i|f – † x — € ˆ –  ˆ – ½ – £" „ € „ € ‚ w € y x w  ˆ ¦P""¢f¤Ä—ˆ )— ‡„ — »„ƒf05|fŽWu‚  † x ˆ x„ ¥ "w € ˆ „ ½ Á – w „ w € – x  y x ¦› r©‡U|f)‡"0“|¢fÆ|' › H©HU0€ Є ” € „  ¾„ € x € ½  È ‚ – w €  ˆ UŽSÄ"'‡0‰rf©fS‰B"0²"‡„ 7 ˆ x „ HiŽ‡Px  „ ¬0u‚ „ –” – © ŽA¦|74 £ I¾ X, X1 , . . . , Xn ¯ s 2 /Xn X √ n 2 α2 − α 1 s2 − ¯ α1 Xn g ‚ p uo ~ u l e xo ‡ p }o x s ho ~ x ko – v u ƒ ~ } p g x uo ~ u lo p s u k u gv h uo ~ u ƒ } – p u Suw…7wd7qDw…7ƒu…‰†¸…utw…7zƒ¥7…7w‘uuvˆw‰e …ƒw­‰wl zuu†~ • po xv s k g ~ g e x y p uo k k s u A ™v x po } ¡ g ~ u e ‚o e ƒ…†‘u7S7¤u7wtw­‰7uw“q7tqz‰¢‰w2™…u‡ –p ƒwu { } p }o x u po h ƒ } ‚ ~ u g po u g l u e g ‡ g ‚ p w¦wq†u…u„zSWwiu…qv ˜zru˜f‹iuqo 4 x g • g ‡ y xo ƒov g e x ~ }{ p }o k k g ~ Š ³ g x k uv g e x x s } • po ™v Šo xv s ´z)‹|i‘2…q)ƒ†¤zU'zq77S7u|´˜‰w…“u†˜ƒz„uqquq†‘u«Î = 2 α1 − α 2 1 , 2 α1 α1 2 α1 − α 2 1 (−2α1 T1 + T2 ) = T1 + 2 α1 α1 T1 T2 glue g ‡ zr‰“fƒy b1 , a2 a • po ƒ s k k u y – } e x g ƒ u xv g – g e x ™ ‡ } uq…ƒ77tu†´…v†qiƒ)ƒ†Dth r”Ë — ¢’ ko g lo x u lo ~ g – g …¥z‘†‘7Su)ue ~} zU{ ¦ "  ) ¤  & $ " ¢   ¢  ¨ ¦ ¤¢ 2(10('§%#¥! ©§¥£¡ ρ(a, b) = b/a √ σ2 = 2 ¯n n ρ(Xn , s2 ) − ρ(α1 , α2 − α1 ) → ρ(α1 ,α2 −α2 ) − = α1 4 1− mλ (t)|t=0 = Eλ XetX |t=0 = Eλ X = α1 mλ (t)|t=0 = Eλ X 2 etX |t=0 = Eλ X 2 = α2 α2 α2 1 1 Σ 1− 2 , , 2 α1 α1 α1 α1 6 4 22 3 3 2 −α1 + α1 α2 + 2α1 α2 + α2 − 2α1 α3 − 2α1 α2 α3 + α1 α4 m λ (t ) = E λ e a>0 α1 α2 α3 α4 √ = = = = n ρ(a,b) = σ2 = 2 tX e−λ exp(et λ)et λ|t=0 = λ λ + λ2 λ + 3λ2 + λ3 λ + 7λ2 + 6λ3 + λ4 s2 ¯ −1 Xn α1 > 0 = d (et λ) = e−λ exp(et λ) n! − n=0 ∞ → N (0, 2) d n – p ¨ g ‡ y po • po e x ™ ~ g l g • po • • sv u‰¥f|¢……ƒ…u7¸iz´vuqzzuq¢§ xg• g Sw)¤£ ’’ q‘’ ‚x 7Sg etn (λ ) → N (0, σ 2 ) d λn −λ e n! T − 1 α2 1 − 1 T1 + T2 2 α1 α1 λ T1 −2α1 T1 + T2 T1 −2α1 T1 + T2 mλ (1) < ∞ g l u e g ‡ y ~ g e x g • } xv u y zr‰“f|iSu†´zz†‘w‰u} 4 gp¨g u‰S”6 ’ p }o x s ho ~ x ko – g e x { zq†ƒuq77‰…ƒ)ƒ†"w} wi…“u7|zHwu pug ƒ g ex x s} h ~ g e x g—e Su†´u‡ g • – gv ‡ } p § ™ p u x s } e xo ‡ y p }o x s ho ~ x ko – p } k ko } u ƒ } ~{ – gv Š ƒ u k g ~ g zuiq0ƒ«tw¥ƒwu†‘Htz…7ƒuq7†¸…u¬w’ 77qzW§ z7UBS…u$w7v7Sf‡ { } x p g – p g Š g – po ko p }o x s ho ~ x ko – • po o ƒov g w“jiƒuiHSuu…”…Bw…7ƒuq7†¸…u…u‘†x $…qvue ~ } x k g x u k u ‚o x ko x u x k ko e x g k s p u ‚ g zU{ ‰S†…¥w¦q†‰q††‰Fqu†¦7u¬wi„¤£ " #! "¤ ¡   &¤ ¢ ¨$ !2 ©! §!$ 10'& â  ¨ ¦¤ ©§¥) £ â ¢ ¡& X1 , . . . , X n λ λ ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/25/2011 for the course STAT 201b taught by Professor Michaeljordan during the Fall '05 term at University of California, Berkeley.

Ask a homework question - tutors are online