sol5 - ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏÃ ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏà ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í ÂÁÆ Ä Á ÈÊÁÄ ¿µ ´½µ ËÙÔÔÓ× ||Pn − Qn || → 0º Ë ÓÛ Ø Ø Pn Ò Qn Ö ÑÙØÙ ÐÐÝ ÓÒØ ÙÓÙ× ÈÖÓÓ º ÆÓØ Ø Ø ||P − Q|| = sup |P (A) − Q(A)|. A ÓÖ ÒÝ An ¸ Û Ú Pn (An ) → 0, Ø Ò Qn (An ) ≤ Pn (An ) + |Qn (An ) − Pn (An )| ≤ Pn (An ) + ||Qn − Pn || → 0. Ý Ò Ø ÓÒ¸ Qn ⊳ Pn º Ý ×ÝÑÑ ØÖݸ Û Ú Qn ⊳ ⊲Pn º ´¾µ ËÙÔÔÓ× ¸ ÙÒ Ö Pn ¸ Xn = Yn + oPn (1)º ËÙÔÔÓ× Qn × ÓÒØ ÙÓÙ× ØÓ Pn º Ë ÓÛ Ø Ø Xn = Yn + oQn (1)º ÈÖÓÓ º ÓÖ Ü ǫ¸ ÐØ An = {|Xn − Yn | > ǫ}º Ì Ò Pn (An ) → 0. Ý ÓÒØ Ù Øݸ Qn (An ) → 0, º º¸ Xn − Yn → 0, Û × ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Qn Xn = Yn + oQn (1). Ø ÔÖ Ð ¿¸ ¾¼¼ º ½ ¾ Ò Ð × ÂÁÆ Ä Á ´¿µ ËÙÔÔÓ× Pθ × Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó n ÙÒ ÓÖÑ ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒ (0, θ)º Ä Ø Pθn Üh Ò ÓÒ× ÙØ ÒÓØ Ø Ö Û× ÖÓÑ Pθ º Ø ÖÑ Ò Û Ø Ö ÓÖ ÒÓØ P1n n Ò P1+h/n Ö ÑÙØÙ ÐÐÝ ÓÒØ ÙÓÙ׺ Ö ÓØ h > 0 Ò h < 0º n n P1 ⊳ P1+h/n º ÁÒ Ø¸ ÛÖ Ø ÓÛÒ Ø ÈÖÓÓ º ´½µ Ï Ò h > 0¸ Û Ú n n P1+h/n ⋪ P1 ØÛÓ Ò× Ø × Ò Í× Ø Ø Ø Ø (1 + h/n)−n → e−h ¸ n pn (x) P1+h/n 1 → pn h/n (x) 1+ (1 + h/n)−n , n p1+h/n (x) = 0, ÓºÛº Û Ú 1, n p1 (x) = 0, x ∈ [0, 1]n ÓºÛº x ∈ [0, 1 + h/n]n ËÓ eh , 0, x ∈ [0, 1]n x ∈ [0, 1 + h/n]n \[0, 1]n n P1+h/n n dP1 (x) n dP1+h/n (x) Ò U, n P (U > 0) = lim P1+h/n ([0, 1]n ) → e−h < 1. n→∞ ÝÄ Å ÒÛ Ñ³× Ö×Ø Ð ÑÑ Ð×Ó Û Ú Ú n n P1+h/n ⋪ P1 º Ð ¸Û pn h/n (x) 1+ pn (x) 1 Ø ÐÐ× Ù× Ð ÓÓ 1 → e−h , Pn Ò Ä Ñ³× Ò Ö×Ø Ð ÑÑ Ø Ð n n P1 ⊳ P1+h/n º Ö ØÓ ÓÑ × n P1+h/n ´¾µ Ï h < 0¸ pn (x) 1 pn h/n (x) 1+ Ò → eh , pn h/n (x) 1+ pn (x) 1 e−h , → 0, n P1 x ∈ [0, 1 + h/n]n x ∈ [0, 1]n \[0, 1 + h/n]n Ò Ð × ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏà Í× Ò Ä Ñ³× Ö×Ø Ð ÑÑ Û Ú ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í ÙØ ÈÊÁÄ ¿µ ¿ n n P1 ⋪ P1+h/n n n P1+h/n ⊳ P1 º ´ µ Ä Ø X, X1 , . . . , Xn × ×ÝÑÑ ØÖ Ò Ý Ó Ø Xj > 0)¸ Ö Ò ÓÑ × ÑÔÐ Ò Ø ×Ø Ø Ø Ö ÖÓÑ Ø× ÓÖ Ð Ö ÓÙØ Þ ÖÓ t¹Ø × Ò Ø Ú Ö Ò σ2 ℄º Ò× ØÝ f (x − θ) Û Ö f Ð ÙÐ Ø Ø Ö Ð ØÚ Ú ÐÙ × Ó i<j ×Ø Ò Ø 1(Xi + ÓÖ f ÕÙ Ð ØÓ ÐÓ ×Ø ¸ ÒÓÖÑ Ð¸ Ä ÔÐ ×ØÖ ÄÓ ÙØ ÓÒ ×Ø Å Ò ÎÖ Ò Ò ÙÒ ÓÖÑ × Ô ×º ×Ù ÓÒ Ò× ØÝ ÛÖØ Ä R 0 ¼ ¼ ¼ π2 3 ex [1+ex ]2 2 √1 e−x /2 2π ÆÓÖÑ Ð Ä ÔÐ ÍÒ ÓÖÑ 1 2 1 12 1 −|x| e 2 1 1(x ∈ [− 2 , 1 ]) 2 ÈÖÓÓ º Ì ×× ÔÖÓ Ð Ñ ÓÙØ Ø Ö Ð ØÚ Ò Ý Ó Ø ×Ø× ´ × ÓÔÔÓ× Ö Ð Ú ÒØ Ø ØÓ Ø Ö Ð ØÚ ÓÙÒ Ò Ò Ý Ó ×Ø Ñ ØÓÖ× Ò Ø ℄º ÔÖ Ú ÓÙ× ÔÖÓ Ð Ñµº Ì ÓÖÝ Ò ¸ ÔÔº ½ ¾¹½ Ì Ø ×ÝÑÔØÓØ Ö Ð Ø Ú Ó Ø ×Ø׺ Ò Ý ´ Ê µ ×Ø ×ÕÙ Ö ÓØ Ö ØÓÓ Ø ×ÐÓÔ × Ó × ÕÙ Ò ÓÑÔÙØ Ò Ø ÛØ ÐÓØ× Ó ÓÒ× ÄØ × ÖØ ÒÓØ Ø Ð× ×ÐÓÔ Ó Ø ÐÐ Ø ×Ø ÔÖÓ Òºµ Ø¹Ø ×غ ´Ì × × × ÓÒ ¸ Ü ÑÔÐ ½ º ¸ Ôº ½ ℄¸ t¹×Ø Ø ¯ Tn = Xn /Sn ¸ Û Ð ØÝ Ñ ×ÙÖ Ö ¯ Xn = 1 n n i=1 Xi Ò Sn = Ü ÒÝ 1 n n i=1 (Xi Ò ¯ − Xn )2 º Ò Pθ ÖØ ÛØ Ò× ØÝ × ÕÙ Ò √ θn = h/ nº Ò f (x − θ)º ºº º ÛØ h≥0 ÓÒ¹ Ì ÄØ X1 , . . . , Xn Ò× ØÝ ¯ Eθn Xn √ = h/ nº f (x − θn )º Wn := Ï ³ÐÐ × ÓÛ Ø Ø n Wn −→ N (0, 1)º √ Ì Ø n √ ¯ Xn h/ n − Sn σ ÒÛ ØØ Ò ×ÐÓÔ ÔÔÐÝ ÓØ ¸ Ì Ñ ½ º ¸ Ôº Ø¹Ø ×Ø × ½ ℄ ÛØ θ µ(θ) = θ/σ Ò σ (θ) = 1 ØÓ ÓÒ ÐÙ µ′ (0)/σ (0) = 1/σ º Ò Ð × ÂÁÆ Ä Á ´½µ Wn = √ n ¯ Xn Sn − √ h/ n σ n −→ N (0, 1) θ Wn := = √ √ n n √ √ √ ¯ Xn h/ n h/ n h/ n − + − Sn Sn Sn σ √ ¯ h h Xn h/ n + − − Sn Sn Sn σ An Bn ´µ n Bn −→ 0 θ ÄØ Y1 , . . . , Y n d ºº º f (x)º Sn = ÓÖݺ d 1 n n i=1 (Yi ¯ − Yn )2 ¸ ÓÖ Ñ¸ ×Ó Sn → σ d d Ý Ò × Ö ×ÙÐØ Ó Ø Ù× ´µ ×ÝÑÔØÓØ Ø Ý ËÐÙØ× Ý³× Ø h/Sn → h/σ ¸ An Ñ Xi ³× Ý Ö ÔÔ n An −→ N (0, 1)º θ Bn → 0º Ø Ð Ö×Ø Ø Ð Ò ¸ ÄÒ Ò Ò Ö¹ Ø Û ³Ö Ò Ø ÐÐ Ö ×ÝÑÔØÓØ × Ó Ä̸ × Ò Ø Ö ØÓ ×ÓÑ Ø ×ØÖ Ò Ò × ÑÔÐ ×ØÖ ÙØ ÓÒ × ØÙÖÒ× Ö ÕÙ Ö ÖÓÑ ÙØ ÓÒ Ò f (x − θn ) Ø Ò Ë Ò ×ÛØ nº ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø Ó Ø Ñ Û × ÓÒÐÝ ÓÙØ ÒÓØ ØÓ Ò ÐÓ Ø ÓÒ Ò ××Ù ×Ù ØÖ Ø Ò Ò¸ ×Ó Ø Ú √ X1 , . . . , Xn ∼ f (x − h/ n)¸ n √ 1 ¯ Xn − h/ n = n 1 = n d ËÓ i=1 n √ Xi − h/ n Yi i=1 11 √ An = Sn n d ËÝÑÑ ØÖÝ Ó n Yi I =1 Ì Ù× Ý ÄÌ Û × Ú f (·) ÑÔÐ × EYi = 0º ËÐÙØ× Ý³× Ø ÓÖ Ñ 1 √ n n i=1 N (0, σ 2 )º Ë Ò Sn → σ ¸ d ÓÖ Ñ ÑÔÐ An → N (0, 1)º d Yi → ÒÐ d ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ËÐÙØ× Ý³× Ø Ú× Wn = ´¾µ ÓÒ ÐÙ Ø ØØ ×ÐÓÔ √ n √ ¯ Xn h/ n − Sn σ Ø¹Ø ×Ø × → N (0, 1) d ÓØ 1 σ Ò Ð × ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏà ØØ × ÔÓ Òظ Û ØÓ ØØ Ø ÓÙÐ Ù×Ø ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í ÈÊÁÄ ¿µ ℄ÛØ ÔÔÐÝ ¸ Ì Ñ ½ º ¸ Ôº ½ µ(θ) = θ/σ Ò σ (θ) = 1 πn (θn ) → 1 − Φ (zα − hµ′ (0)) . Ì ÒØ ÌÓ × Ø¹Ø ×Ø Ö ÑÔÐ ×Ø ×ÐÓÔ Û Ø× ÓØ ÓÒ × ÕÙ Ò Ó Ø ×Ø× × ØØ µ′ (0) = [∂θ µ(θ)]θ=0 = ÔÖÓÓ º Ì Ö×Ø Û Ò ÖÚ 1 º σ × ØÙÔ Ì ÓÚ Á Ø³× ÓÒ¸ Û ³ÐÐ Ö Ô Ú ÐÙ × Ó ÒÙÐÐ ÛØ ÓÖ Ð Ö ÖØ Ò ¯ Tn := Xn /Sn º ×× h = 0¸ ÓÙÖ Ö ×ÙÐØ Ø ÙÒ ÝÔÓØ H0 : θ = 0¸ Ø Ò √ ÓÙÖ Ø ×Ø Ö Ì Ø× Û √ n(Tn − µ(0)) → N (0, 1)º ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Ó ÐÚÐ d n(Tn − µ(0)) > zα ¸ × Ø ×Ø Ò Ø³× αº ÔÓÛ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø ÛÖ ØØ Ò πn (θn ) = Pθn = Pθn Á √ √ n (Tn − µ(0)) > zα . n (Tn − µ(θn )) > zα − ÒÛ ÒØ Ø √ n (µ(θn ) − µ(0)) Ø ÖÑ Ò ×Ø × ÕÙ Ò µ × Ö ÒØ Ð Ø 0¸ Ø ÐÑØÓ Ø √ n (µ(θn ) − µ(0)) n→∞ Û Ö lim √ √ n µ h/ n − µ(0) ÁÒ ×Ø Ô Û = h lim × ÓÛ Ø 1 (µ(t) − µ(0)) = hµ′ (0) t→0 t Ø √ t = h/ nº √ √ θn n (Tn − µ(θn )) −→ N (0, 1)º θ ËÓ n (Tn − µ(θn )) + Ò √ n n (µ(θn ) − µ(0)) −→ N (hµ′ (0), 1) Ý Ò Ø ÓÒ Ó ÓÒÚ Ö Ò ×ØÖ ÙØ ÓÒ¸ πn (θn ) = Pθn √ n (Tn − µ(θn )) > zα − √ n (µ(θn ) − µ(0)) → 1 − Φ (zα − hµ′ (0)) Ì Ù× Ø ×ÐÓÔ ÓØ × ÕÙ Ò Ó Ø ×Ø× × µ′ (0) = [∂θ µ(θ)]θ=0 = 1 º σ ËÐÓÔ Ó Ø ËÒ ÇØ Ö Ì ×Ø ´Û Ü ÒÝ ºº º ÛØ × ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø Ò ÓÒ× ÖØ Ò × ÕÙ Ò Ò Ò× ØÝ Ï Ð ÓÜÓÒ ÄØ Ê Ò Ì ×صº g ≥ 0¸ √ θn = g/ nº Xn , Xn,1 , . . . , Xn,n f (x − θn )¸ Ò Ð × ÂÁÆ Ä Á Un = Û Ö 1 n 2 1≤i<j ≤n Ò h(Xn,i , Xn,j ) µ(θ) = Eh(Y1 , Y2 )¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ò Ø ØÓ Û Ö h(x1 , x2 ) = 1(x1 + x2 > 0)º f (x − θ)º ÏÖ Ø F (x) √ n(Un − µ(θn )) × Ø ÓÖ Ø Y1 , Y2 × Ö ÛØ Ö×Ø ℄ Ò× ØÝ × ÓÛ Ø ØÓ Ð ØØ f (x)º Ò Ù× ÓÖ ¸ Û ³ÐÐ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÒÓÖÑ Ð¸ × ÕÙ Ò Ó ¸ Ì Ñ ½ º ¸ Ôº ½ ×ÝÑÔØÓØ ÔÓÛ Ö ÓÖ Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú × θn → 0º ÖÐݸ E (Un ) = Pθn (X1 + X2 > 0) = ÝØ Ó × Ý Ò Ø ÓÒ Û Ú F (x + 2θn )f (x)dx := µ(θn ). f 2 (x)dxº Ì Ò ÓÒ× ÖØ ÚÖ Ò µ(0) = 1/2 Ò Ú µ′ (0) = Un º ¸ Ì Ñ ½¾º¿¸ Ôº ½ ¾℄¸ Û Î Ö(Un ) = 4(n − 2) 2 ζθn ,1 + ζθ ,2 , n(n − 1) n(n − 1) n Û Ö ζθ,1 := ÓÚθ (h(X1 , X2 ), h(X1 , X2 )) ′ ′ = Eθ h(X1 , X2 )h(X1 , X2 ) − Eθ h(X1 , X2 )Eθ h(X1 , X2 ) ′ = Eθ 1(X1 + X2 > 0)1(X1 + X2 > 0) − [Eθ 1(X1 + X2 > 0)]2 ′ = Pθ (X1 + X2 > 0, X1 + X2 > 0) − [µ(θ)]2 ′ = Eθ [Pθ (X2 > −x, X2 > −x|X1 = x)] − [µ(θ)]2 = Eθ [P0 (W1 > −θ − x, W2 > −θ − x|X1 = x)] − [µ(θ)]2 = Eθ [(1 − F (−θ − X1 )) (1 − F (−θ − X1 )] − [µ(θ)]2 = Eθ F 2 (θ + X1 ) − [µ(θ)]2 = E0 F 2 (2θ + X1 ) − [µ(θ)]2 , Ò Ð × ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏÃ Ò ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í ÈÊÁÄ ¿µ ζθ,2 := Î Öθ (h(X1 , X2 )) = µ(θ)(1 − µ(θ)) → 1/4 ÓÖ Ø ÓÙÒ ÐÑØÓ ¸ Ý × θ → 0. F (·)¸ Ò Ø Ø ζθ,1 Û Ò θ → 0¸ ÒÓØ Ø Ø Fθ (·) Fθ (·) Ö ÙÒ ÓÖÑÐÝ Å̸ E0 F 2 (2θ + X1 ) → E0 F 2 (X1 ) = 1/3, Ù× F (X1 ) ∼ U (0, 1)º Ì Ö ÓÖ ¸ ζθ,1 → 1/3 − (1/2)2 = 1/12. ÀÓÛ Ú Ö¸ Ò ÓÖ Ö ØÓ × ÓÛ Ø ºÆº Ó Un ¸ Û Ò Ø Àa ´ ÔÖÓ Ø ÓÒ ¸ Ôº ½ ¾¹½ ¿℄ n ˆ Un := i=1 Eθn (Un − µ(θn )|Xi ) n 2 =− n Ò i=1 (Fθn (−Xi ) − Eθn Fθn (−Xi )) . ˆ Î Ö(Un ) Ý ¸ Ì Ñ ½½º¾℄¸ Û Ú = 4 ζθ ,1 . nn ˆ Un − µ(θn ) Un − µ(θn ) = oP (1), − ˆ × Un × Un ×Ó Ø × ÁÒ ÒÓ٠ظ ØÓ × ÓÛ Ø ºÆº Ó ˆ Un º √ n ˆ nUn = i=1 Yn,i , Ð ÖÐÝ Û Ö 2 Yn,i := − √n (Fθn (−Xi ) − Eθn Fθn (−Xi ))º 4 |Yn,i | ≤ √ , n Ò Ð × ÂÁÆ Ä Á Ò ¸ÛØ ×ÓÑ × Ñ Ð Ö Ð ÙÐ Ø ÓÒ ×Û ÓÖ ζθ,1 ¸ Û Ú n Î Ö(Yn,i ) i=1 ÔÔÐÝ Ò ÄÒ Ö¹ ÐÐ Ö ÄÌ Ò = 4ζ−θn ,1 → 1/3, ØÓ ËÐÙØ× Ý Û ÐÐ Ð √ ÆÓÛ ¸ Ì Ñ ½½º¾℄ Ø ÐÐ× Ù× Ø Ø ˆ nUn θn N (0, 1/3). Un − µ(θn ) × Un Ý ËÐÙØ× Ý Û ½º℄ Ò Ö ÛÖ Ø Ø ÓÚ ÓÒÚ Ö θn N (0, 1), × ×ÓÑ Ø Ò ÑÓÖ Ð Ø ÓÖÑ Ó ¸ Ò √ ζθ,1 × ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÓØ n(Un − µ(θn )) 4ζθn ,1 × ÓÒØ ÒÙÓÙ× θn N (0, 1). Ø ¼º Ð ÖÐÝ ËÓ Ø θ Ò ×ÐÓÔ × × ÕÙ Ò Ó Ø ×Ø× × 2 f 2 (x)dx √ µ′ (0) √ = = 12 4ζ0,1 1/ 3 f 2 (x)dx. Ó Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ× Û ³Ö Ð ÙÐ Ø ÓÒ׺ ÒØ Ö ×Ø Ò Ï Ò ØÓ Ð ÙÐ Ø [f (x)]2 dx ÓÖ ´½µ ÄÓ ×Ø Ï Ú ∞ −∞ ex [1 + ex ]2 2 dx = 0 ∞ u [1 + u]2 u du (1 + u)4 2 1 du u = 0 ∞ = 0 ∞ 1 1 − du 3 (1 + u) (1 + u)4 ∞ 0 = = − 1 2(1 + u)2 −− 1 3(1 + u)3 ∞ 0 1 11 −= 23 6 Ò Ð × ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏà ´¾µ ÆÓÖÑ Ð ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í ∞ −∞ ÈÊÁÄ ¿µ ∞ −∞ 1 −x2 1 e dx = √ 2π 2π 1 =√ 2π 1 1 2 √ e−y /2 √ dy 2π 2 ´¿µ Ä ÔÐ ∞ −∞ 1 −|x| e 2 2 1 dx = 4 1 2 1 = 4 = ∞ −∞ ∞ 0 e−2|x| dx e−2x dx ´ µ ÍÒ ÓÖÑ 1 2 1 −2 12 dx = 1 √ ×ÐÓÔ Ó Ø ÓØ Ö ×ÐÓÔ ×ØÖ ÄÓ ÙØ ÓÒ ×Ø ËÐÓÔ Ó Ø¹Ø ×Ø 1 σ [f (x)]2 dx 1 6 1 √ 2π 1 4 ½ ÇØ Ö ×ÐÓÔ 12 [f (x)]2 dx 2 Ê √ 3/π ½ ÆÓÖÑ Ð Ä ÔÐ ÍÒ ÓÖÑ 1/ 2 √ 12 √ √ 1/ 3 √√ 3/ π √ 3/2 √ 12 9/π 2 π/3 2/3 1 ´µ Ø Ï ¸ ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ℄ ËØÙ Ý Ø × ÑÔÐ ×Ò Ö ÒÙÐÐ × ×ÝÑÔØÓØ ÔÓÛ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø ÖÓÑ ØÓ Ü ÑÔÐ × Ò Ø ×Ø ÔÓ× Ø Ú Ñ ×× Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ö Ø Ø× Ñ ÓØ ËÙÔÔÓ× × ÔÓ× Ø Ú × × Ñ Ð ÖÐÝ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ø Ú ½ º½℄º ÖÓÑ Ò ×ØÖ × Òº Á× Ø ÓÓ ÓÖ ¸ ÒÓÒ×ÑÓÓØ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ñ Ò×Ø Ø Á Ò X1 , ..., Xn Ñ ×׺ Ì ÝÑ Ö Ò ÓÑ × ÑÔÐ ÝÔÓØ ×× ÙØ ÓÒ Û Ø Ø ×Ø θ¸ Û H0 : θ = 0 ÐØ ÖÒ Ø Ú ×Ø Ö H1 : θ > 0 ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ò× Ó Ø Ø Ò ×Ø Ø ×Ø S n = n− 1 ÒØ n i=1 1(Xi > 0)º Ò F (x − θ) Ò Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׸ Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ ÚÖ Sn ½¼ ÕÙ Ð ØÓ Ø Ö ×ØÖ Ò Ð × ÂÁÆ Ä Á µ(θ) = 1 − F (−θ) Ñ ×× × ÕÙ Ø Ò σ 2 (θ)/n = (1 − F (−θ))F (−θ)/n¸ Ø ÒÓÖÑ Ð Ö ×Ô Ø Ú ÐÝ ´ × Ò ÒÓÑ ÝÔÓØ Ð × ÔÓ× Ø Ú ÙØ ÓÒ¸ Ø √ n(Sn − µ(0)) ×Ø 0 θ¸ µ(0) < 1/2µº Ý √ Ò n(Sn − µ(θ)) Ì Ø ×Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÍÒ ÝÔÓØ ÖØ ×× ÒÙÐÐ N (0, σ 2 (θ))º Ø× Ø ÒÙÐÐ ×× N (0, σ 2 (0))º ØÖ √ n(Sn − µ(0)) Ü Ö Ø Ð Ú ÐÙ σ (0)zα √ × ÔÓÛ Ö ÙÒ Ø ÓÒ πn (θ) = Pθ √ n (Sn − µ(θ)) > µ(0)zα − n (µ(θ) − µ(0)) √ µ(0)zα − n(F (0) − F (−θ)) = 1−Φ + o(1). σ (θ) Ò Ù× ÓÖ × ÐÐ F (0) − F (−θ) ≥ P0 (X1 = 0) > 0¸ Ö ÙÑ ÒØ Ó σ −1 (θ) × ÓÙÒ ÓÛ Û Ý ÖÓÑ ¼ ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÔÔÖÓ Ñ × ¼º ËÓ Ø Ò Ò Ø ×Ø θ > 0¸ Ø Φ(·) ØÒ Ó × ØÓ Ø ØØ ∞ ÒÓ Ñ ØØ Ö θ ØØ ×ÝÑÔØÓØ ÔÓÛ Ö ½¸ Ò Ø ×غ ÔÓ× Ø Ú Ñ ×× Ò × Ø ÔÓÛ Ö Ó Ø ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online