# sol7 - ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏÃ ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í Å Ê...

This preview shows page 1. Sign up to view the full content.

This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏÃ ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í Å Ê ¸ ÂÁÆ ÄÁ µ ÎÁ ÊÇË Æ ´½µ ÓÒ× • • ÖØ ÓÐÐÓÛ Ò ×Ø Ø ×Ø Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ð× : F (x) ≥ p}¸ ´ µ φ(F ) = EF X ´ µ φ(F ) = inf {x {F |F ÛÖØ Ø φ(F ) Û Ø ÓÑ Ò Ó φ(·) × Ö ÒØ Ð F ′ (φ(F )) > 0} Ë ÓÛ Ø Ø ´ µ × ÒÓØ ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ò Ø ÈÖÓÓ º ×ÙÔ¹ÒÓÖÑ¸ Ø ÓÙ ´ µ × ÓÒØ ÒÙÓÙ×º ÖØ × ÕÙ Ò × ´ µÄ ØP 1 n ÔÖÓ Ð ØÝ Ñ ×ÙÖ Û Ø n−1 P n Ò Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒº ÓÒ× Ó ÔÖÓ Pn X = 1 Ð ØÝ Ñ ×ÙÖ × Pn = n δn + º Ì ÒØ ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ó Ø × Ñ ×ÙÖ ·n+ n−1 PX n ¸ Ò Pn X → 1 + P X º ÆÓØ Ø Ø Fn (x) − F (x) = Pn (X ≤ x) − P (X ≤ x) n−1 1 1(x ≥ n) + P (X ≤ x) − P (X ≤ x) n n 1 = [1(x ≥ n) − P (X ≤ x)] n 1 |Fn (x) − F (x)| ≤ n = ËÓ supx |Fn (x) − F (x)| ≤ 1 n → 0º ÀÓÛ Ú Ö¸ φ(Fn ) = Pn X → 1 + P X = 1 + φ(F )º ËÓ φ(F ) = EF X × ÒÓØ ÓÒØ ÒÙÓÙ×º ´ µ φ(F ) = inf {x : F (x) ≥ p}¸ ÛÖØ Ð ÓÑ Ò Ó φ(·) × {F |F Ö ÒØ Ø φ(F ) Û Ø F ′ (φ(F )) > 0} Ò θ0 := φ(F )º Ë Ò F (x) × ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø θ0 ¸ Û F× ØÙ ÐÐÝ Ú F (θ0 ) = pº Ë Ò Ö ÒØ Ð Û Ø ÔÓ× Ø Ú ÖÚ ØÚ Ø θ0 = F −1 (p)¸ ÓÖ ÒÝ ´×Ñ ÐÐ ÒÓÙ µ ε > 0 Ø Å Ý ¸ ¾¼¼ º ½ ¾ Û Ú Ò Ð× ÎÁ ÊÇË Æ Ê ¸ ÂÁÆ Ä Á F (θ0 − ε) < p < F (θ0 + ε). ´ÈÖÓÓ Ò ÓÓØÒÓØ ½µº Ì Ü ×Ù Ò ε > 0¸ Ò Ò a := F (θ0 − ε) Ò b = F (θ0 + ε)º δ = 1 min(p − a, b − p)º Ì Ò ÓÒ× 2 Ö ÒÝ G ×ºØº supx |F (x) − G(x)| ≤ δ º ËÓ G(θ0 + ε) ≥ F (θ0 + ε) − δ = b − δ > p G(θ0 − ε) ≤ F (θ0 − ε) + δ = a + δ < p Ì Ù× θ0 − ε ≤ φ(G) ≤ θ0 + ε¸ ÑÔÐÝ Ò |φ(F ) − φ(G)| ≤ εº Ë ÒÒ Ð×Ó ¸ Ôº ¿ ¾℄ ÓÖ ÔÖÓÓ Ó ÓÒØ ÒÙ ØÝ ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÓÓ Ó pº ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø F −1 × ÓÒØ ÒÙÓÙ× ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ F Û Ò Ø ÕÙ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ × − F −1 (p) = inf {x : F (x) ≥ p}º Ò Ft,x = (1 − t)F + tδx º ÜÔÖ ×× Ft,x1 Ò Ø ÖÑ× Ó F −1 º ÆÓØ × ´¾µ ÚÒ • • ÀÖ δx ×Ø ×Ø Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ø x δx (y ) = 1({y ≥ x})º ××ÙÑ t ∈ (0, 1]º ´ÌÖ Ú Ð t = 0ºµ Ý − Ò Ø ÓÒ¸ Ft,x1 (p) = inf {y : Ft,x (y ) ≥ p}º Ö Ø Ò ÑÙÑ ÒØÓ ØÛÓ Ô × A(p) = inf {y < x|Ft,x (y ) ≥ p} B (p) = inf {y ≥ x|Ft,x (y ) ≥ p} − ËÓ Ft,x1 = min(A(p), B (p))º ÏÖ Ø Ò ÓÙØ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ft,x ¸ Û Ø p 1−t A(p) = inf {y < x|(1 − t)F (y ) ≥ p} = inf y < x|F (y ) ≥ Ò ½Ë ÌÒÝ Ò Ø ÓÒ¸ ∀ε > 0¸ ∃δ > 0 ×ºØº |h| < δ ÑÔÐ × L − ε < [F (θ0 + h) − F (θ0 )] /h < L + εº Ì × ÑÔÐ × F (θ0 ) + h(L − ε) < F (θ0 + h) < F (θ0 ) + h(L + ε)º Ì Ö ×ÙÐØ ÓÐÐÓÛ× Ý Ø Ò ε ×Ñ ÐÐ ÒÓÙ Ø Ø L − ε > 0º ÌÓ ÓÒÚ ÖØ ØÓ Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ø Ñ Ò Ø ÜØ¸ Ö ÔÐ h Ý εº℄ Ý F ′ (θ0 ) = L > 0º Ò Ð × ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏÃ ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í Å µ ¿ B (p) = inf {y ≥ x|(1 − t)F (y ) + t ≥ p} = inf {y ≥ x|F (y ) ≥ (p − t)/(1 − t)} = max F −1 p−t 1−t ,x ÓÒ× Ö ØÛÓ × × ´½µ (1 − t)F (y ) < p ÓÖ ÐÐ y < x Ì Ò A(p) = ∞ Ò − Ft,x1 (p) = B (p) = max F −1 p−t 1−t ,x ´¾µ (1 − t)F (y ) ≥ p ÓÖ ×ÓÑ y < x Ì Ò A(p) < ∞¸ ÑÔÐÝ Ò A(p) < B (p)º Ì Ù× − Ft,x1 (p) = A(p) = inf y < x|F (y ) ≥ = inf {y |F (y ) ≥ = F −1 p 1−t p 1−t p } 1−t Ï Ù× ËÓ Û Ø − Ft,x1 (p) Ø Ø Ø Ø A(p) < ∞ Ò Ø ØÖ ÕÙ Ð ØÝº = max F −1 −1 F p 1−t p− t 1−t ,x ÓÖ (1 − t)F (y ) < p ÓÖ ÐÐ y < x ÓÖ (1 − t)F (y ) ≥ p ÓÖ ×ÓÑ y < x ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ËÓÑ Ô ÓÔÐ ×ÓÐÙØ ÓÒ× Ø Ø Ð ÓÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ü ÑÔÐ Ð Ø F (y ) = 1(y ≥ 0)º Ì x = 1 Ò t = 0.5º Ë Ft,x (y ) = F (y ) 1(y ≥ 1) + 2 2 Ò Ð× ÎÁ ÊÇË Æ Ê ¸ ÂÁÆ Ä Á − Ì Ò ÒÓØ Ø Ø Ft,x1 (1) = 1¸ Û Ð F −1 (1) = 0º ´¿µ ÖÓÑ ¸ Ôº ¿¼¼℄¸ Û Ò Ø ÙÑÙÐ Ø Ú Þ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ØÓ ÙÑÙÐ Ø Ú ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ F ÓÒ [0, ∞] × ΛF (t) = [0,t] dF 1 − F− ÓÖ Ü Ì t ∈ (0, ∞)¸ φ(F ) = ÒØ Ò Ù Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø ÖÓÑ ¸ Ôº ¾ ¾℄¸ Ø Ñ ÔF → dF [0,t] 1−F− º [0,t] (1 − F− )−1 dF º Ò Ù Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó φ × Ø Ñ ÔÔ Ò ÖÓÑ [0, ∞) → R Ú Ò Ý x→ d dα φ ((1 − α)F + αδx ) α=0 Û Ö δx (y ) = 1(y ≥ x) × Ø Ø ÞÖ ÙÒ Ø ÓÒ¸ Û ³ÐÐ Ò Ø ÓØ ÔÓ ÒØ Ñ ×× Ø xº ÓÖ ÓÒÚ Ò Ò ¸ Ò Fα = (1 − α)F + αδx º Ï ³ÐÐ ÒÓÛ ÓÑÔÙØ Ø Ò ÙÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÒÝ xº ÌÓ ÓÑÔÙØ Ð Ø Ð Ñ Ø Ó Fα (Fα )− (y ) = ((1 − α)F + α1(y ≥ x))− (y ) yn ↑y lim (1 − α)F (yn ) + α1(yn ≥ x) = (1 − α)F− (y ) + α1(y > x) = F− (y ) − α (F− (y ) − 1(y > x)) ËÓ φ (Fα ) = [0,t] 1 dFα (y ) 1 − [F− (y ) − α (F− (y ) − 1(y > x))] (1 − α) α dF (y ) + 1(t ≥ x) 1 − F− (y ) + α (F− (y ) − 1(y > x)) 1 − F− (x) + αF− (x) = A ( α) = B ( α) = [0,t] ÌÓ ØØ Ò Ù Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ø Ø x¸ Û Ö ÒØ Ø Ø × ÜÔÖ ×× ÓÒ ÛºÖºØº α Ø α = 0º Ò Ð × ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏÃ ÓÖ ÕÙ Ö Ö Ò ¸ ÒÓØ Ø Ø d dα b + αc d + αf = ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í Å µ c(d + αf ) − (b + αc)f cd − bf = 2 (d + αf ) (d + αf )2 ××ÙÑ Ò Û Ò d A(α) = dα Ö ÒØ Ø ÙÒ Ö Ø ÒØ Ö Ð × Ò¸ Û Ø [0,t] −1 (1 − F− (y )) − 1 (F− (y ) − 1(y > x)) dF (y ) (1 − F− (y ) + α [F− (y ) − 1(y > x)])2 1(y ≤ x) dF (y ) (1 − F− (y ) + α [F− (y ) − 1(y > x)])2 =− [0,t] ÒØ ÖÚ ØÚ Ó Ø × ÓÒ Ø ÖÑ × d 1 − F− (y ) 1(t ≥ x) B (α) = dα [1 − F− (y ) + αF− (y )]2 Ú ÐÙ Ø Ò Ø α = 0¸ Û ÓÒ ÐÙ d dα φ (Fα ) = − α=0 ØØ 1 1(y ≤ x) 1(t ≥ x) 2 dF (y ) + 1 − F− (x) [1 − F− (y )] dF (y ) + dF (y ) 1 1−F− (x) [0,t] = − − 1 [0,x] (1−F− (y ))2 1 [0,t] (1−F− (y ))2 ÓÖ t ≥ x ÓÖ t < x ´ µ ÓÒ× ÖØ ÖØ Ð Ø × Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ó Ø ÒÙÑ Ö× 1.2, 3.5, 4.7, 7.3, 8.6, 12.4, 13.8, 18.1 ˆ Ä Ø θ Ø ¾ ± ØÖ ÑÑ Ñ Òº ˆ ´ µ Ð ÙÐ Ø ÓÓØ×ØÖ Ô ×Ø Ñ Ø × Ó Ø ×Ø Ò Ö ÖÖÓÖ Ó θ¸ Ù× Ò ÓÓØ¹ ×ØÖ Ô × ÑÔÐ × Ó × Þ B = 25, 100, 200, 500, 1000, 2000º Í× Ø × ØÓ ÓÖÑ ÒÙ¹ Ñ Ö Ð ×Ø Ñ Ø Ó Ø Ð ÓÓØ×ØÖ Ô ×Ø Ñ Ø ´Ø Ø ÛÓÙÐ ÓØ Ò Ý Ø Ò B → ∞µº ´ µ Ê Ô Ø Ô ÖØ ´ µ Ù× Ò Ø Ò Ö ÒØ Ö Ò ÓÑ ÒÙÑ Ö × × Ò Ò ×× ×× Ø Ú Ö Ð ØÝ Ò Ø ×Ø Ñ Ø ×º ÀÓÛ Ð Ö × ÓÙÐ Û Ø B ØÓ ÔÖÓÚ × Ø × ØÓÖÝ ÙÖ Ý Ò Ð× ÎÁ ÊÇË Æ Ê ¸ ÂÁÆ Ä Á ´ µ Ð ÙÐ Ø Ø Ð ÓÓØ×ØÖ Ô ×Ø Ñ Ø Ó ×Ø Ò Ö ÖÖÓÖ Ö ØÐÝ Ý ×ÙÑÑ Ò ÓÚ Ö ÐÐ ÔÓ×× Ð ÓÓØ×ØÖ Ô × ÑÔÐ ×º ÓÑÔ Ö Ø Ò×Û Ö ØÓ Ø Ø Ó Ø Ò Ò Ô ÖØ ´ µº ´ µÏ Ð Ø ÓÓØ×ØÖ Ô × × ÓÒ Ö × ÑÔÐ Ò ÖÓÑ Ø Ñ ÒØ¸ Ø Ò × × ÓÒ × ÑÔÐ × Ø Ø Ð Ú ÓÙØ ÓÒ Ø Ñ º Ì Ö Ö n ×Ù × ÑÔÐ ×º Ä Ø Ù× ÒÓØ Ø ×Ø Ñ Ø ˆ × ÑÔÐ × Ý θ(i) º Ò Ð Ò Ö ×Ø Ø ×Ø × ÓÒ Ø Ø Ò ÛÖ ØØ Ò Ò Ø 1 ˆ θ(x1 , . . . , xn ) = µ + n n Ø Û Ø Ö ÔÐ ¹ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ Ø × × ÓÒ Ø × ÓÖÑ α(xi ) i=1 Û Ö µ × ÓÒ×Ø ÒØ Ò α × ÙÒ Ø ÓÒº Ë ÓÛ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ö ×Ø Ø ×Ø × Ø Ò ÒØ ˆ Ð ÒØ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò × Ò× Ú Ò Ø Ú ÐÙ × θ(i) ÓÖ ˆ θ∗ Ò Ù ÓÖ Ò Ö ØÖ ÖÝ ÓÓØ×ØÖ Ô × ÑÔÐ Ï Û ÒØ ØÓ Ò 1 ˆ θ∗ (x∗ , . . . , x∗ ) = µ + 1 n n n ÓÓØ×ØÖ Ô Ö ÕÙ Ú ¹ i = 1, . . . , n, Ø Ú ÐÙ Ó x ∗ , . . . , x∗ º 1 n (x∗ ) i i=1 Ò Ø ÖÑ× Ó Ø ×Ø Ñ ØÓÖ×º Ï Ú ˆ Ð Ú ¹ÓÒ ¹ÓÙØ ×Ø Ñ Ø × θ(i) º ÁØ³× ×Ù ÒØ ØÓ ÛÖ Ø α(xi ) Ò Ø ÖÑ× Ó Ø × ˆ θ(j ) (x1 , . . . , xn ) = µ + 1 −α(xj ) + n−1 n α(xi ) i=1 Ò Ò Ð × ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏÃ n ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í Å n n µ ˆ θ(j ) = nµ + j =1 1 n−1 −α(xj ) + j =1 n i=1 α(xi ) n 1 = nµ − n−1 n n α(xj ) + n−1 j =1 α(xi ) i=1 = nµ + i=1 α(xi ) ËÓ n ˆ ˆ θ(j ) − (n − 1)θ(k) = µ + α(xj ) j =1 Ê ÖÖ Ò Ò α(xj ) = −µ + n ˆ ˆ θ(j ) − (n − 1)θ(k) J =1 ´ µÌ Ò ×Ø Ñ Ø Ó ×Ø Ò Ö n−1 n n ÖÖÓÖ × 2 1/2 ˆ ˆ θ(i) − θ(·) i=1 ˆ ˆ Û Ö θ(·) = n=1 θ(i) /nº Ë ÓÛ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ö ×Ø Ø ×Ø × Ø i Ó ×Ø Ò Ö ÖÖÓÖ × 1/2 n ÓÓØ×ØÖ Ô ×Ø Ñ Ø (α(xi ) − α)2 /n2 ¯ i=1 ÛÖ α= ¯ α(xi )/n¸ ÒØ n Ò 2 ×Ø Ñ Ø Ó ×Ø Ò Ö 1/2 ÖÖÓÖ × (α(xi ) − α) / {(n − 1)n} ¯ i=1 ËÓ ÓÓØ×ØÖ Ô ÓÙÖ Ó × ÖÚ × ÑÔÐ ÖÓÑ P ¸ Ò Ð Ø Pn Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ñ¹ × ÑÔÐ × ÖÓÑ Pn º Ì Ò Ø ÓÓØ×ØÖ Ô Ä Ø x1 , . . . , xn ∗ ∗ Ô Ö Ð ×ØÖ ÙØ ÓÒº ÏÖ Ø X ∗ , X1 , . . . , Xn ÓÖ Ò Ð× ×Ø Ñ Ø Ó Ú Ö Ò × ÎÁ ÊÇË Æ Ê ¸ ÂÁÆ Ä Á 1 µ+ n n ∗ ˆ∗ Î ÖPn θ(X1 , . . . , Xn ) = Î ÖPn α(Xi∗ ) i=1 1 Î ÖPn α(X ∗ ) n 1 = EPn [α(X ∗ )]2 − [EPn α(X ∗ )]2 n 2 n n 1 1 1 α(Xj )2 − α(Xj ) = n n j =1 n j =1 = = 1 n 1 n n (α(Xj ) − α)2 ¯ j =1 ËÓ Ø ÇÇÌËÌÊ È Ë × Ù×Ø n ˆ SE ÓÓØ×ØÖ Ô = i=1 (α(Xi ) − α)2 /n2 ¯ Â ÃÃÆÁ ËÌ Æ Ê ÊÊÇÊ 1 −α(xj ) + n−1 n n n ÖÓÑ ÈÖÓ Ð Ñ ¿¸ Û ˆ θ(j ) (x1 , . . . , xn ) = µ + α(xi ) i=1 Ò 1 ˆ θ(·) (x1 , . . . , xn ) := n 1 ˆ θ (j ) = µ + n j =1 α(xi ) i=1 ËÓ ˆ ˆ θ(j ) − θ(·) = − =− =− 1 1 α(xj ) + n−1 n−1 n α(xi ) − i=1 n 1 n n α(xi ) i=1 1 1 α(xj ) + n−1 n(n − 1) α(xi ) i=1 1 1 α(xj ) + α ¯ n−1 n−1 1 = (¯ − α(xj )) α n−1 Ò Ð × ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏÃ ÒØ Ò ×Ø Ñ Ø Ó ×Ø Ò Ö n ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í Å ÖÖÓÖ × µ n−1 n ˆ ˆ θ(k) − θ(·) k=1 2 = n−1 n n k=1 1 (¯ − α(xj )) α n−1 n 2 = 1 n(n − 1) (α(xj ) − α)2 ¯ k=1 ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

Ask a homework question - tutors are online