Calculus

# Calculus

This preview shows page 1. Sign up to view the full content.

This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ËØ Ö Ö Ú ÙÖ Ð Ú ÖÔÙÒº ËÐ ËÑ Ú ÖÔÙÒ ÐÐ Ö× Ú ÖÔÙÒ ½º ÖÐ Öº ÒÒ Ö Ò Ò ÁÁ r(t) = (r1 (t), . . . , rn (t)) ÐÐ×Ø ÖÙ ÐÐ × Ñ ÐÐ º ½º½ Ë Ð Ö Ò Ò º Î ÖÔÙÒ ×Ñ ÐÐ r : [a, b] → Rn ÐÐ Ò r1 , . . . , rn ÐÐÙ ÖÐ ½º¾ Ê Ø ØØÙÖº r : [a, b] → R Ö ÐÐ n ÖÓØ Ö ÙÑ ×Ø ×Ø Ö ÐÐº r : [a, b] → R2 ÖÓØÖØ r = r(t) = (x(t), y (t)) = x(t)i + y (t)j, Ó Ö ÐÐ Ö ÙÑ ×Ø ÖÐ r : [a, b] → R3 ÖÓØÖØ r = r(t) = (x(t), y (t), z (t)) = x(t)i + y (t)j + z (t)k. ½º¿ Ë Ð Ö Ò Ò º ×Ñ 2 Ö ÒÒ ÖÐ Ò Ö ÐÐ Ú Ò ÙÐ Ä ØÙÑ ÙÑ × ÙÖ C ÚÖ ÐÒ Ò R r Ø ØØº Ú ÖÒ ÔÙÒ ×Ñ Ö Ð ÔÐ Ò ´ º º º×º C Ö Ñ Ò ÓÖ × Ò× Ö ÐÐµº ËØ ÙÒ C Ö ×Ø Ø C×Ñ Ð º Ö ÐÐ Ö Ñ Ö ÔÙÒ Ø Ö ÐÐ Ö× ÐÖ ÔÐ Ò ÒÙ r : [a, b] → Ò ÙÖ ½º Ë Ð Ö Ò Ò º ËØ Ö ÐÐ r : [a, b] → Rn Ð ÒÐ ÙÖ ÔÙÒ Ø t ÑÖ Ð r′ (t) = lim Ö Ø Ðº ËØ Ð ÒÙ × ÐÖ Ò Ö ÐÐ ÒÒ r(t + ∆t) − r(t) ∆t→0 ∆t ÒÒ Ö ×× Ö Ö Ð ×Ø ÒÐ ÙÖ ÒÐ ÐÐÙÑ ÔÙÒ ØÙÑ ÙÖ × Ù r Ò Ö× ÙÖ Ð ÒÐ ÙÖ Ð× Ò× [a, b]º Öºµ ´ ÔÙÒ ØÙÑ [a, b] ½º Ë ØÒ Ò º r1 , . . . , rn ÖÙ ËØ ÐÐ Ð Ö ÐÐ r : [a, b] → Rn Ö ÒÐ tº ÐÖ Ð ÒÐ ÙÖ ÔÙÒ Ø t Ó Ò× ÐÐ Ò ′ ′ r′ (t) = (r1 (t), . . . , rn (t)). ½º Ë ØÒ Ò º ÐÐº Ö ×Ø ÖÙ ×Ø Ä ØÙÑ Ö ÐÐ ÒÒ ´µ ´µ ´ µ ´µ ´µ ´µ ½º Ê Ø ØØÙÖº v(t) = r (t) ÒÒ ÖÖØ ØÖ Ö Ò Ð ×Ø × Ò Ö ÓÖÑ ÐÙÖ ÝÖ Ö ÙÒÙÑ d ′ ′ (u(t) + v(t)) = u (t) + v (t)¸ dt d (λ(t)u(t)) = λ′ (t)u(t) + λ(t)u′ (t)¸ dt d (u(t) · v(t)) = u′ (t) · v(t) + u(t) · v′ (t)¸ dt d (u(t) × v(t)) = u′ (t) × v(t) + u(t) × v′ (t)¸ dt d (u(λ(t))) = u′ (λ(t))λ′ (t)º dt u(t) = 0 Ö u(t)·u′ (t) º d |u(t)| = |u(t)| dt u, v : [a, b] → Rn Ú Ö Ð ÒÐ ×Ø ÖÐ Ó λ Ð ÒÐ Ö¸ Ó ÖÐ ÖÒ Ö u(t) + v(t), λ(t)u(t) Ó u(λ(t)) u(t) × v(t) Ð Ð ÒÐ ÙÖº ÐÐ u(t) · v(t) Ö Ð Ð Ð ÒÐ ÒÐ Ø Øº n=3 ′ Ó r : [a, b] → Rn Ú Ø Ð ÙÑ v(t) × Ñ Ö a(t) = v′ (t) = r′′ (t) Ó Ø Ð Ä ØÙÑ Ö Ö ÙÑ Ð Ú ÙÖº ÒÐ Ò ×Ø ÌÐÒ Ö Ðº Î Ò a(t) ×Ñ Ö ÙÒ |v(t)| Öº Ö ÙÒ ÖÚ ÙÖº Ö ÐÐÙ Ö ÖØ ½ ½º Ë Ð Ö Ò Ò º ËØ Ð ËØ Ó Ö ÐÐ ÒÒ ÙÖ Ö ÐÐ ÒÒ Ö× Ö× ´ º ×ÑÓÓØ µ Ä ØÙÑ ÙÖ r : [a, b] → Rn ; r(t) = (r1 (t), . . . , rn (t)) Ú Ö × Ñ ÐÐØ Ð ÒÐ ÙÖ ÐÐ Ò r1 (t), . . . , rn (t) ÐÐ ÐÐ tº Öº Ë Ñ ÐÐØ Ð ÒÐ ÙÖ ×Ø ØÐ ÐÐØ Ö ÐÐ ÝÖ Ö ×Ø ÖÙ Ö× ÐÐ Ö Ðº Ð ÙÖ ÒÒ Ð ÒØ ÐÖ Ò¹ ÖÖ ÙÖ ÖÙ × Ñ ÐÐ r(t) = 0 × Ñ ÐÐØ Ð ÒÐ ÙÖ ÙÑ ÚÖ Ñ Ö ÐÐ ÒÒ ´ºÔ ÙÑ Ö× Ñ Û× ÖÙ Ø ÐÙÖ Ð ÒÐ b0 , . . . , bk ÙÖ Ö× a = b0 &lt; b1 &lt; · · · &lt; bk = b Ó ×Ø [bi−1 , bi ]º ×Ø Ö ÐÐ × ÐÐ ×Ñ ÖÐ Ò ØØº Ú ÖÙ ×ÑÓÓØ ÙÖÚ µ ½º Ê Ð º Ó ÐÒ ×Ø Ä ØÙÑ Ö Ð × Ò× r : [...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online