Calculus

D rn n f r a

This preview shows page 1. Sign up to view the full content.

This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Pn (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) + ÐÐ ×Ø f (n) (a) f ′′ (a) (x − a)2 + · · · + (x − a)n 2! n! ÌÐ Ö ÔÙÒ ØÙÖ n¹Ø Ì ÝÐÓÖ¹Ñ Ö Ð fÑ Ñ Ù aº s Ñ ÐÐ a Ó x ÒÒ En (x) = f (x) − Pn (x) = ÙÑ ×ÚÓ f (n+1) (s) (x − a)n+1 . (n + 1)! f (x) = Pn (x)+En (x) = f (a)+f ′ (a)(x−a)+ ×Ñ Ö ÐÐ f (n) (a) f (n+1) (s) f ′′ (a) (x−a)2 +· · ·+ (x−a)n + (x−a)n+1 , 2! n! (n + 1)! n¹Ø Ì ÝÐÓÖ¹ ÓÖÑ Ð º Ä ØÙÑ ÐÐ º Ë Ð Ö ÒÒ º × ÐÖ Ò ÖÓ ×Ñ f (x, y ) ÚÖ Ò ÐÐ ÒÒ ÝÖ×Ø ×Ø × ÐÙØ ÙÖ f ÖÙ Öº Å Ö Ð P1 (x, y ) = f (a, b) + f1 (a, b)(x − a) + f2 (a, b)(y − b) ÐÐ ×Ø ÝÖ×Ø Ì ÝÐÓÖ¹Ñ Ö Ð Ä ØÙÑ Ò ÖÓ ÖÙ × ÐÖ fÑ f (x, y ) ×Ñ ÐÐ Ñ Ù (a, b)º ÚÖ ÐÐ ÒÒ Ò ÝÖ×Ø Ó ÒÒ Ö× ×Ø × ÐÙØ ¹ Öº Å Ö Ð º Ë Ð Ö ÒÒ º Ð ÙÖ f P2 (x, y ) = f (a, b) + f1 (a, b)(x − a) + f2 (a, b)(y − b) 1 + f11 (a, b)(x − a)2 + 2f12 (a, b)(x − a)(y − b) + f22 (a, b)(y − b)2 2 ÐÐ ×Ø ÒÒÙÖ Ì ÝÐÓÖ¹Ñ Ö Ð fÑ Ñ Ù (a, b)º Ë ÐÖ Ó ÙÑ ×Ø ÔØ Ö Ñ Ð ÒÙÑ ØÚÓ º½¼ Ë Ð Ö Ò Ò Ó ØÙ Ö Ð Ñ ÐÙØ ØÙ ×Ñº ÙÖ ÙÚ Ö D1 Ó D2 ÒÒ D1 f (a, b) = f1 (a, b) f Ò Ù × Ö ÝØÙº Ð µË ÐÖ D2 f (a, b) = f2 (a, b). ÙÑ Ú ÖÙ ÐÐ Ö × Ö Ö ÐÖ Ð Ò ¸ ÖÓ Ö ×Ñ Ú ÐÐ ÓØ Ö Ö D1 D2 = D2 D 1 ¸ Ø ÐÐ Ø Ø Ð º º º×º ÚÓÖÖ Ö ÙÖ º½½ ÍÔÔÖ ÙÒº ´ÌÚ Ð ÒÙÑ n j ÌÐÒ = n! . j !(n − j )! n+1 n Ð ÒÙ È × Ð×¹ Ö ÝÖÒ Ò × Ò×º À ÙÑ n j ´Ð × n ÝÖ jµ Ö j+1 ØÐÒ (x + y ) = j =0 n n j xj y n−j . ½ º½¾ Ê Ð º ×Ñ ÐÐ Ö f (x, y ) Ð Ö Ö ÐÐ ÒÒ ÐÐ Ö ÐÙØ ÙÖ n¹Ø Ó Ð Ö ×Ø ÙÑ ÖÙ n (hD1 + kD2 ) f (a, b) = j =0 n n j jn hj k n−j D1 D2 −j f (a, b). º½¿ Ë Ð Ö Ò Ò º ×Ø × ÙÑ ÐÖ Ò ÖÙ × Ñ ÐÐ Ö × ÑÑ Ö Ð ÝÖ Ö Ö Ò ÐÐ n¹Ø Ì ÝÐÓÖ¹Ñ Ö Ð f (x, y ) ÒÒ ÐÐ Ö fÑ ÐÙØ ÑÙ ÙÖ ÔÙÒ Ø ÒÙÑ (a, b) n¹Ø Ó Ð Ö Pn (x, y ) = = 1 ((x − a)D1 + (y − b)D2 )m f (a, b) m! m=0 n m n m=0 j =0 n m 1 m! m j jm D1 D2 −j f (a, b)(x − a)j (y − b)m−j = m=0 j =0 1 jm D1 D2 −j f (a, b)(x − a)j (y − b)m−j . j !(m − j )! ÒÒ ÙÒ Ó ÐÐ Ö ÐÙØ Ö ÙÖ º½ Ë ØÒ Ò º ×Ø ÙÑ ÖÙ × Ñ ½ ÒÒ Ñ ÐÐ ¼ Ó ÝÖ Ö ÐÐ Ö ÐÐ f (x, y ) Ð Ö ÙÑ × n + 1¹Ø ØÐ Ó ÖØ Ð Ð Ö n¹Ø Ì ÝÐÓÖ¹Ò Ð ÙÒ θ h=x−a k =y−b f (x, y ) − Pn (x, y ) = 1 (hD1 + kD2 )n+1 f (a + θh, b + θk ). (n + 1)! º Ò Ö ¾¼½¼ ½ Ê ÒÚ Ð ÙÖ º Å ÐÐ Ö ËØ Ö Ö ½¼º½ Ë Ð Ö Ò Ò º Ë Ë Ø Ø Ö ÒÒ Ö ÒÒ ½¼º ÐÐ ÐÐ Ø ØÚ Ö Ò Ò ÁÁ Ð º Ñ Ö ÝØÙÑ × ÐÖ ÒØ ÑÒ f f ×Ø Ä ØÙÑ ÙÒ f Ð ÚÖ Ð Ð ´ º ÐÓ Ð Ñ Ò ÑÙÑµ ÔÙÒ Ø ´ r>0 r>0 f (a, b) ≤ f (x, y ) ×Ø ÙÒ ÝÖ Ö f (a, b) ≥ f (x, y ) ÝÖ Ö Ö × Ñ f Ø ÙÖ ÒÒ ÚÓÖØ ×Ø ÙÒ Ð Ð Ö× Ø f ×Ø ÙÒ Ø Ð ´ º ÐÓ Ð ÜØÖ Ñ µº f (a, b) ≤ f (x, y ) ÝÖ Ö...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

Ask a homework question - tutors are online