Calculus

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Ù × Ñ ÝÖ Ö Ö ÖÒ Ö Ö (a, b) ÚÖ ÔÙÒ Ø ÙÒ ÙÒ ÒÒ f ÖÙÑ Ö ÙÔÔÐ × Ò H(a, b) H(a, b) H(a, b) H(a, b) Ú Ö× ∇f (a, b) = 0º Ú ØØ ÚÖ ÚÓÖ Ð ×Ø Ú ØØ ÙÔÙÒ ØÙÖ ÒÒ Ä ØÙÑ ÐÐ Ú ØØ ÚÖ ÙÖ ÒÙÒÒ f ×Ø ÙÖ f ×Ø ÙÐÔÙÒ Ø Ú ØØ (a, b)º (a, b)º ÚÖ ØÐ Ò × f × (a, b)º ÚÖ Ó À ×× ¹ ÝÐ ÚÖ ¸Ò ÖÒ Ö × Ñ Ð × ×Ø ∇f (a, b) = 0 (a, b) Öº ÐÐ ØÚ ÚÖ Ñ ½¼º½½ ÝÐ × ØÒ Ò º ÐÙØ Ó ÙÖ ÖÙÑ Ö f ÚÖ Ö ÝØÙÑ ÒÒ × ÐÖ ½º Ó ÒÒ ¾º ×Ø Ö×Ú × f ÖÙ × Ñ ÝÖ Ö Öº Ä ØÙÑ (a, b) ÒÒÖ ÔÙÒ Ø f ∇f (a, b) = 0º Ë Ø ÙÑ A = f11 (a, b), Ð ´½µ ´¾µ ´¿µ ´µ B = f12 (a, b) = f21 (a, b) A>0 A<0 ÙÖ Ö ÙÖ ÙÖ C = f22 (a, b). Ð Ð B − AC B 2 − AC B 2 − AC B 2 − AC Ö 2 <0 <0 >0 =0 Ó Ó f f ×Ø ×Ø × ÙÒ ÙÒ Ð (a, b)º (a, b)º f × ÙÐÔÙÒ Ø Ø (a, b)º º ÖØ º Ö Ö ¾¼¼ ¾½ Ê ÒÚ Ð ÙÖ º Å ÐÐ Ö ËØ Ö Ö ½½º Ä ÖÒ ÖÙÑ Ö ¹Ñ Ö ÝÖ Ö ÒÒ Ð Ø Ð ÒÐ Ö Ò Ò ÁÁ Ð Ö Öº ÐÐ Ð Ñ ÐÐ× ½½º½ Î ÎÖ Ò ØÐ ÖÙÑ Ö ÐÐ× R ÝÖ Ö ÐÙØÑ Ò D(f ) 2 ÖÐ º Ó ØØ Ö f × ÐÐ × Ö ÐÖ ÒØ ÙÖº Ò Ú ÖÙ ÑÒ Ö Ð ÒÒ ×Ñ ÐÐ Ò × Ù ÒÒ C = {(x, y ) g (x, y ) = 0}º Ú Ò× ÓÖ ÙÑ Ú ×ÑÚ Ð ØÙÑ f Ò Ë Ø Ð Ö Ð ÒÒ ØÚ ´½µ À ÑÙÖ × ÖØ Ð Ø Ö Cº ÐÐÙÑ ÒÒÖ Ö Ø Ð Ý× ÚÖ Ò ÒÑ Ø ÙÑ Ð ÐÐ× Ø× ÒÒÖ ÒÒ x y ÒÙÒÒ Ò Ò g (x, y ) = 0 ÙÑ ÒÒ y Ó ÖØ y = h(x)º Ø Ö Ð ×Ø Ø ×Ò ×Ø Ú Ö f (x, h(x)) ÙÒ ÖÐ ÒÙÑ Ö ÝØÙ ´¾µ À xº Ö Ð ÒÒ Ø Ð ÙÖ ÙÑ Ú g (x, y ) = 0 r : I → R2 ÙÑ ÐÐ× Ò× f (r(t)) Ð ÒÙ I º ÐÐ × Ñ Ö Ú Ò ÖÙ ×Ø Ö×Ú Ó ÒÒ ÖÙ ÔÙÒ ØÙÖ ÐÐ Ð ÖÒ Ö ÒÒ Ø Ð Ò× ÓÖ ÙÑ Ð Ö ×Ø ½½º¾ Ë ØÒ Ò º × ÑÐ ÙÖ fÓ gÚÖ ÖÐ ÒÙÑ g (x, y ) = 0¸ Ó Ä ØÙÑ ÖÙÑ Ð ÙÒ Ø Ö Ð × ÒÙ ÝÖ Ö ÒÐ ÔÙÒ Ø ÒÙÑ ÖÙÑ Ö (a, b) Ö Ð× Ò׺ ÝÖ Ö ∇g (a, b) = 0º f ×Ø (a, b)º ÐÖ ÒÒ ½½º¿ Ê (x, y ) Ú Ò Öº f fÚ Ö Ð ÒÒ g (x, y ) = 0 ∇f (a, b) Ó ∇g (a, b) × Ñ× º ÖÑÒ Ð ÙÖ Ä Ö Ò ¹ ÐÐ ÙÔÙÒ Ø Ö ÔÙÒ Ø × Ñ ÙÔÔ ÝÐÐ g (x, y ) = 0 f ÖÐ ÒÙѸ C ÖÖ × ÔÙÒ Ø ÐÖ ÒÙÑ L(x, y, λ) = f (x, y ) + λg (x, y ). ËØ Ð L ÖÙ (a, b) Ö ÔÙÒ Ø Ö Ö× Ñ (a, b, λ0 ) Ø Ð Ý× Ð º Ö× Ñ f Ø Ú ÙÖ ∇L(a, b, λ0 ) = 0º Ö Ñ Ù¹ ×× Ö ÔÙÒ Ø Ö ÒÒ ×Ø Ñ ÒÙ Ò ÔÔ f1 (x, y ) + λg1 (x, y ) = 0 f2 (x, y ) + λg2 (x, y ) = 0 g (x, y ) = 0. ½½º Ê Ð º ÖÖ ØÙ ´½µ ËØ ´¾µ ÈÙÒ Ø ´¿µ ÈÙÒ Ø × ÐÖ Ò Ò ´µ ÔÙÒ Ø ÒÒ × Ð Ø Ð ÐÐ× ÒÙ ØØ (x, y ) × Ñ ÙÔÔ ÝÐÐ × Ñ ÙÔÔ ÝÐÐ f (x, y ) Ö g (x, y ) = 0º ØÖ ÖÒ × × ÐÖ ÒÒ Ö×Ú f ÖÑÒ Ö ÔÙÒ Ø ÙÔÙÒ Ø Ö...
View Full Document

This note was uploaded on 01/31/2011 for the course MATH 203 taught by Professor Röggi during the Spring '10 term at Uni. Iceland.

Ask a homework question - tutors are online