Calculus

# Fx y z f r3 df rn

This preview shows page 1. Sign up to view the full content.

This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: an Ó F (x1 , . . . , xn−1 , ϕ(x1 , . . . , xn−1 )) = 0 ÝÖ Ö ÐÐ ÔÙÒ Ø Ð Ö (x1 , . . . , xn−1 ) B º ϕi (a1 , . . . , an−1 ) = − Fi (a1 , . . . , an ) . Fn (a1 , . . . , an ) u = u(x, y ) ∂u ∂y ∂v ∂y ÐÖ Ó ÒÒ Ö ÑÙÖ º¿ Ë Ð Ö Ò Ò º Â Ó ¹ Ú ØÐ Ö ÝØ ÒÒ ØÚ Ò ×Ñ ÐÐ v = v (x, y ) Ñ Ø ÐÐ Ø x Ó y Ö× ÐÖ ∂ (u, v ) = ∂ (x, y ) F Ó ∂u ∂x ∂v ∂x × . ÒÙÑ Ú ¸ØÐ Ñ ×¸ G ÖÙ ÐÐ Ö ÝØÙÑ x, y, z, . . . ∂F ∂x ∂G ∂x ∂F ∂y ∂G ∂y Ó ∂ (F, G) = ∂ (x, y ) Ú ÙÑ ÐÐ ∂ (F, G) = ∂ (y, z ) × ∂F ∂y ∂G ∂y ÐÖ ∂F ∂z ∂G ∂z . ¸ØÐ Ñ ×¸ F, G, H Ö ÝØÙÑ x, y, z, w, . . . ∂F ∂w ∂G ∂w ∂H ∂w ∂F ∂z ∂G ∂z ∂H ∂z ÒÙÑ Ú ∂ (F, G, H ) = ∂ (w, z, y ) ∂F ∂y ∂G ∂y ∂H ∂y . º Ë ØÒ Ò º ÝÐ Ë Ð Ó ÐÖ b Ú ÙÖ ´ÍÔÔÖ Rn º ×Ñ ÙÒ ÝÐ Ö ÖÙÑ Ö ÐÙ ×Ñ Ö Ñ Ö×ºµ ÝÖ Ö ×Ø Ñ Ä ØÙÑ A Ú Ö Ò x = (x1 , x2 , . . . , xn ) × Ú ×Ø Ú ÚÖ ÒÐ ×Ø Ð Ù×Ò Ø n×n Ax = bº ÒÒ ÝÖ Ö ÒÙÑ Bi i Aº Ö n×n ÙÖ ÒÒ b xi = det Bi . det A ½ º Ë ØÒ Ò º ´Ë ØÒ Ò Ò ÙÑ Ð Ò ÐÐºµ Ë Ó ÙÑ ÒÙ Ò ÔÔ F(1) (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ) = 0 F(2) (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ) = 0 º º º F(n) (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ) = 0. Ä ØÙÑ P0 = (a1 , . . . , am , b1 , . . . , bn ) Ú Ö ÔÙÒ Ø ÝÖ Ö F1 , . . . , Fn × Ù ÐÐ ÒÒ ÐÐ Ö ÝÖ×Ø ×Ø ÐÙ ÙÑ Ú Ö × P0 º ÖÙÑ ÒÒ Ö ÑÙÖ Ö ÝÖ Ö ∂ (F(1) , . . . , F(n) ) ∂ (y1 , . . . , yn ) ÖÙ Ø Ð ÐÐ × Ñ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö × ÐÙØ ÒÙÖÒ Öº ÐÐ Ö ÖÙÑ Ö ÓÔ ÒÒ ÙÖ × Ù × Ñ = 0. P0 ϕ1 (x1 , . . . , xm ), . . . , ϕn (x1 , . . . , xm ) ÓÔ ÒÒ ÐÙ B ÙÒ Ú Ö × (a1 , . . . , am ) ÒÒ ϕ1 (a1 , . . . , am ) = b1 , . . . , ϕn (a1 , . . . , am ) = bn Ó F(1) (x1 , . . . , xm , ϕ1 (x1 , . . . , xm ), . . . , ϕn (x1 , . . . , xm ) = 0 F(2) (x1 , . . . , xm , ϕ1 (x1 , . . . , xm ), . . . , ϕn (x1 , . . . , xm ) = 0 º º º F(n) (x1 , . . . , xm , ϕ1 (x1 , . . . , xm ), . . . , ϕn (x1 , . . . , xm ) = 0. ÝÖ Ö ÐÐ ÔÙÒ Ø (x1 , . . . , xm ) B º ÒÒ Ö ÑÙÖ ×Ø ∂yi ∂ ϕi ∂ (y1 ,...,xj ,...yn ) = = − ∂ (F ,...,F ) . (1) (n) ∂xj ∂xj ∂ (y1 ,...,yn ) ∂ (F(1) ,...,F(n) ) º Ë ØÒ Ò º ´Ë ØÒ Ò Ò ÙÑ ×Ø ÙÒ Ò Ò Ú Ö Ùºµ Ä ØÙÑ f (x1 , . . . , xn ) = (f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fn (x1 , . . . , xn )) ÚÖ n Ú ÖÔÙÒ º ÖÙÑ Ö Â Ó Ö Ø Ð ÓÔ Ò n ¹ ÝÐ Ð Ö ÝØ ×Ø ÝÖ Ö Ö ÙÑ × Ñ Ø ÐÐ Ö ÝÖ×Ø ×Ø Ò Ö ÙÖ × ÚÖ ÝÖ Ö ÒÐ Ð ÐÙØ Ø Ð ÐÐ Rn ÙÖ Ó Ö× ÐÐ ÒÒ ÐÖ Ò ÓÔÒÙ Ñ Ò × Ù× Ñ ÐÐ R f1 , . . . , fn ÐÐº Df (x0 ) Bx ÔÙÒ Ø ÙØ Ò ÙÑ g : By → Bx ÒÒ ÐÐ ÔÙÒ Ø y ∈ By º x0 Ó g(f (x)) = x ÓÔ Ò By ÙØ Ò ÙÑ ÔÙÒ Ø × Ð Ö Ò Ò Ö×Ú f y0 = f (x0 ) Ó Ú ÖÔÙÒ x ∈ Bx Ó f (g(y)) = y ÝÖ Ö x0 ½ º ÍÔÔÖ ÙÒº ÐÐ ÒÒ ´Ì ÝÐÓÖ¹Ö Ð ÒÒ Ò Ö ÝØ ×Ø Ö ºµ Ä ØÙÑ f ÚÖ n + 1¹ Ð ÒÐ Ø Ö ÝØ ×Ø ÖºÅÖÐ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online