R c d u v dv f

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: u Ö× Du (a, b) = lim + h→0 ÑÖ Ð Ö× ÐÖ Òغ ÝÖ Ö ÒÙ Ò f (a + hu, b + hv ) − f (a, b) h º Ë ØÒ Ò º ÒÒ Ñ ÖÚ ÙÖº ÓÖÑ ÐÙÒÒ ÖÙÑ Ö Ö ×Ø ÐÐ f × Ð ÒÐ Ø ×Ø ÔÙÒ Ø ÒÙÑ (a, b) (a, b) Ó u = ui + v j × ÒÙ u × Ð Ö Ò Ó ÒÒ Du f (a, b) = u · ∇f (a, b). º Ë ØÒ Ò º ÒÙÑ ´ µÀ Ä ØÙÑ ×Ø f ÚÖ ÐÐ Ó ÖÙÑ Ö ×Ø ÝÖ Ö Ö f u u Ö Ö × Ð ÒÒ ÒÐ ÖÚ Ø ÙÖ ÔÙÒ Ø¹ ×Ø ÒÙ (a, b)º ×Ø Ð º º º×º Ð ´ µÄ ÙÒÒ Du f (a, b) ∇f (a,b) −∇f (a, b)¸ º º º×º u = − |∇f (a,b)| º ´ µ C Ö× ÖÐ Ò f × Ñ Ð ÙÖ ÒÙÑ ×Ø ×Ø ÒÙ ∇f (a, b)¸ u= ÒÙ ÙÒÒ ∇f (a,b) º |∇f (a,b)| Du f (a, b) ×Ø Ö Ö ÒÒ ÖÚ ÙÖ ×Ø ÒÙ (a, b) Ó u ÒÒ Ö×Ò ÖØ Ú ÙÖ Ú C ÔÙÒ Ø ÒÙÑ (a, b) Ö Du f (a, b) = 0º ½ º Ë ØÒ Ò º ÒÙÑ ´µ ´µ ´ µ Ä ØÙÑ f ÚÖ ÚÜ ÐÐ Ó ÖÙÑ Ö Ð ×Ø ÒÙÑ Ö Ð ×Ø ÝÖ Ö ×Ø Ö ÒÙ f × Ð ÒÐ Ø ÔÙÒ Ø¹ (a, b)º ÔÙÒ Ø ÒÙÑ ÔÙÒ Ø ÒÙÑ (a, b) (a, b) ÖÐ Ò f Ö Ö ×Ø Ñ ÒÒ f ÙÖ Ö ×Ø C ÔÙÒ Ø ÒÙÑ C Ö× f Ö ×ÑÐ (a, b) ÙÖ Ö Ú ÜØ Ö Ö f (a, b) Ó u Ö ÒÙ u Ò ¼º Ö ÝØ ×Ø Ù× ÐÖ Ò ∇f (a, b)º ÒÙ −∇f (a, b)º ÒÒ Ö×Ò ÖØ Ú ÙÖ Ú º Ë Ð Ö ÒÒ º ×Ø × Ö× ÐÙØ ÐÖ Ä ØÙÑ f ÚÖ ÐÐ Ö ÑÙÖ Ö ÙѸ Öº ÝÖ×Ø f ÔÙÒ Ø ÒÙÑ ÙÖ ÒÒ (x, y, z ) × ËØ ÙÐÐ f ÒÒ ÐÐ Ö Ö Ö ÔÙÒ Ø ÒÙÑ (x, y, z ) Ò ÙÖ × Ñ Ú ∇f (x, y, z ) = f1 (x, y, z )i + f2 (x, y, z )j + f3 (x, y, z )k. f ÚÖ ÐÐ Ö ÑÙÖ Ö ÝØ ×Ø Ö ÙÑ ÒÒ ÐÐ fÖ (a, b, c)º Ä ØÙÑ F Ø Ò ÒÒ Ò Ö Øf×ÑÐ ÙÖ ÙÑ (a, b, c)º ËØ ÙÐÐ ÒÒ ∇f (a, b, c) Ö ÓÖÒÖ ØØÙÖ Ø ÒÒ F ÔÙÒ Ø ÒÙÑ (a, b, c) Ó ×Ò ÖØ ÔÐ Ò ´ ∇f (a, b, c) = 0µ Ú Ò Ö Ø ÒÒ ÔÙÒ Ø ÒÙÑ (a, b, c) Ö Ñ Ä ØÙÑ Ð ÒÐ Ø ÔÙÒ Ø ÒÙÑ ÒÙÒÒ º½¼ Ë ØÒ Ò º ∇f (a, b, c) · (x, y, z ) = ∇f (a, b, c) · (a, b, c) Ñ ÙÑÖ ØÙÒ f1 (a, b, c)(x − a) + f2 (a, b, c)(y − b) + f3 (a, b, c)(z − c) = 0. ¾º Ò Ö ¾¼¼ ½ Ê ÒÚ Ð ÙÖ º Å ÐÐ Ö ËØ Ö Ö º Ð Ò ÐÐ Ó Ì ÝÐÓÖ¹Ò Ð Ö Ò Ò ÁÁ ÖÑ ÐÐ ÐÐ Ó ÒÙ Öº Ò Öº º½ ÍÔÔÖ ÙÒº ÝÖ Ö ÖÐ ÒÙѺ Ó ÐÐ Ë Ó ÙÑ ×Ø × ÖÐ × Ñ ÐÙØ Ñ Ø ÙÖ ×Ó ÒÒ Ö ÝÖ×Ø F × Ù× Ñ F (x, y ) = 0 Ó Ä ØÙÑ (x0 , y0 ) Ú Ö ÒÒ Ò Ö Ú ÒÑ ÖÙÑ Ö Ö ÔÙÒ Ø F2 (x0 , y0 ) = 0 y = y (x) Ö Ð ÒÐ y ×Ñ x ÔÙÒ Ø ÒÒ (x0 , y0 ) ÔÙÒ Ø ÒÙÑ x0 ÓÖÑ ÐÙÒÒ y ′ (x0 ) = − Ë Ø ÒÒ F1 (x0 , y0 ) . F2 (x0 , y0 ) F (x, y ) = 0 Ä ØÙÑ × ÐÖ ÐÐ Ò y n¹ ×Ñ Ð ÐÐ x Ö ÒÒ Ú (x0 , y0 )º ÐÐ Ö ÒÒ Ø ÐÐ x1 , . . . , xn Ó ÖÙÑ Ö ÝÖ Ö ÝÖ×Ø ×Ø × ÐÙØ ÙÖ F × Ù × Ñ ÐÐ Öº Ä ØÙÑ (a1 , . . . , an ) Ú Ö ÔÙÒ Ø F (a1 , . . . , an ) = 0º Fn (a1 , . . . , an ) = 0 Ö Ø Ð × Ñ ÐÐØ Ð ÒÐ ϕ(x1 , . . . , xn−1 ) × Ð Ö ÒØ ÓÔ ÒÒ ÐÙ B ÙØ Ò ÙÑ (a1 , . . . , an−1 ) ÒÒ ÚÖ Ö ÝØÙÑ º¾ Ë ØÒ Ò º F ϕ(a1 , . . . , an−1 ) =...
View Full Document

This note was uploaded on 01/31/2011 for the course MATH 203 taught by Professor Röggi during the Spring '10 term at Uni. Iceland.

Ask a homework question - tutors are online